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北京师范大学燕化附属中学 2024-2025 学年高一下学期期中
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题：本题共 10 小题，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1．sin330 =
A 1 1． 2 B．– 2 C
3
． D．– 3
2 2
r
2．已知向量a ( 1,5)， b (2,m) ，若 a b，则m的值为（ ）
2 2
A． B． C． 10 D．10
5 5

3 ．平面向量 a,b 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为 1，

则a b （ ）
A． 2 B．0 C．1 D．2
4．函数 y Asin x A 0, 0,0 π 的部分图象如图所示，则其解析式为（ ）
A． y 2sin

2x
π
B． y 2sin
π
6
2x
3
π π
C． y 2sin x 3
D． y 2sin 2x
6

5．若向量 a，b的夹角为 120°， a 1，若 | a b | 3，则 b （ ）
试卷第 1页，共 5页
3
A．1 B．2 C． 3 D．
2
6．已知 , 均为第二象限角，则“cos cos ”是“ sin sin ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章记录了弧田面积的计算问题.如
图，某弧田由弧 AB和其所对的弦 AB围成，若弦 AB长度为 2，弧 AB所对的圆心角的弧度
数为 2，则该弧田的面积为（ ）
1 1
A． B．
tan1 sin21
1 1 1 1
C． D．
cos21 tan1 sin21 tan1

8．已知等边V ABC的边长为 4，P为V ABC边上的动点，且满足 AP AB 12，则点 P轨迹
的长度是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
9．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时
间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为
y 2 1 2x sin x , x 0，其中 x 表示不超过 x的最大整数.若该条曲线还满足 2 π
1,3 M 3 π, 3 7，经过点 .则该条葫芦曲线与直线 x π交点的纵坐标为（ ）
4 2 6
1
A． B 2 3． C． D． 12 2 2
10．八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽
八种自然现象.八卦模型如图 1所示，其平面图形为正八边形，如图 2所示，点 O为该正八
试卷第 2页，共 5页

边形的中心，设 |OA | 1，点 P是正八边形 ABCDEFGH 边上任一点，下列结论中正确的个
数是（ ）
π
①OA与BO的夹角为 ；4
2
② OA OC DH ；
2
2
③OA在OD上的投影向量为 e（其中 e为与OD同向的单位向量）；
2
uur2 uur2 uuur2 uuur2 uur2 uuur2 uuur2 uuur2
④ PA PB PC PD PE PF PG PH 的取值范围是[12 2 2,16]．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共 5 小题，共 25 分。
3
11．已知 为锐角，且 sin ，则 cos π 的值为 .
5
12．若向量 a,b 满足 a 1, b 2, a b 2，则 a·b ．

13．已知非零向量 a 1,2 ，b 1,1 ，且 a与 a b 的夹角为锐角，则实数 的取值范围
是
14．已知函数 f x 3 sin x cos x 0 的定义域为 0,2π ，若 f x 2有且仅有两
个解，则 的取值范围为 ．
15．已知函数 f x sin π x，任取 t R ，定义集合：
2
At y y f x ，点 P t, f t ，Q x, f x 满足 PQ 2
设M t ，mt 分别表示集合 At中元素的最大值和最小值，记 h t M t mt ， 则
（1）函数 h t 的最大值是 ；
（2）函数 h t 的单调递增区间为 ．
试卷第 3页，共 5页
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．如图，在平面直角坐标系 xOy中，以 Ox轴为始边作两个锐角 、 ，它们的终边分别
10 2
与单位圆相交于 A、B两点，已知 A、B的纵坐标分别为 ， .
10 10
（1）求 tan( )的值.
（2）求 2a 的值.
a

3 b 1 a

17．已知向量 a， b满足 ， ， b 1 .

(1)求 cos a,b ；
(2)若 BA a，CA b，求 BC .
18．已知函数 f x sin 2x π 2 6 2cos x 1．
π
(1) 求 f 的值；
6
(2)求函数 f x 的单调递增区间；
(3)若函数 f x 在区间 0,m 上有且只有两个零点，求 m的取值范围．

19．如图，在梯形 ABCD中，AB 2DC， BAD 90 ，AB AD 2，E为线段 BC的中点，
记 AB a， AD b．
(1)用 a， b表示向量 AE；

(2)求 AE 的值；

(3)求 AE与 BD夹角的余弦值．
试卷第 4页，共 5页
20．海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现
测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨 3点 06分）
时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24
水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0
(1)根据以上数据，可以用函数 y Asin x b 0,| |
π
来近似描述这一天内港口
2
水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；
(2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为 4.2米．安全条例规定，在本港口进港和
在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有 2米，根据（1）中的解析式，求出这
条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．
试卷第 5页，共 5页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B B C D B C C
4
11． / 0.8
5
1
12． /0.5
2
( 513． , 0) (0, )
3
2 7
14． ,
3 6
15．2 2k 1,2k ，k Z
16 10 2．（1）∵A、B的纵坐标分别为 ， ，
10 10
sin 10 2∴ ， sin ，，
10 10
由 、 是锐角，可得： cos 1 sin2 3 10 ，
10
cos 1 sin2 7 2
sin 1
，∴ tan
sin 1
， tan ，
10 cos 3 cos 7
1 1
tan( ) tan tan
1
∴ 3 7 .
1 tan tan 1 1 1 2
3 7
1 1
（2） tan ， tan( )
3 2
1 1
tan(2 ) tan[ ( )] tan tan( )

∴ 3 2 1 .
1 tan tan( ) 1 1 1
3 2
1
∵0 a ， y tan x在 0, 上单调递增，且 tan 1 tan2 2 3 4
∴0

，同理 0 ，
4 4
∴0 2a
3
，从而 2a .
4 4
2 2 3
17．（1）因为 a b a 2 b 2 2a b 3 1 2a b 1 ，所以， a b ，2

3
所以， cos a ,b a b 2
3
.
a b 3 2

（2）因为 BC AC AB b a ，所以，
答案第 1页，共 4页
2 2 2 2
BC 3 b a b a2 2b a 3 12 2 7，
2

所以， BC边的长度为 BC 7 .
π π π
18．（1） f sin 2cos
2 1 1.
6 6 6
2 f x sin 2x π 3（ ） 2cos2 x 1 sin 2x
1
cos2x cos2x
6 2 2
3 sin 2x 1 cos 2x sin 2x
π
，
2 2 6
π
由 2kπ 2x
π π
2kπ， k Z，
2 6 2
π
得 kπ x
π
kπ， k Z，
3 6
所以 f x π π 的单调递增区间是 kπ, kπ k Z ． 3 6
π
（3）因为 x 0,m ，所以 2x , 2m

．6 6 6
2π 2m π依题意 3π
11π 17π
，解得 m ．
6 12 12
11π 17π
所以 m 的取值范围为 ， ． 12 12
19．（1）如图，连接 AC，

因为 E为线段 BC的中点， AB a

， AD b

所以 AE
1
AB AC 1 ，因为 AB 2DC，所以DC a，2 2

由向量的加法法则得 AC AD DC AD
1
AB b 1 a，
2 2
1
故
2

AB AC 1 a 1 3 1 b a a b ，即 AE 3 1 a b成立.2 2 4 2 4 2

（2）由于 BAD 90 ，可得 a b 0，又有 a 2, b 2，
22 2
AE AE 3 1

a b 9 2 3
2
所以 a a b
1
b ；
4 2 16 4 4
答案第 2页，共 4页
9
4 1 13 4 13，故 .
16 4 4 AE 2

（3）由向量的减法法则得 BD AD AB b a ，

由于 BAD 90 ，可得a b 0，又有 a 2, b 2，
2 2 2
得到 BD b a b 2a b a 2 4 4 8，故 BD 2 2 ，

AE BD 3

a 1b b a 3 a 2 1 2b 3 1则 4 4 1，
4 2 4 2 4 2

13 cos AE ,BD
A E B D 1 26
由上问得 AE ，故
2 AE BD 13
26 .
2 2
2
20．（1）由表格可知 y的最大值为 7.4，最小值为 2.6，
A 7.4 2.6 2.4,b 7.4 2.6所以 5 ，
2 2
由表格可知T 12.4 0 12.4，
2π 2π 5π
所以 ，
T 12.4 31
y 5 所以 2.4sin
x 5 ，
31
将点 (3.1,7.4)代入可得：7.4 2.4sin
5π
3.1

5，
31
5π
所以 3.1
π
2kπ,k Z，
31 2
解得 0 2kπ,k Z，
π
因为 ，所以 0，
2
所以 y 2.4sin
5π x 5,0 x 24 .
31
（2）货船需要的安全水深为 4.2 2 6.2米,
所以进港条件为 y 6.2 .
令 2.4sin
5π x 5 6.2 ,
31
sin 5π 1即 x ,
31 2
π 5π 5π
所以 2kπ x 2kπ,k Z ,
6 31 6
31 62k 31 62k
解得 x ,k Z ,
30 5 6 5
因为0 x 24，
答案第 3页，共 4页
31 31
所以 k 0时， x ,
30 6
k 1 403 x 527 时，
30 30
31 31
因为 （时） 1 时 2 分, （时） 5 时 10 分.
30 6
403
（时） 13 时 26 分，（时） 17 时 34 分.
30
因此，货船可以在 1 时 2 分进港，早晨 5 时 10 分出港；或在下午 13 时 26 分进港，
下午 17 时 34 分出港.
则该货船最早进港时间为 1时 2分，停靠总时长为 8小时 16分钟.
答案第 4页，共 4页

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