资源简介

3.2.2　空间向量长度与夹角的坐标表示
课时目标
进一步熟悉空间向量的坐标表示.能利用空间向量的坐标解决一些简单的长度与夹角问题.
1.空间向量的长度
(1)设向量a＝(x1，y1，z1)，则|a|＝＝______________.
(2)若点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则|AB|＝||＝____________________________.
微点助解
(1)长度计算公式可以推广为|a±b|＝＝，|a＋b＋c|＝
＝.
(2)求空间中线段的长度即对应空间向量的长度，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算.
2.空间向量的夹角
设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
cos〈a，b〉＝＝______________________(a≠0，b≠0).
微点助解
(1)〈a，b〉∈[0，π].
(2)空间两直线的夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|.
[基点训练]
1.已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量与a成60°夹角的是(　 )
A.(－1,1,0) B.(1，－1,0)
C.(0，－1,1) D.(－1,0,1)
2.已知空间向量a＝(0,1,1)，b＝(－1,0,1)，则a与b的夹角为(　 )
A. B.
C. D.
3.已知空间向量a＝(2，－1，x)，b＝(－4,2,6)，若a∥b，则|a|等于(　 )
A.3 B.
C.2 D.
4.已知向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为(　 )
A.－3 B.1
C.－3或1 D.3或1
题型(一)　空间向量长度的坐标表示
[例1]　如图，在直三棱柱ABC A′B′C′中，AB＝BC＝BB′＝2，AB⊥BC，D为AB的中点，点E在线段C′D上，点F在线段BB′上，求线段EF长的最小值.
听课记录：
[方法技巧]
向量法求空间两点间距离的一般步骤
建立坐标系 结合图形建立适当的空间直角坐标系.建立时要充分利用已知的垂直关系，找到(或作出)两两垂直的三条直线
求向量的坐标 依据条件，写出相关点的坐标，进而得到待求向量的坐标
[针对训练]
1.已知正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝1，AB1⊥BC1，求AA1.
题型(二)　空间向量夹角的坐标表示
[例2]　如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD.求cos〈，〉.
听课记录：
求空间向量夹角的一般思路
(1)建系：恰当的构建空间直角坐标系.
(2)写坐标：求出所对应点的坐标，及向量的坐标表示.
(3)计算：运用夹角公式的坐标表示运算.　　
[针对训练]
2.已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与b＋c夹角的余弦值.
题型(三)　坐标法在空间几何体中的应用
[例3]　如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：
(1)求的模；
(2)求证：BN⊥平面C1MN.
听课记录：
　 利用空间向量的坐标运算的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标.
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算.　
[针对训练]
3.在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
(1)求证：⊥；
(2)求cos〈，〉的值；
(3)求||.
空间向量长度与夹角的坐标表示
?课前环节
1.(1)
(2)
2.
[基点训练]
1.B
2.选A　因为空间向量a＝(0,1,1)，b＝(－1,0,1)，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝，即a与b的夹角为.
3.选B　由题意得＝＝，解得x＝－3，则|a|＝＝.
4.选C　由题意得＝6,4＋4y＋2x＝0，解得或则x＋y＝1或x＋y＝－3.
?课堂环节
[题型(一)]
[例1]　解：依题意，BA，BC，BB′两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，D(0,1,0)，B′(0,0,2)，C′(2,0,2)，则＝(2，－1，2)，
＝(0,0,2)，
设＝λ，λ∈[0,1]，
则E(2λ，1－λ，2λ)，
设F(0,0，z)，0≤z≤2，则＝(－2λ，λ－1，z－2λ).
若线段EF的长最小，则必满足EF⊥BB′，
则·＝0，可得z＝2λ，
即＝(－2λ，λ－1,0)，
因此，||＝
＝
＝≤，
当且仅当λ＝时等号成立，
所以线段EF长的最小值为.
[针对训练]
1.解：如图，取AB的中点O，连接OC，以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系.
设AA1＝a，
则A，
B1，B，C1，则＝(1,0，a)，＝.由AB1⊥BC1，得·＝－＋a2＝0，解得a＝(舍负).所以AA1＝.
[题型(二)]
[例2]　解：如图，建立空间直角坐标系，D为坐标原点，则有E，
F，C1，G，
＝，＝，
所以＝，＝，
·＝×0＋×＋×＝.
所以cos〈，〉＝＝＝.
[针对训练]
2.解：(1)∵向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c，
∴
解得x＝－1，y＝－1，z＝1.
∴向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，
c＝(3,1,1).
(2)∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)，
∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
|a＋c|＝＝，|b＋c|＝＝，
∴向量a＋c与b＋c夹角的余弦值为＝＝.
[题型(三)]
[例3]　解：(1)因为CC1⊥平面ABC，∠BCA＝90°，
以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B，N，所以＝，
则＝
＝.
(2)证明：由(1)得，C1，B，N，M，则＝，＝，＝，所以·＝×1＋×＋0×1＝0，
·＝1×1＋0×＋×1＝0，
则⊥，⊥，
即BN⊥C1M，BN⊥C1N.
又因为C1M∩C1N＝C1，C1M，C1N 平面C1MN，所以BN⊥平面C1MN.
[针对训练]
3.解：(1)证明：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，
E，C(0,1,0)，
F，G，
∴＝，
＝.
∵·＝×＋×＋×0＝0，∴⊥.
(2)由(1)得，＝，
＝，
∵·＝×1＋×0＋×＝，
||＝ ＝，
||＝ ＝，
∴cos〈，〉＝
＝＝.
(3)由(1)得，＝，
则||＝ ＝.(共74张PPT)
空间向量长度与夹角的坐标表示
3.2.2
课时目标
进一步熟悉空间向量的坐标表示．能利用空间向量的坐标解决一些简单的长度与夹角问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
基点训练
1．已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量与a成60°夹角的是(　 )
A．(－1,1,0) B．(1，－1,0)
C．(0，－1,1) D．(－1,0,1)
√
√
√
4．已知向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为(　 )
A．－3 B．1
C．－3或1 D．3或1
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1]　如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AB＝BC＝BB′＝2，AB⊥BC，D为AB的中点，点E在线段C′D上，点F在线段BB′上，求线段EF长的最小值．
题型(一)　空间向量长度的坐标表示
解：依题意，BA，BC，BB′两两垂直，建立如图
所示的空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，D(0,1,0)，B′(0,0,2)，C′(2,0,2)，
则E(2λ，1－λ，2λ)，
设F(0,0，z)，0≤z≤2，
若线段EF的长最小，则必满足EF⊥BB′，
向量法求空间两点间距离的一般步骤
方法技巧
建立坐标系 结合图形建立适当的空间直角坐标系．建立时要充分利用已知的垂直关系，找到(或作出)两两垂直的三条直线
求向量的坐标 依据条件，写出相关点的坐标，进而得到待求向量的坐标
1．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AB1⊥BC1，求AA1.
解：如图，取AB的中点O，连接OC，以O为坐
标原点，
以AB所在直线为x轴，
以OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系．
设AA1＝a，
针对训练
解：如图，建立空间直角坐标系，D为坐标原点，
题型(二)　空间向量夹角的坐标表示
求空间向量夹角的一般思路
(1)建系：恰当的构建空间直角坐标系．
(2)写坐标：求出所对应点的坐标，及向量的坐标表示．
(3)计算：运用夹角公式的坐标表示运算．　　
方法技巧
2．已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与b＋c夹角的余弦值．
解：(1)∵向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，
且a∥b，b⊥c，
∴向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)．
(2)∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)，
∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
题型(三)　坐标法在空间几何体中的应用
即BN⊥C1M，BN⊥C1N.
又因为C1M∩C1N＝C1，C1M，C1N 平面C1MN，
所以BN⊥平面C1MN.
利用空间向量的坐标运算的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标．
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算．　　
方法技巧
针对训练
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4．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　 )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
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5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是(　 )
A．异面 B．平行
C．垂直不相交 D．垂直且相交
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7．若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是______________．
解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，
设a，b的夹角为θ，
因为θ为钝角，
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(－∞，－2)
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又|a|>0，|b|>0，
所以a·b<0，
即2x＋4<0，
所以x<－2，又a，b不会反向，
所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．
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8．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________．
解析：由题知，b－a＝(1＋t,2t－1,0)，
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解析：设a＝(x，y，z)，
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(1,2,2)(答案不唯一)
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则向量a的一个坐标为(1,2,2).
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10．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)．
(1)求cos∠BAC；
(2)求△ABC中BC边上中线的长度．
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(2)设BC的中点为D，
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又A(－2,0,2)，
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故可设c＝(2n，n，－2n)，
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解得n＝±1.
故c＝(2,1，－2)或c＝(－2，－1,2)．
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所以ka＋b＝(1－k，－k，－2)．
由于ka＋b与b垂直，
得(1－k，－k，－2)·(1,0，－2)＝1－k＋4＝0，解得k＝5.
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B级——应用创新
12．定义a b＝|a|2－a·B．若向量a＝(1，－2,2)，向量b为单位向量，则a b的取值范围是(　 )
A．[0,6] B．[6,12]
C．[0,6) D．(－1,5)
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解析：由题意知|a|＝3，|b|＝1.
设〈a，b〉＝θ，
则a b＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|·cos θ＝9－3cos θ.
又θ∈[0，π]，
∴cos θ∈[－1,1]，
∴a b∈[6,12]．
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因为A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)，
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所以－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝0，
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解：以点A为坐标原点，建立如图所示的
空间直角坐标系．
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又点N在棱CC1上，
可设N(0,2，m)(0≤m≤2)，
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所以在棱CC1上不存在点N，
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16.如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.
(1)求B，F两点间的距离；
(2)求证：EF∥平面PAB；
(3)求证：平面PAD⊥平面PDC．
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解：(1)由题可知，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，
以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直
线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空
间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1，2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，
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又AB 平面PAB，EF 平面PAB，
所以EF∥平面PAB．
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即AP⊥DC，AD⊥DC，
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又AP∩AD＝A，
且AP，AD 平面PAD，
所以DC⊥平面PAD．
又DC 平面PDC，
所以平面PAD⊥平面PDC．课时跟踪检测(三十一)　空间向量长度与夹角的坐标表示
A级——综合提能
1．若向量a＝(x，－4，－5)，b＝(1，－2,2)，且a与b夹角的余弦值为－，则实数x的值为(　 )
A．－3　　　　　　　　　 B．11
C．3 D．－3或11
2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于(　 )
A．5 B．4
C．3 D．2
3．已知＝(1,2,3)，＝(a，b，b－2)，若点A，B，C共线，则||＝(　 )
A. B．2
C．3 D．9
4．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　 )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是　(　 )
A．异面
B．平行
C．垂直不相交
D．垂直且相交
6．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为(　 )
A．7 B．7
C. D.
7．若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
8．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________．
9．在空间直角坐标系中，向量a满足|a|＝3，且与向量b＝(1,1,1)的夹角的余弦值为，请写出一个向量a的坐标：________.
10．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)．
(1)求cos∠BAC；
(2)求△ABC中BC边上中线的长度．
11．已知空间中三点A(2,0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3，0，－4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；
(2)已知向量ka＋b与b互相垂直，求k的值；
(3)求△ABC的面积．
B级——应用创新
　12．定义a b＝|a|2－a·b.若向量a＝(1，－2,2)，向量b为单位向量，则a b的取值范围是(　 )
A．[0,6] B．[6,12]
C．[0,6) D．(－1,5)
13．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点M在AC1上且＝，点N为B1B的中点，则||为(　 )
A. B.
C. D.
14．已知向量a＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2，2)．在直线AB上，存在一点E，使得⊥a，其中O为坐标原点，则点E的坐标为__________．
15．如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是棱BC的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得向量与向量的夹角为45°？
16．如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.
(1)求B，F两点间的距离；
(2)求证：EF∥平面PAB；
(3)求证：平面PAD⊥平面PDC.
课时跟踪检测(三十一)
1．选A　由题意得cos〈a，b〉＝＝＝－，
即＝－，解得x＝－3.
2．选C　λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝＝，且λ>0，解得λ＝3.
3．选C　因为点A，B，C共线，
所以与共线，所以＝＝，
解得a＝－2，b＝－4，故＝(－2，－4，－6)，
＝－＝(－3，－6，－9)，
||＝＝3.
4．选C　因为＝(3,4，－8)，＝(2，－3,1)，＝(5,1，－7)，·＝10－3－7＝0，∴BC⊥AC，而||＝，||＝5，
所以△ABC是直角三角形．
5.选B　设正方体的棱长为1.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则＝(1,0,1)，＝(－1,1,0)．
设＝(a，b，c)，则
取＝(1,1，－1)．
∵＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)＝－，∴∥，∴PQ∥BD1.
6．选B　因为A(0,2,3)，B(－2,1,6)，
C(1，－1，5)，所以＝(－2，－1,3)，
＝(1，－3,2)，所以||＝，||＝，所以cos∠BAC＝
＝＝，所以∠BAC＝60°，平行四边形面积为2S△ABC，在△ABC中由正弦定理得S△ABC＝||×||×sin∠BAC，设平行四边形的面积为S，所以S＝××sin 60°＝7.
7．解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝<0，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2，又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
8．解析：由题知，b－a＝(1＋t,2t－1,0)，
∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋02
＝5t2－2t＋2＝52＋.
∴(|b－a|2)min＝.∴|b－a|min＝.
答案：
9．解析：设a＝(x，y，z)，
由
得
则向量a的一个坐标为(1,2,2).
答案：(1,2,2)(答案不唯一)
10．解：(1)＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0，2)，
cos∠BAC＝＝＝－.
(2)设BC的中点为D，则点D的坐标为.
又A(－2,0,2)，∴＝，
∴||＝＝＝，即△ABC中BC边上中线的长度为.
11．解：(1)由题意得＝(2,1，－2)，
因为c∥，故可设c＝(2n，n，－2n)，
所以|c|＝＝3|n|＝3，
解得n＝±1.
故c＝(2,1，－2)或c＝(－2，－1,2)．
(2)因为a＝＝(－1，－1,0)，
b＝＝(1,0，－2)，
所以ka＋b＝(1－k，－k，－2)．
由于ka＋b与b垂直，得(1－k，－k，－2)·(1,0，－2)＝1－k＋4＝0，解得k＝5.
(3)由(2)得||＝，||＝，
由(1)得||＝3，
故由余弦定理得cos A＝＝－，
所以sin A＝＝.
故△ABC的面积为·||·||sin A＝×××＝.
12．选B　由题意知|a|＝3，|b|＝1.设〈a，b〉＝θ，则a b＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝9－3cos θ.又θ∈[0，π]，∴cos θ∈[－1,1]，∴a b∈[6,12]．
13.选C　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，
C1(0,1,1)，N，
设M(x，y，z)，∵点M在AC1上且＝，
∴(x－1，y，z)＝(－x，1－y,1－z)，∴x＝，y＝，z＝，
即M.
又N，∴||＝
＝.
14．解析：设＝λ，因为A(－3，－1,4)，B(－2，－2，2)，所以＝(1，－1，－2)，＝(λ，－λ，－2λ)，＝(3,1，－4)，＝－＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，因为⊥a，所以－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝0，解得λ＝，又A(－3，－1,4)，＝，所以点E的坐标为.
答案：
15．解：以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意知A(0,0,0)，
B1(，1,2)，C(0,2,0)，
B(，1,0)，M.
又点N在棱CC1上，可设N(0,2，m)(0≤m≤2)，
则＝(，1,2)，＝，
所以||＝2，||＝，
·＝2m－1.
则cos〈，〉＝
＝＝cos 45°＝，
解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾．
所以在棱CC1上不存在点N，使得向量与向量的夹角为45°.
16．解：(1)由题可知，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，
以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1，2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，
所以E，F，
＝，||＝，
即B，F两点间的距离为.
(2)证明：由(1)知，＝，
＝(1,0,0)，所以＝－，
即∥，即EF∥AB，
又AB 平面PAB，EF 平面PAB，
所以EF∥平面PAB.
(3)证明：由(1)知，＝(0,0,1)，
＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，
所以·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，
·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，
则⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC，
又AP∩AD＝A，且AP，AD 平面PAD，
所以DC⊥平面PAD.又DC 平面PDC，
所以平面PAD⊥平面PDC.

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