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2024-2025 学年广东省揭阳市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ |( 1)( 4) ≤ 0}， = { ∈ |0 < < 4}，则 ∪ =( )
A. {1,2} B. {1,2,3} C. {1,2,3,4} D. {0,1,2,3,4}

2.已知 = (1 + 3 )(3 )，则 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.若抛物线 2 = 2 的准线为直线 ，且 交圆 ： 2 + 2 = 1 于 ， 两点， 为坐标原点，则∠ =( )
A. 5 2 6 B. 3 C. 3 D. 6
4.已知平面向量 = ( , 2)， = ( 2,4)，若 //( )，则 =( )
A. 1 B. 12 C. 0 D. 1
5 2.若命题 ： ( ) = 2 +1为奇函数， ： ( ) =
2 + ( 2 ) + 1 为偶函数，则 是 成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6 .已知函数 ( ) = sin( 4 )(0 < < 3)， = 8是 ( )的一个零点，则当 ∈ ( 6 , 3 )时， = ( ) + ( +

4 )的值域为( )
A. ( 3 , 32 2 ) B. (
6 6 3 6
2 , 2 ) C. ( 2 , 1] D. ( 2 , 2]
7.某次马拉松比赛活动中，甲，乙，丙，丁四位志愿者派往 ， ， 三个物资发放点，若每个物资发放点至
少派一位志愿者，且每位志愿者只能派往一个物资发放点，则在甲被派去 物资发放点的条件下，甲，乙被
派去同一个物资发放点的概率为( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 56 2 3 6
8.已知定义在(0, + ∞)上的函数 ( )，对任意 ， > 0，总有 ( ) < ( ) + ( ) + 1 成立，且当 > 1 时，
( ) < 1.设 = ( 2 3 2 )， = ( 3 )， = ( )( ≈ 2.718…)，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知公差不为 0 的等差数列{ }的前 项和为 ，且 5 = 30， 6 = 0，则下列说法正确的是( )
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A. = 1 B. 3 = 6
C. { }是递减数列 D.若 > 0，则 的最大值是 11
2 2
10 .已知双曲线 ： 3 6 = 1，其左、右焦点分别是 1， 2，过点 2的直线 与 交于 ， 两点，则( )
A. 的离心率为 3
B. 16 3当 的倾斜角为6时，| | = 5
C.直线 的斜率可以为 2
D. 上存在点 ，使∠ 2 1 = 3∠ 1 2 ≠ 0
11.用半径为 的圆形铁皮剪出圆心角为 的扇形(以圆形铁皮的半径为半径的扇形)，制成一个圆锥形容器 ，
底面圆 的半径为 ，则下列说法正确的是( )
A.当 = 3 3 7 2，且圆锥 的侧面积为 3 时，圆锥的体积 = 8
B. = 3 3 7当 2，且圆锥 的侧面积为 3 时，过圆锥 的顶点 所作的截面中，截面面积的最大值为 4
C.当 = 3，且圆锥 的侧面积为 3 时，圆锥 能在棱长为 4 的正四面体内任意转动
D. = 2 6当 3 时，圆锥 的体积最大
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 ～ (2, 2)，若 ( ≤ 0) = 0.26，则 (2 ≤ ≤ 4) =______．
13.已知曲线 = + 在点(1,1)处的切线与曲线 = 1 相切，则 的值为______．
14.如图，从 1 开始出发，一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格，
并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从 1
移动到 9，1 → 2 → 3 → 5 → 7 → 8 → 9 就是一条移动路线.从 1 移动到数字
( = 2,3, …, 9)的不同路线条数记为 ，从 1 移动到 9 的事件中(每条移动路线都是等可能的)，经过数字
( = 2,3, …, 8)的概率记为 ，则 5 = ______， 6 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，且 3 + = 3 ．
(1)求 ；
(2)若 = 2， 边上的高为 1，求△ 的周长．
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16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是等腰梯形， // ，平面 ⊥平面 ， ⊥ ， = 2 =
2，∠ = 60°．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2) 3若三棱锥 的体积为 4 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
17.(本小题 15 分)

已知函数 ( ) = ， ( ) = 22 ( ∈ )．
(1)求 ( )的极小值；
(2)若 ( ) = ( ) + ( )， ∈ ．
( )讨论 ( )的单调性；
( )当 0 < < 1 时，设 ( )的极大值是 ( )，求证： ( ) ≥
2
2．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方
程为 ： 2 + 2 = 2 + 2.已知椭圆 的两个焦点分别为 1( 3, 0)， 2( 3, 0)
1
， 为坐标原点，点 ( 3, 2 )
在椭圆 上．
(1)求 的标准方程；
(2)已知直线 与 交于 ， 两点，且 ⊥ ，求△ 面积的取值范围；
(3)过 的蒙日圆上一点 ，作 的一条切线，与蒙日圆交于另一点 ，若直线 ， 的斜率存在，设
与 的斜率分别为 ， ，证明： 为定值．
19.(本小题 17 分)
若数列{ }(1 ≤ ≤ , ∈ , ∈ )满足 ∈ {0,1}，则称数列{ }为 项 0 1 数列，由所有 项 0 1 数
列组成的集合为 ．
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(1)若{ }是 20 项 0 1 数列，当且仅当 = 4 ( ∈ , ≤ 5)时， = 0，求数列{( 1) }的所有项的
和；
(2)已知{ } ∈ ，{ } ∈ ，且{ }与{ }是两个不同的数列，定义离散型随机变量 =

=1 | |， = 1，
2，…， ，其中 ∈ ，且 ≥ 3．
( )求 ( = 3)取到最大值时 的值；
( )求随机变量 的分布列，并证明：当 = 4050 时， ( ) > 2025．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.24
13.2
14.5 1217
15.(1) 3 因为 3 + = ，
所以 3 + = 3 = 3sin( + ) = 3 + 3 ，
所以 = 3 ，
因为 ∈ (0, )，所以 = 3，
因为 ∈ (0, ) ，所以 = 3；
(2) = 因为 ，且 3 = 2，
所以 = = 12 = 2，即 = 4，
设 边上的高为 ，则 = 1，
1 1 3
所以 = 2 = 2 ，即 4 × 2 = ，所以 = 2 3，
由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 = ( + )2 3 ，
所以( + )2 = 2 + 3 = 12 + 12 = 24，即 + = 2 6，
所以△ 的周长为 + + = 2 3 + 2 6．
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16.(1)证明：底面 是等腰梯形， // ， = 2 = 2，∠ = 60°，
所以 = 1 + 4 2 × 1 × 2 × 1 = 3，2
所以 2 = 2 + 2，所以 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
且 ⊥ ，且 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(2)因为平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
且 ⊥ ，且 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
底面 是等腰梯形， = 2 = 2，∠ = 60°，
所以∠ = 120°，
所以 2 = 3 = 1 + 2 2 × × 1 × ( 12 )，
所以 = 1，
又因为三棱锥 的体积为 3，
4
所以 3 = 1 1 1 3 ，4 3 △ × = 3 × 2 × 1 × 1 × 2 ×
所以 = 3，
如图建系，
(0, 3, 0)， ( 1 , 3 , 0)， (0,0,3)，2 2
设平面 的法向量为 = (1,0,0)，
设平面 的法向量 = ( , , )， = ( 1 , 3 ，2 2 , 0)
= (0, 3, 3)，
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= 12
3
所以 2
= 0
，
= 3 3 = 0
令 = 3，则 = 1， = 3，
所以 = ( 3, 3, 1)，
设平面 与平面 夹角为 ，
= | | 3 3 13所以 | | | | = 9+3+1 = 13 ．
17.(1) ( ) = 的定义域为 ， ′( ) = (1 + ) ，
令 ′( ) = 0 得 = 1，令 ′( ) > 0 得 > 1，令 ′( ) < 0 得 < 1，故 ( )的极小值为 ( 1) =
1 = 1 ；
(2)( ) ( ) = 2
2 ( ∈ )，定义域为 ，
′( ) = (1 + ) ( + 1) = (1 + )( )，
若 ≤ 0，则 > 0，令 ( ) > 0 得 > 1，
令 ( ) < 0 得 < 1，故 ( )在( 1, + ∞)上单调递增，在( ∞, 1)上单调递减，
若 > 0，令 ( ) = 0 得 = 1 或 ，
当 = 1 时， = 1，此时 ( ) ≥ 0 恒成立，
故 ( )在 上单调递增，
当 > 1 时， > 1，
令 ( ) > 0 得 < 1 或 > ，
令 ( ) < 0 得 1 < < ，
故 ( )在( 1, )上单调递减，在( ∞, 1)，( , + ∞)上单调递增；
当 0 < < 1 时， < 1，令 ( ) > 0 得 < 或 > 1，令 ( ) < 0 得 < < 1，
故 ( )在( , 1)上单调递减，在( ∞, )，( 1, + ∞)上单调递增，
综上，当 ≤ 0 时， ( )在( 1, + ∞)上单调递增，在( ∞, 1)上单调递减，
当 = 1 时， ( )在 上单调递增，
> 1当 时， ( )在( 1, )上单调递减，在( ∞, 1)，( , + ∞)上单调递增，
当 0 < < 1 时， ( )在( , 1)上单调递减，在( ∞, )，( 1, + ∞)上单调递增；
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( ) 1证明：由( )可得当 0 < < 时， ( )在( , 1)上单调递减，在( ∞, )，( 1, + ∞)上单调递增；
故 = 时， ( )取得极大值，故 ( ) = ( ) = 2 ( )
2，
( ) = 12 ( )
2 2 2
1 = 1 2 ( )
2 ，
因为 0 < <，所以 < 1，令 ( ) > 0 1得2 ( )
2 + < 0，解得 2 < < 1，
即 2 < < 1，令 ( ) < 0 得 < 2，0 < < 2，
所以 ( )在 ∈ (0, 2)上单调递减，在 ∈ ( 2, 1)上单调递增，
2
故 ( ) ≥ ( 2) = × ( 2)2 = 22 2．
18.(1)因为椭圆 1的两个焦点分别为 1( 3, 0)， 2( 3, 0)，点 ( 3, 2 )在椭圆 ，
2 2 = 3
所以 3 1 ，
2 + 4 2 = 1
解得 2 = 4， 2 = 1，
2
则椭圆 的标准方程为 24 + = 1；
(2)当点 不是椭圆 的顶点时，
因为 ⊥ ，
所以点 不是椭圆 的顶点，设直线 方程为 = ， ≠ 0，
此时直线 1方程为 = ，
=
联立 2 + 4 2 = 4，
解得| | =
2
，
1+4 2
2
所以| | = 1 + 2| 2 1+ | = ，1+4 2
2 1+ 2
同理得| | = ，
4+ 2
2
则△ 面积 = 12 | | | | =
2(1+ ) = 2 ，
4 4+14 2+4 9( 1 1)2+25
1+ 2 2 4
因为 0 < 11+ 2 < 1，
4
所以5 ≤ < 1，
当且仅当 2 = 1 时，等号成立，
点 是椭圆 的顶点时，点 也是椭圆 的顶点，
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所以△ = 1面积 2 = 1，
则△ 4面积的取值范围为[ 5 , 1]；
(3)证明：易知蒙日圆的方程为 2 + 2 = 5，
当直线 斜率不存在时，直线 方程为 = 2 或 = 2，
此时直线 与蒙日圆的交点为(2, ± 1)或( 2, ± 1)，
1 1 1
所以 = 2 ( 2 ) = 4；
当直线 斜率存在时，
设直线 的方程为 = + ， ( 1, 1)， ( 2, 2)， 1 2 ≠ 0，
= +
联立 2 + 4 2 = 4，消去 并整理得(4
2 + 1) 2 + 8 + 4 2 4 = 0，
此时 = 64 2 2 16(4 2 + 1)( 2 1) = 0，
解得 2 = 4 2 + 1，
= +
联立 2 2 2 + 2 = 5，消去 并整理得( + 1) + 2 +
2 5 = 0，
此时 = 4 2 2 4( 2 + 1)( 2 5) = 4(5 2 2 + 5) = 4( 2 + 4) > 0，
2 2
由韦达定理得 1 + 2 = 2+1， 1
5
2 = 2+1，
2
= 1 2 = ( 1+ )( 2+ ) = 1 2+ ( 所以 1+ 2)+
2
1 2 1 2 1 2
2 2 5+ 2 + 22 2+1 2 2 2= +1 = 5 4 +1 5
2 1
2 5 2 5 = 4 2+1 5 = 4．
2+1
则
1
为定值，定值为 4．
19.(1)数列{ }是 20 项 0 1 数列，当且仅当 = 4 ( ≤ 5, ∈ )时， = 0；
当 = 4 1， = 4 2， = 4 3( ≤ 5, ∈ )时， = 1，
设数列{( 1) }所有项的和为 ，
则 = ( 1) 1 + ( 1)2 + ( 1)3 + 0 + ( 1)5 + ( 1)6 + ( 1)7 + 0 + … + ( 1)172 3 5 6 7 17 +
( 1)18 18 + ( 1)19 19 + 0 = 5；
(2)( )因为数列{ }、{ }是从集合 中任意取出的两个数列，
所以，数列{ }、{ }均为 项 0 1 数列，所以 的可能取值有 1、2、3、…、 ，
根据数列中 0 的个数可得，集合 的元素个数为 0 + 1 2 + + + = 2 ，
当 = 3 时，数列{ }、{ }中有 3 项取值不同，有 3 项取值相同，
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先确定{ }有2 种情况，然后在{ }中选取 3 项，这 3 项与{ }的对应项的取值不同，有 3 种情况，
则{ }与{ }的选择共有2 3 种情况，数列{ }、{ }是从集合 中任意取出的两个数列，
2 3 ( 1)( 2)2

所有可能情况有 2 2 种，所以 ( = 3) = = 3×2×1 = ( 1)( 2)2 2 ， 22 2 2 2×2 (2 1) 6(2 1)2
( 1)( 2) ( +1)( 1)
6(2 1) < 6(2 +1 1)
由 ( +1)( 1) > ( +1)( +2)
，
6(2 +1 1) 6(2 +2 1)
2 ( 5) + 3 < 0
化简可得 2 (2 8) + 3 > 0，解得 = 4，则当 = + 1 = 5 时， ( = 3)取得最大值；
( )证明：由( )知集合 中元素的个数为 0 + 1 + 2 + + = 2 ，
当 = ( = 1,2, …, )时，数列{ }、{ }中有 项取值不同，有 项取值相同，
先确定{ }有2 种情况，然后在{ }中选取 项与{ }对应项取值不同有 种情况，
则{ }与{ }的选择情况共有2 种情况，数列是从集合 中任意取出的两个数列，
所有可能情况有 2 22 2 种，所以随机变量 的分布列为：

( = ) = 2

= 2

2 2 2 2 (2 1)
= 2 1 ( = 1,2, , )，
2
!
因为 = ! ( )! =
( 1)! 1
( 1)! [( 1) ( 1)]! = 1 ( ∈ , 1 ≤ ≤ )，
1 2 1
所以 ( ) = 1 ×
1 2 3
2 1 + 2 × 2 1 + + × 2 1 = 2 1 ( + 2 + 3 + + )
= ( 0 + 1 + 2 + + 1) = 2
1 2 1
2 1 1 1 1 1
>
2 1 2 =

2，
即 ( ) > 2，当 = 4050 时， ( ) >
4050
2 = 2 = 2025．
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