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2024-2025 学年山东省济南市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 满足 (1 ) = 3 + ( 是虚数单位)，则 =( )
A. 2 + B. 2 C. 1 + 2 D. 1 2
2.某校开展“阅读经典”的调查研究，高一、高二、高三的人数比例为 2：3：4.现采用按比例分配分层随
机抽样的方法从各年级中抽取人员进行调研.已知从高一抽取的人数为 30，则从高三抽取的人数为( )
A. 45 B. 60 C. 90 D. 135
3.已知向量 = (2,4), = ( , 1)，且 ⊥ ，则 的值为( )
A. 2 B. 2 C. 1 12 D. 2
4.已知 ， 是两条直线， ， ， 是三个平面，则正确的是( )
A.若 // ， ， ，则 // B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C.若 ⊥ ， // ，则 ⊥ D.若 // ， // ，则 //
5.解放阁是山东省的“国防教育基地”.如图，为测量解放阁的高度 ，某人取了一条水平基线 ，使 ，
， 在同一条直线上.在 ， 两点用测角仪器测得 的仰角分别是∠ = 30°，∠ = 53°，并测得 = 35
米，则 约为( )(参考数据： 53° ≈ 0.8， 23° ≈ 0.4)
A. 30 米 B. 35 米 C. 45 米 D. 70 米
6.用斜二测画法画水平放置的△ ，其直观图△ ′ ′ ′如图所示，其中 ′ ′ = ′ ′ = 2.若原
△ 的周长为 10，则 ′ ′ =( )
A. 52 B.
15
2 C. 5 D. 15
7.抛掷 2 枚质地均匀的硬币，恰有 枚正面朝上的概率为 (其中 = 1，2，3)，则( )
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A. 1 = 2 = 3 B. 3 > 1 > 2 C. 3 > 2 > 1 D. 1 > 2 > 3
8 2 .在△ 中，∠ = 3 , ∠ 的平分线交 于点 ， 为 的中点.若 = 4， = 6 ，则 =( )
A. 3 2 B. 3 3 C. 3 6 D. 3 7
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了 200 名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如图的
频率分布直方图(同一组的数据用该组区间的中点值代表)，则( )
A. = 0.0175 B.众数是 230
C.中位数是 210 D.跳远距离在区间[200,260]的人数为 168
10.已知古典概型的样本空间 及事件 和事件 ，满足 ( ) = 36， ( ) = 12， ( ) = 16， ( ∪ ) = 24，
则( )

A. ( ) = 427 B. ( ∪ ) =
2 1 1
3 C. ( ) = 3 D. ( ) = 3
11.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，点 ， 分别是棱 ，
1的中点， 是侧面 1 1内(含边界)的一动点，且满足 1 //平面 ，
则( )
A.点 到平面 的距离为定值
B.存在点 ，满足 1 ⊥
C. 二面角 1 1 1的取值范围为[0, 4 ]
D.过点 作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知圆台的上底面半径和母线长均为 2，下底面半径为 3，则圆台的体积为______．
13.若复数 满足| 2 + | = 3( 为虚数单位)，则| |的最大值为______．
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14.设 ， 是平面内的两条数轴，∠ = (0 < < ), 1, 2分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量.
若 = 1 + 2，则把有序数对( , )叫做向量 在坐标系 中的坐标.已知 = (3,0)， = (1,1)，
对任意 ∈ ，| | ≥ 2 恒成立，则 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
袋中有 5 个大小质地完全相同的小球，其中白球编号为 1，2，红球编号为 3，4，5.从中有放回地依次随机
摸出两个小球．
(1)求至少一个是白球的概率；
(2)设事件 为“第一次是白球”，事件 为“两个小球的编号之和为 6”，判断 与 是否相互独立，并说明
理由．
16.(本小题 12 分)
已知正四棱锥 ， ， 分别是 ， 的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)若四棱锥各棱长均为 2，求直线 与 所成角的余弦值．
17.(本小题 12 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 = + 12 ．
(1)求角 的大小；
(2)若△ 为锐角三角形．
(ⅰ)求角 的取值范围；
(ⅱ)设 = 6，求△ 面积的取值范围．
18.(本小题 12 分)
某同学用同一把尺子多次测量同一张标准 4 纸的宽度，得到以下 10 个数据 ，1 ≤ ≤ 10， ∈ (单位：
毫米)：
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
211 209 210 208 210 210 209 208 210 215

(1)计算该组数据的平均值 和方差 2；
(2)考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选：

①记 =
| |
(其中 为样本标准差，1 ≤ ≤ 10， ∈ )；
②若 > (其中 为样本容量)，则该数据 ，判断为无效数据，否则认为该数据有效．
对照表
3 4 5 6 7 8 9 10
1.16 1.48 1.72 1.89 2.02 2.13 2.22 2.29
(ⅰ)求 10，并判断 10是否为无效数据(结果保留两位小数)；
(ⅱ)求 1， 2， ， 10中无效数据的个数，并说明理由．
(参考数据： 3.6 ≈ 1.90)
19.(本小题 12 分)
在数学上用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体某顶点的曲率等于 2 与多面体在该点的面角之和的差，其

中面角是多面体的面的内角(角用弧度制表示).例如：对于正四面体任意一个顶点，每个面角均为3，所以正

四面体在该顶点的曲率为 2 3 × 3 = ．
(1)如图 1，该多面体由边长相等的 10 个正三角形和 2 个正五边形围成，任取一顶点，求该点的曲率；
(2)如图 2，在正三棱台 1 1 1中， 1 1 = 2， = 4，点 与 1处的曲率之差为 .若 为侧面
1 1(含边界)内一动点，且直线 与平面 1 1所成角的正切值为 2，求动点 的轨迹长度；
(3)某多面体由边长相等的 ( ∈ )个正三角形和 ( ∈ )个正五边形围成，若各顶点的曲率之和为 4 ，
且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同(图 3 为满足条件的两个多面体示例)，求该多面体面
数的所有可能取值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.19 33
13. 5 + 3
14.( 1, 19 ]
15.(1)由于有放回地依次随机摸出两个小球，所以每次摸球的结果互相独立，
3 16
故至少一个是白球的概率为 1 ( 25 ) = 25；
(2) 2因为事件 为“第一次是白球”，所以 ( ) = 5．
因为事件 为“两个小球的编号之和为 6”，且 1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3 = 6，
所以 ( ) = 1 × 1 × 2 + 15 5 5 ×
1
5 × 2+
1 1 1
5 × 5 = 5，
事件 为“第一次编号为 1 且第二次编号为 5”或者“第一次编号为 2 且第二次编号为 4”，
1 1 1 1 2
所以 ( ) = 5 × 5 + 5 × 5 = 25，
则 ( ) = 225 =
2
5 ×
1
5 = ( ) ( )，
所以 与 是相互独立的．
16.(1)证明：正四棱锥 中， ， 分别是 ， 的中点，
取 的中点为 ，连接 ， ，
则 // 1，且 = 2 ，
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又 // = 1且 2 ，
故 C // 且 = ，则四边形 为平行四边形，
故 C // ， 平面 ， 平面 ，
故 C //平面 ；
(2)由(1)知： // ，则∠ 或其补角即为直线 与 所成角，
又△ 为边长为 2 的等边三角形，故 = = 32 × 2 = 3，
= 2 + 2 = 22 + 12 = 5, = 12 = 1，
2 2 2
故 cos∠ = + 5+3 1 7 152 = ，2× 5× 3 = 30
故直线 与 所成角的余弦值为7 15．
30
17.(1)利用正弦定理化简已知等式可得 = sin( + ) = + = + 12 ，
所以 = 12 ，
又因为 > 0，
1
可得 = 2，
又由于 ∈ (0, )，
= 可得 3；
0 < <
(2)(ⅰ) 2由题意可得
0 < = 2
，
3 <

2

解得6 < <

2，
可得 的取值范围为( 6 , 2 )；
(ⅱ) 由于 = 3， = 6，
= 1可得 2 =
3 3
2 ，
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又因为 = = sin(2
，
3 )
6 (2
可得 = 3
)
，
3
3 3 +
1 1
可得 = = 9 3 2 22 = 9 3( 2 +
3
2 )，
∈ ( 由于 6 ,

2 )，
可得 ∈ ( 33 , + ∞)
1 3 3
，可得 ∈ (0, 3)，可得2 ∈ (0, 2 )，
1 3 1
可得2 + 2 ∈ ( 2 , 2)，
= 9 3( 1 + 3 9 3故 2 2 ) ∈ ( 2 , 18 3)．
18. (1) 1由题意可知，平均数 = 10 (211 + 209 + 210 + 208 + 210 + 210 + 209 + 208 + 210 + 215) = 210，
1
方差 2 = 10 × (1
2 + 12 + 02 + 22 + 02 + 02 + 12 + 22 + 02 + 52) = 110 × 36 = 3.6；

(2)(ⅰ) | | |215 210| 5 5由题意可知， 1010 = = 3.6 = 3.6 ≈ 1.9 > 2.29，
故 10是无效数据；

(ⅱ)由表中数据可知： 3 = 5 = 6 = 9 = 0，

故此时可得 =
| |
= 0 < 2.29，

| 1 | = | 2 | = | 7 | = 1 =
| | 1，此时 = =
1
1.9 < 2.29，

| 4 | = | 8 | = 2
| | 2
，此时 = = =
2
1.9 < 2.29，
故 1， 2， ， 9均为有效数据，
由(ⅰ)知 10是无效数据，
因此无效数据只有 1 个．
19.解：(1)该多面体任取一顶点连接 3 个正三角形和 1 个正五边形，则该点的
曲率为 2 (3 × 3 2 3 + 5 ) = 5．
(2)梯形性质分析：由于梯形 1 1是等腰梯形， ， 1处的内角互补．
设梯形在 的内角为 ，在 1的内角为 ，则 + = ．

但是根据曲率差的条件，2 2 3 (2 2 3 ) = 2 2 = ．
3
解方程组： = 4 , = 4．
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从 1， 1点向下底作垂线，交于 ， ，上下底中点分别为 ， ．
由于上底 1 1 = 2，下底 = 4，
∴ = 1，∴ 1 = = 1 = 1, 1 = 1 = 2，
设上下底面的中心分别为 1， ， 在下底面内的射影为 ′，则 1， 分别
在 1 ， 上，
且 ′ ∈ , = 1 1 3 , =

3 , 1 = ′, 1 ⊥ , ′ ⊥ ，
= 2 3, = 3, = 3 , = 2 3 3计算得 1 1 3 3 , ′ = 3 ，
= 1, 6′ = 3 , cos∠ =
3 6
3 , sin∠ = 3 ，
= ∠ = 2 3 × 33 = 2, = = 2 1 = 1，
= ∠ = 2 3 × 63 = 2 2, =

2 = 2，
∴ 为 1， 1的交点，由于 = 4，∴ 1 = 1 = 2 = ，
∴点 的轨迹为如图所示的以 为圆心，以 1， 1为端点，半径为 = 2圆弧，
= 2 轨迹的长度为2 2 ．
(3)多面体由 个正三角形和 个正五边形组成，边长相等，各顶点曲率之和为 4 ．
每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同(顶点传递性)．
欧拉公式：对于凸多面体，欧拉公式 + = 2，其中 是顶点数， 是边数， 是面数．
这里 = + ．
曲率总和：根据题目，曲率总和为 4 ．
顶点均匀性：题目要求每个顶点相同，意味着多面体是顶点传递的，且每个顶点周围的配置相同．
3
面角计算：正三角形的内角为3，正五边形的内角为 5．
顶点曲率：设每个顶点周围有 个正三角形和 个正五边形．
3 3 30 5 9
由于顶点相同，所有顶点配置相同，面角总和为 3 + 5，曲率为 2 ( 3 + 5 ) = 15 ．
30 5 9
顶点数：由于所有顶点相同，曲率总和为 15 = 4 ，
因此， (30 5 9 ) = 60．
边数计算：每个正三角形有 3 条边，每个正五边形有 5 条边，
3 +5
但每条边被两个面共享，总边数 = 2 ．
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顶点配置：由于多面体是顶点传递的，每个顶点有相同的边数(即相同的面数)．
设每个顶点周围有 个面， = + ．
3 +5
由于每条边连接两个顶点， = 2 ，但是， = 2 ，
因此， = 3 + 5 ．
结合欧拉公式： + = 2，得 2 3 = 4．
解方程组：我们有以下方程：
(30 5 9 ) = 60，
= 3 + 5 ，
2 3 = 4，
= + ，
由于每个顶点相同，我们需要考虑可能的 值．

枚举 值：常见的多面体顶点面数 满足3 < 2 ，
∴ 只能为 3，4，5 等．
= 3： + = 3．
可能的组合：( , ) = (3,0)：
解得 = 4， = 0，不满足题目要求 ∈ ；
(2,1) 2 60： 个三角形和 1 个五边形，得 = 11，非整数，舍去．
(1,2) 1 60： 个三角形和 2 个五边形，得 = 7，非整数，舍去．
(0,3) 3：全五边形，不可能，因为三个五边形无法闭合(3 × 5 > 2 ).
= 4：( , ) = (4,0)：全三角形，如八面体，解得 = 6， = 0，舍去．
(3,1)：3 个三角形和 1 个五边形，解得 = 10．
现在， = 4 = 40 = 3 + 5 ．
2 3 = 4 20 3 = 4 + 3 = 16．
解方程组： + 3 = 16，3 + 5 = 40
解得： = 2 = 10．
因此， = + = 12．
(2,2)：2 个三角形和 2 个五边形，得 = 30， = 120 = 3 + 5 ．
60 3 = 4，
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+ 3 = 56
= 56 3
3 (56 3 ) + 5 = 168 4 = 120
= 12 = 20 = 32．
(1,3)：1 个三角形和 3 个五边形．
30 5 27 215 = ( 15 ) = 4 = 30，舍去．
(0,4)：全五边形，不可能．
= 5：
(4,1)：4 个三角形和 1 个五边形．
30 20 9 = 15 15 = 4 = 60．
= 300 = 3 + 5 ．
2 3 = 4 120 3 = 4
+ 3 = 116 = 116 3 ，
∴ 3(116 3 ) + 5 = 348 4 = 300
∴ 4 = 48 = 12 = 80 = 92．
(3,2)：3 个三角形和 2 个五边形．
30 15 1815 = 4 = 20，舍去．
其他组合导致 为负数或非整数．
= 6：30 5 9 ≤ 30 5( + ) = 0，方程组无解．
因此，多面体面数的所有可能取值为 12，32 和 92．
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