资源简介

2024-2025 学年北京市大兴区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.在( + 1 )5 的展开式中， 的系数为( )
A. 20 B. 20 C. 10 D. 10
2.设函数 ( ) = 1， ′(1) = 2，则实数 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
3 1.已知随机变量 服从二项分布， ～ (3, 3 )，则 的数学期望是( )
A. 13 B. 1 C. 2 D.
5
3
4.已知函数 ( ) = 3 + 2 + 在定义域上不是单调函数，则实数 不可能是( )
A. 0 B. 1 C. 1 D. 2
5.设等比数列{ }的公比 ≠ 1，其前 项和为 ，则下列等式中一定成立的是( )
A. 1 + 3 = 2 2 B. 3 1 + 3 = 2 2
C. 22 = 1 3 D. 2( 2 1) = 1( 3 1)
6.给定一组正整数： 1， 2， 3， 4， 5，则“这 5 个数依次成等差数列”是“这 5 个数的平均数和中位
数均为 3”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.设 0 < < 1，随机变量 的分布列如表所示，
0 1
1
则当概率 在区间(0,1)内增大时，方差 ( )的变化是( )
A.增大 B.先增大后减小 C.减小 D.先减小后增大
8.已知盒中有 6 个灯泡，其中 4 个正品，2 个次品.从中取出 2 个正品，每次取出 1 个，取出后不放回，直
到取出 2 个正品为止，设 为取出的次数，则 ( = 3) =( )
A. 45 B.
3
5 C.
2
5 D.
1
5
9.已知直线 = + 是曲线 = 1 + 与曲线 = ln( + 2)的公共切线，则实数 =( )
A. 2 B. 1 C. 32 D. 4
第 1页，共 9页
10.已知各项均为整数的数列{ }满足：对任意的 ∈ ， +2 + > 2 +1，若 1 = 1， 2 = 2， = 2025，
则正整数 的最大值为( )
A. 63 B. 64 C. 65 D. 66
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.已知( 2)4 = 4 + 3 + 24 3 2 + 1 + 0，则 0 + 2 + 4 = ______．
12.设等差数列{ }的前 项和为 ， 1 = 5， 3 + 4 = 0，当 = ______时， 最小．
13.已知事件 与事件 相互独立，事件 的概率 ( ) = 0.5，事件 的概率 ( ) = 0.4，则 ( ) =______；
( | ) =______．
14.设无穷等比数列{ }的公比是 ，能说明命题“若存在正整数 0，当 > 0时， > 0，则{ }为递增
数列”是假命题的一组 1， 的值为 1 = ______， = ______．
15.关于函数 ( ) = 2 ln( + 1)，给出下列四个结论：
① ( )的值域是( ∞, + ∞)；
② ( ) 在区间(0, 6 )上单调递增；
③0 是 ( )的一个极值点；
④曲线 = ( )与 轴有且仅有 3 个交点．
其中所有正确结论的序号为______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 14 分)
已知无穷等比数列{ }的各项都是正数， 1 = 1， 2 4 = 16．
(Ⅰ)求数列{ }的通项公式；
(Ⅱ)设无穷数列{ }的前 项和为 ， 1 = 2，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，
使数列{ }唯一确定，求数列{ }的前 项和 ．
条件①： +1 = 2, ∈ ；
条件②： = 2 + , ∈ ；
条件③：2 +1 = + +2， ∈ ．
17.(本小题 14 分)
已知袋中装有 3 个红球和 2 个黄球，这 5 个球除颜色外完全相同，现从该袋中不放回地随机摸出 2 个球．
(Ⅰ)在第 1 次摸出红球的条件下，第 2 次摸出红球的概率；
第 2页，共 9页
(Ⅱ)设 表示摸出红球的个数，求 的分布列及数学期望 ；
(Ⅲ)若摸出 1 个红球得 2 分，摸出 1 个黄球得 0 分，直接写出摸出 2 球得分的数学期望．
18.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = 3 3 2 + ．
(Ⅰ)求曲线 = ( )的斜率为 1 的切线方程；
(Ⅱ)当 ∈ [0,3]时，求证： 4 ≤ ( ) ≤ 0；
(Ⅲ)设 是曲线 = ( )上的动点， 在何处时，曲线 = ( )在 处的切线斜率最小？(结论不要求证明)
19.(本小题 14 分)
为了解某地中学生使用 、 两款大语言模型辅助日常学习的情况，对该地的 80 名初中生和 120 名高中生
进行简单随机抽样，获得数据如表：
初中生 高中生
使用 不使用使用 不使用
款 30 人 50 人 70 人 50 人
款 60 人 20 人 40 人 80 人
假设所有学生对 、 两款模型是否使用互相独立.用频率估计概率．
(Ⅰ)从该地全体中学生中随机抽取 1 人，估计此人使用 款模型的概率 ；
(Ⅱ)从该地全体初中生中随机抽取 1 人，全体高中生中随机抽取 2 人，记这 3 人中使用 款模型的人数为 ，
估计 的分布列；
(Ⅲ)假设该地某校初中生和高中生人数比为 3：1，从该校全体中学生中随机抽取 1 人，记其使用 款模型
的概率估计值为 1，比较 1与(Ⅰ)中 的大小. (结论不要求证明)
20.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = ．
(Ⅰ)求 ( )的单调区间；
(Ⅱ)设函数 ( ) = ( 2) ( ) + 2 2，函数 ( )在 = 0 处取得极小值．
( )求实数 的取值范围；
( )是否存在 0 ≠ 0，使得 ( 0) = ( 0)成立？说明理由．
21.(本小题 15 分)
若有穷数列 ： 1， 2， ， 满足如下三个性质，则称 为 数列：
①项数 ≥ 3；
② 1 ≥ 0， +1 > ( = 1,2, , 1)；
第 3页，共 9页
③令集合 = { 1, 2, , }，对 , (1 ≤ ≤ ≤ )， ∈ 或 + ∈ ．
(Ⅰ)判断数列 0，2，4，6 是否是 4 数列，并说明理由；
(Ⅱ)若 ： 1， 2， ， 为 数列，求证：对 ， 满足 = + (1 ≤ , ≤ )；
(Ⅲ)已知 ： 1， 2， ， 为 数列，求证：当 ≥ 5 时， 是等差数列．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.41
12.3
13.0.2 0.5
14. 1 12
15.①②④
16.(Ⅰ)无穷等比数列{ }的各项都是正数，设公比为 ， > 0，
由 1 = 1， 2 4 = 16，可得 4 = 16，解得 = 2，
则 = 2 1 ；
(Ⅱ)选条件①： +1 = 2, ∈ ，
可得数列{ }是首项和公差均为 2 的等差数列，
则 = 2 ，
= 1 1 + 2 2 + . . . + = ( 1 + 2 + . . . + ) ( 1 + 2 + . . . + )
= (1 + 2 + 4 + . . . + 2 1) (2 + 4 + 6 + . . . + 2 ) = 2 1 2 ；
选条件②： = 2 + , ∈ ，
可得 ≥ 2 时， = 1 = 2 + ( 1)2 ( 1) = 2 ，
可得数列{ }是首项和公差均为 2 的等差数列，
则 = 2 ，
= 1 1 + 2 2 + . . . + = ( 1 + 2 + . . . + ) ( 1 + 2 + . . . + )
= (1 + 2 + 4 + . . . + 2 1) (2 + 4 + 6 + . . . + 2 ) = 2 1 2 ；
第 5页，共 9页
选条件③：2 +1 = + +2， ∈ ，
可得数列{ }是首项为 2 的等差数列，但公差不确定，故数列{ }不唯一确定．
1 1
17.(Ⅰ) 1在第 1 次摸出红球的条件下，第 2 次摸出红球的概率为 3 2
1 1
= ；
3 4 2
(Ⅱ)随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，
( = 0) =
2
2 = 1
1
3
1 6 22
2 10， ( = 1) = 2 = 10 =
3
5， ( = 2) =
3 = 32 10， 5 5 5
所以 得分布列为：
0 1 2
1 3 3
10 5 10
( ) = 0 × 1 310 + 1 × 5+ 2 ×
3 6
10 = 5；
(Ⅲ)设摸出 2 球得分为 ，所以 = 2 ， ( ) = (2 ) = 2 ( ) = 2 × 6 = 125 5．
18.(Ⅰ)由 ( ) = 3 3 2 + ，得 ′( ) = 3 2 6 + 1．
令 ′( ) = 1，即 3 2 6 + 1 = 1，
解得 = 0 或 = 2，
又 (0) = 0， (2) = 2，
所以曲线 = ( )的斜率为 1 的切线方程为 = 或 + 2 = 2，
所以曲线 = ( )的斜率为 1 的切线方程为 = 或 = 4．
(Ⅱ)证明：令 ( ) = ( ) ， ∈ [0,3]，
由 ( ) = 3 3 2，得 ′( ) = 3 2 6 = 3 ( 2)，
令 ′( ) = 0，得 = 0 或 = 2，
所以在(0,2)上， ′( ) < 0， ( )单调递减，
在(2,3)上， ′( ) > 0， ( )单调递增，
又 (0) = 0， (3) = 0， (2) = 4，
所以 ( )的最小值为 4，最大值为 0，
所以 4 ≤ ( ) ≤ 0，即 4 ≤ ( ) ≤ 0．
(Ⅲ)设曲线 = ( )上点 ( 0, 0)，
又 ′( ) = 3 2 6 + 1．
所以曲线 ( )在点 处的切线斜率为 ′( 2 2 20) = 3 0 6 0 + 1 = 3( 0 2 0) + 1 = 3[( 0 1) 1] + 1 =
3( 20 1) 2，
第 6页，共 9页
所以当 0 = 1 时，斜率有最小值 2，
此时 3 20 = 1 3 × 1 + 1 = 1，
所以当 的坐标为 (1, 1)时，曲线 = ( )在 处的切线斜率最小．
19.(Ⅰ)从表格数据可知，抽查的 80 + 120 = 200 名中学生中有 30 + 70 = 100 人使用 款模型，
100 1
因此该地全体中学生使用 款模型的概率估计为 = 200 = 2．
(Ⅱ)设事件 为“该地全体初中生中随机抽取 1 人，此人使用 款模型”，
事件 为“该地全体高中生中随机抽取 1 人，此人使用 款模型”．
60 3 40 1
根据题中数据， ( )估计为80 = 4， ( )估计为120 = 3．
根据题意，随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3
( = 0) 3 1 1可估计为(1 4 ) × (1 )
2
3 = 9，
( = 1)可估计为(1 34 ) ×
1 1 1 3
2(1 3 ) × 3 + 4 × (1
1 )23 =
4
9；
( = 2) 3 1 1可估计为4 ×
1
2(1 3 ) × 3 + (1
3 ) × 1 × 1 = 134 3 3 36；
( = 3) 3 1 1 1可估计为4 × 3 × 3 = 12．
所以 的分布列为
0 1 2 3
1 4 13 1
9 9 36 12
(Ⅲ)设选中初中生为事件 ，该生使用 款模型为事件 ，
选中高中生为事件 ，该生使用 款模型为事件 ，
3 3 1 7 41
由题 1 = ( ) + ( ) = 4 × 8 + 4 × 12 = 96，
由(Ⅰ) = 1知 2，所以 1 < ．
20.(Ⅰ)由 ( ) = ，得 ′( ) = + = ( + 1)，
当 ∈ ( ∞, 1)时， ′( ) < 0， ( )在( ∞, 1)上单调递减；
当 ∈ ( 1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )在( 1, + ∞)上单调递增．
所以 ( )的单调递减区间是( ∞, 1)，单调递增区间是( 1, + ∞)．
(Ⅱ)( )由函数 ( ) = ( 2) ( ) + 2 2，得 ( ) = ( 2 2 + 2) 2，
则 ′( ) = ( 2 )，
第 7页，共 9页
①若 = 0，则 ′( ) = 2 ≥ 0，所以 ( )在( ∞, + ∞)上单调递增，0 不是 ( )的极小值点．
②若 > 0，则当 < 0 时， 2 < 0，
所以 ′( ) = ( 2 ) > 0，所以 0 不是 ( )的极小值点．
③若 < 0，由(Ⅰ)知， ( ) = 在( ∞, 1)上单调递减，在( 1, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) = ( 1) =
1 1
，且当 1 ≤ < 0 时， ≤ ( ) < (0) = 0．
1 1 1
若 ≤ ，即 2 ≥ ，则 ≥ ≥ 2 ，即 2 2 ≥ 0(当且仅当 = 1 时，等号成立)．
所以当 1 < < 0 时， ′( ) = ( 2 ) < 0，
当 > 0 时， ′( ) = ( 2 ) > 0，所以 ( )在 = 0 处取得极小值．
1 1
若 2 < < 0，即 0 < 2 < ，令 ( ) =
2 ，
因为 (0) = 2 > 0， ( 1) = 1 2 < 0，且 ( )在( 1, + ∞)上单调递增，
所以 ′ ∈ ( 1,0)， ( ′) = 0，故当 > ′时， ( ) > 0.所以当 ′ < < 0 时， ′( ) = ( 2 ) <
0，
当 > 0 时， ′( ) = ( 2 ) > 0，所以 ( )在 = 0 处取得极小值．
综上可知， 的取值范围是( ∞,0)．
( )不存在，理由如下：假设存在 ≠ 0，使得 ( 2 0 0) = ( 0)成立，则有[( 0) 2( 0) + 2] 0 =
( 2 0 2 0 + 2) 0，
令 ( ) = ( 2 2 + 2) ，则 ( 0) = ( 0)，
由(Ⅱ)中( )知，函数 ( )在( ∞, + ∞)上单调递增，
所以由 ( 0) = ( 0)，得 0 = 0，即 0 = 0，这与 0 ≠ 0 矛盾，所以假设不成立．
所以不存在 0 ≠ 0，使得 ( 0) = ( 0)成立．
21.( )由题意知，集合 = {0,2,4,6}.因为数列 0，2，4，6 共有 4 项，0 < 2 < 4 < 6，
且 0 0，2 0，4 0，6 0，2 2，4 2，6 2，4 4，6 4，6 6 都是集合 的元素，
所以数列 0，2，4，6 是 4 数列；
(Ⅱ)证明：由题意知，集合 = { 1, 2, , }，
已知 ： 1， 2， ， 为 一数列，
①因为 > 0，所以 + > ，所以 + ∈ ， ∈ ，
故 0 ∈ ，因此 1 = 0，
所以 = 1 满足 1 = + 1；
第 8页，共 9页
②当 2 ≤ ≤ 时，因为 > 0，所以 + ∈ ， ∈ ，
所以对于 2 ≤ ≤ ， 满足 = ∈ ，即 = + ，
所以对 ， 满足 = + (1 ≤ , ≤ )；
(Ⅲ)证明：因为 ： 1， 2， ， 为 一数列，所以 0 = < 1 < 2 < … < 2 <
1 = ，
且 0 ≤ 1 < 2 < 3 < < 1 < ，所以 = 1， 1 = 2， 2 = 3，…， 2 = 1，
1 = ，
即 = +1，1 ≤ ≤ 1，①
当 3 ≤ ≤ 1 时， 1 + 1 < 1 + 2 = ，所以 1 + ， 1 ∈ ，
由 0 = 1 1 < 1 2 < < 1 3 < 3 = 2，且 0 ≤ 1 < 2 < 3 < … < 3 ≤
2，
所以 1 1 = 1， 1 2 = 2， 1 3 = 3，…， 1 3 = 3，所以 1 = ，
1 ≤ ≤ 3，
因为 ≥ 5 时， 1 1 = 1， 1 2 = 2，
所以 1 1 = 1，且 1 2 = 2有 1 = 1 ≤ ≤ 1，②
将①②两式相减得 1 = +1 ，1 ≤ ≤ 1，
因此，当 ≥ 5 时， ： 1， 2， ， 是等差数列．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑