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2024-2025学年下学期高一创新班期末考试试卷
数 学
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足，则（ ）
A． B． C．2 D．4
3．反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0455以下，至少要测量的次数为（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则
）
A．200 B．400 C．800 D．1000
4．已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则（ ）
A．3 B． C． D．
6．某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
7．已知公差不为0的等差数列，其前n项和为．若满足，且成等比数列，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，若直线与双曲线交于两点，且，则t的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点中心对称
C．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象
D．函数在区间上单调递增
10．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，为的中点，分别是线段上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．存在使平面 B．存在使平面
C．的最小值为3 D．的最小值为
11．如图，曲线C过坐标原点O，且C上的动点满足到两个定点，的距离之积为9，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为
C．周长的最小值为12
D．面积的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．的展开式中的系数为 .（用数字作答）
13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．则内切圆半径r的取值范围为 ．
14．某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：.
16．（15分）为了让广大游客全方位领略宜春的冬趣之乐，在海拔1600米的明月山冰雪体验中心，游客们在这里滑雪、戏雪，享受刺激的冰雪运动，感受冬日别样的欢乐与激情。为提升服务品质，明月山冰雪体验中心随机调查男、女性游客各100名，统计结果如下表所示：
男性游客 女性游客 合计
喜欢冰雪运动 55 35 90
不喜欢冰雪运动 45 65 110
合计 100 100 200
(1)是否有99.5%的把握认为游客是否喜欢冰雪运动与性别有关？
(2)冰雪体验中心招募初学者进行滑雪培训，对4个基本滑雪动作（站姿、滑行、转弯、刹车）进行指导.根据统计，每位初学者对站姿、滑行、转弯、刹车这4个动作达到熟练的概率分别为，，，，且4个基本滑雪动作是否达到熟练相互独立.若这4个基本滑雪动作至少3个达到熟练，则可称为滑雪入门.
（i）求初学者滑雪入门的概率；
（ii）现有一旅行团到宜春明月山冰雪体验中心游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为初学者，每个人滑雪条件相当，令为滑雪入门的人数，求，并求这30人中多少人滑雪入门的概率最大.
附：，其中.
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
17.（15分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点，分别为和的中点．
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（17分）已知椭圆过点，．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的直线l与椭圆E交于B，C两点，的外心为Q，证明：直线l与直线的斜率之积为定值，并求出该定值.
19．（17分）若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合.
(1)若是12项0数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；
(2)从集合中任意取出两个数列，记.
①求随机变量的分布列，并证明：；
②若用某软件产生项数列，记事件“第一次产生数字1”，“第二次产生数字1”，且.若，比较与的大小.高一创新班数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C C D C B D AB ABD
题号 11
答案 AD
12、-28 13、 14、
15、【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，即，解得，
所以，.
（2）证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，所以.
16、【详解】（1）解：由题设中的列联表中的数据，
可得，
所以有99.5%的把握认为游客是否喜欢冰雪运动与性别有关.
（2）解：（i）设事件分别表示初学者对站姿、滑行、转弯、刹车达到熟练，
滑雪初学者荣获“滑雪入门”为事件，
所以
.
（ii）因为初学者是相互独立的，随机变量为滑雪入门的人数，则，
可得，，
设有人荣获“滑雪入门”称号的概率最大，
则，解得，
因为，所以，所以人荣获“滑雪入门”的概率最大.
17、【详解】（1）取的中点，连接,
由，易知为等腰直角三角形，
此时，又，所以.
因为,所以，
由，即，所以，
此时，,有四点共面，,
所以平面，又平面，所以.
（2）由且,所以平面.
由，得为等边三角形，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
,
设平面的法向量
由,即，取，，
又，设直线与平面所成角为，
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18、【详解】（1）因为椭圆过点，，
则，解得，所以椭圆E的方程为.
（2）由题意可知：直线l的斜率存在，设直线，
联立方程，消去y可得①，
则，解得或，
设的外接圆方程为，
因为外接圆过点，则，即，
可得外接圆方程为，
则其圆心为，直线的斜率，
联立方程，消去y可得②，
因为是方程①②的两根，
则，两式相比可得，
整理可得，即，
所以直线l与直线的斜率之积为定值，定值为
19、【详解】（1）因为是12项数列，当且仅当时，，
所以当和时，.设数列的所有项的和为S，
则
，所以数列的所有项的和为0.
（2）①因为数列是从集合中任意取出两个数列，所以，数列为项数列所以，的可能取值为：当时，数列中有项取值不同，有项取值相同，
又因为集合中元素的个数共有个，
所以，，
所以，的分布列为：
1 2
因为，
所以，
②由题知，所以，，
所以，，
所以，即，
所以，，即.
答案第1页，共2页

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