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2024-2025 学年山东省济宁市高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知 = 1 ，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
2.若数据 1， 2， 3， ， 10的平均数为 2，则数据 2 1 1，2 2 1，2 3 1， ，2 10 1 的平均数为
( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.用斜二测画法画出平面四边形 的直观图为菱形 ′ ′ ′ ′，如图所示，

其中 ′ ′ = 2，∠ ′ ′ ′ = 4，则四边形 的面积为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
4 ( ) = sin(3 + .为了得到 6 )的图象，可将 = 3 的图象( )
A. 向左平移18个单位长度 B.向右平移18个单位长度
C. 向左平移6个单位长度 D.向右平移6个单位长度
5.已知平面 ， 和直线 ， ，则下列结论正确的是( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
6.已知| | = 2，| | = 1，且 ， 的夹角为 30°，则 在 上的投影向量为( )
A. 1 3 14 B. 4 C. 2 D.
3
2
7.如图，在山脚 测得山顶 的仰角为 ，沿倾斜角为 的斜坡向上走 100 ，到达 处，在 处测得山顶 的
= , = = 5 仰角为 ，已知 4 6， 12，则山高 =( )
A. 100 B. 150 C. 200 D. 250
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8 1.已知正三角形 的边长为 2， = ( + ), = 1 2 3
， 与 相交于点 ，则 cos∠ =( )
A. 37 B.
2 3
7 C.
21 D. 217 14
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， ， 都是非零向量，则下列结论正确的是( )
A. ( ) = ( ) B. | | ≤ | || |
C.若 ⊥ ，则| + | = | | D.若 = ，则 =
10.某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务
不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长.现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025 年 5 月份对该市旅
游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分
制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下
列结论正确的是( )
A.频率分布直方图中 = 0.015
B. 2025 年 5 月份对该市旅游的游客满意度得分的中位数近似值为 80
C. 2025 年 5 月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为 78

D.若落在[80,90)的平均成绩 = 85，方差 21 = 6，落在[90,100]的平均成绩 = 95，方差 22 = 11，则落在
[80,100]的平均成绩为 87，落在[80,100]的成绩的方差为 23
11.在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为 ， 1 1的中点，则下列结论正确的是( )
A. 4 正方体 1 1 1 1内切球的体积为 3
B. 与 1所成角为 30°
C.平面 1 截正方体 1 1 1 1的截面面积为 2 6
D. 2底面半径为 2 ，高为 2( 3 1)的圆柱，能整体放入该正方体中
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.已知向量 = ( , 2)， = (3, 2).若 ⊥ ，则 = ______．
13.某校数学兴趣社团有男生 50 人，女生 30 人，现用比例分配的分层抽样方法从中抽取容量为 24 的样本，
则应抽取男生的人数为______．
14.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = ，若△ 的外接圆的半径为 1，
则 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = 2 2 3 + ( + 1) ( ∈ )．
(1)若复数 为纯虚数，求实数 的值；
(2)当 = 1 时，复数 是关于 的方程 2 + = 0 的一个根，求实数 ， 的值．
16.(本小题 15 分)
某科技公司测试两款新型无人驾驶配送车型( 型号与 型号)在复杂城市环境中的配送效率.记录了在 10 次
典型任务中，两种型号车的配送时间(单位：分钟)分别为：
型号 10 11 12 13 14 11 10 11 15 13
型号 11 13 10 11 12 10 14 12 12 15
已知该公司要求配送时间不超过 15 分钟，且配送时间越稳定，配送效率越高．
(1)分别计算 、 两种型号车的配送时间的平均数和方差；
(2)根据计算结果分析，哪种型号更符合公司的要求．
17.(本小题 15 分)
已知 = ( ,1)， = (1, 3)， = (cos2 , )(0 < < 2 )．
(1)若 //(2 )，求 的值；
(2)若 = 1，求 的值．
18.(本小题 17 分)
设△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 + 3 = 3 , = 2．
(1)求角 的大小；
(2)若点 在直线 上，与△ 为锐角三角形时，求 2 + 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图，在三棱锥 中， ⊥ ， ⊥ ， = = 2， = 4．
(1)若 为△ 的重心，点 在棱 上，且 = 2 ，求证： //平面 ；
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(2)若三棱锥 外接球的表面积为 20 ．
( )求二面角 的余弦值；
( )若点 是棱 上的动点(异于端点)，求直线 与平面 所成角的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.43
13.15
14.85
15.复数 = 2 2 3 + ( + 1) ( ∈ )．
(1)因为复数 为纯虚数，
所以
2 2 3 = 0 = 3，
+ 1 ≠ 0
复数 为纯虚数，实数 的值为 3．
(2) = 1，则 = 4 + 2 ，
又复数 是关于 的方程 2 + = 0 的一个根，

所以 = 4 2 也是方程的根，

+ = = 8
则 ，
= = ( 4 + 2 )( 4 2 ) = 20
所以 = 8， = 20．
16.(1) 型号车的配送时间的平均数

= 11+13+10+11+12+10+14+12+12+15 10 = 12，
型号车的配送时间的方差
2 = 1 10 × (1 + 1 + 4 + 1 + 0 + 4 + 4 + 0 + 0 + 9) = 2.4，
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型号车的配送时间的平均数

= 10+11+12+13+14+11+10+11+15+13 10 = 12，
型号车的配送时间的方差
2 1 = 10 × (4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 1 + 4 + 1 + 9 + 1) = 2.6，
所以 型号车的配送时间的平均数为 12，方差为 2.6，
型号车的配送时间的平均数为 12，方差为 2.4，

(2)由(1) = = 12 < 15，则都满足该公司要求配送时间不超过 15 分钟，
又 2 = 2.4 < 2 = 2.6，所以 型号配送时间更稳定，效率更高，
所以 型号更符合公司的要求．
17.(1)因为 = ( ,1)， = (1, 3)，
所以 2 = (2 ,2 3 1)，
若 //(2 )，则(2 3 1) = 2 ，
3
解得 = 3 ；
(2)若 = 1，则cos2 + 3 = 1，
1+ 2 + 3即 2 2 2 = 1，
3 1
所以 2 2 + 2 2 = sin(2 +

6 ) =
1
2，
因为 0 < < 2，
则 = 3．
18.(1)因为 + 3 = 3 ，由正弦定理可得 + 3 = 3 ，
则 + 3 = 3( + )，
可得 = 3 ，
因为 ≠ 0，可得 = 3 ，即 = 3，
所以 = 3．
(2) ∠ = ∠ = 2 设 ，则 3 ，
0 < < 2
因为△ 为锐角三角形，则
0 < 2 <
，解得6 < < 2，
3 2
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由正弦定理可得sin∠ = sin∠ = sin∠ ，
sin∠ 3
则 = sin∠ = ，
2
sin∠ 2 ( 3 ) = = = + 3 3sin∠ sin = + 1，
2 + = 2 3可得 +
+ 3 = 2 3 3 + + 1，
令 ( ) = 2 3 3 + + 1, ∈ ( 6 , 2 )，
可知 ( ) ( 在 6 , 2 )

内单调递减，且 ( 6 ) = 4 + 4 3，

当 → 2时， ( ) → 2 3 + 1，
可得 2 3 + 1 < ( ) < 4 3 + 4，所以 2 + 的取值范围为(2 3 + 1,4 3 + 4)．
19.(1)证明：取 中点 ，连接 ， ，
因为 为△ 的重心，所以 在 且 = 2 ，
因为点 在棱 上，且 = 2 ，
所以 // ，又 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ；
(2)解：( )因为三棱锥 外接球的表面积为 20 ，所以三棱锥 外接
= 20 球的半径为 4 = 5，
在 △ 中， = 2 + 2 = 42 + 22 = 2 5，所以球心即为 中点 ，
所以∠ = 2．
因为 = = 2，所以△ 与△ 全等， = = 4，
过 作 ⊥ 交 于点 ，连接 ，则 ⊥ ，
所以∠ 为二面角 的平面角，
× 4×2 4 5
因为 = = = 2 5 = 5 ， =
2 + 2 = 22 + 22 = 2 2，
4 5 4 5
cos∠ =
2+ 2 2 ( 5 )
2+( )2 (2 2)2
所以二面角 的余弦值 2 × =
5 = 1
2×4 5×4 5 4
；
5 5
( )由题可得 ⊥ ，又由( )可得 ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以平面 ⊥平面 ，
过 作 ⊥平面 交平面 于点 ，则 ∈ ，连接 ，
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则∠ 即为直线 与平面 所成角，
设 = 2 ，
在△ = 1中， 2 = 2， =
2 2 = 14，
2 2
cos∠ = +
2
= 20+2 14 = 10所以 2 × 2×2 5× 2 5 ，
sin∠ = 15 6所以 5 ，则 tan∠ = 2 ， = 2 ×
6
2 = 6 ， = 10 ，
在△ 中， = 2 + 2 2 × 45° = 4 2 + 4 4 2 ，
1 4 2+4 4 2 2 2 1 2 1 2 2 1所以tan∠ = = 6 = 6 1 + 2 = 6 ( 2 ) + 2，
因为 0 < 10 < 2 5 0 < < 2 1 > 2 2 ，
1 2 1 2 1 3
所以 2tan∠ = 6 ( 2 ) + 2 > 3 0 < tan∠ < 3，
所以 0 < ∠ < 3，即直线 与平面 所成角的取值范围为(0, 3 )．
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