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2024-2025 学年江西省吉安市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 3 + 1 与 3 1 的等比中项为( )
A. 2 B. 2 或 2 C. 2 D. 2或 2
2 5.已知火箭发射 秒后，其高度(单位：米)为 ( ) = 26 ，则火箭发射后第 9 秒时，火箭升高的瞬时速度为( )
A. 15 / B. 152 / C.
135
2 / D. 81 /
3.在等差数列{ }中， 为其前 项和，若 2 + 6 = 4，则 7 =( )
A. 14 B. 16 C. 7 D. 8
4.函数 ( ) = 2 4 的单调递减区间为( )
A. ( 2, 2) B. ( 2, + ∞) C. ( ∞, 2) D. (0, 2)
5.已知随机变量 的分布列为 ( = ) = ( 1) ( = 2,3,4)，则 ( = 2) =( )
A. 2 2 4 19 B. 3 C. 9 D. 9
6.已知数列{ }满足 1 = 1， 2 = 2，且 +2 = +1 ( ∈ )，则 2025 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
7.连续掷一枚均匀的骰子两次，记事件 =“第一次掷出的点数为奇数”，事件 =“第二次掷出的点数为
偶数”，事件 =“两次掷出的点数之和为偶数”，事件 =“两次掷出的点数之积为偶数”，则( )
A.事件 与事件 相互独立 B.事件 与事件 相互独立
C.事件 与事件 相互独立 D.事件 与事件 相互独立
8.已知函数 ( ) = ( 1)， ( ) = + ，若 ≥ 1 时， ( ) ( ) ≥ 0 恒成立，则实数 的
取值范围为( )
A. ( ∞,1] B. ( ∞, ] C. [1, + ∞) D. [ , + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A.标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差越大，数据的离散程度越大
B.用相关系数 判断线性相关强度， 越大，变量的线性相关程度越大
C.用卡方检验法判断“是否有把握认为吸烟与患肺癌有关”时， 2的值越大则表示吸烟与患肺癌之间的关
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联性越小
D. 2 24已知随机变量 、 满足 = 2 1，且 ～ (5, 5 )，则 ( ) = 5
10.已知函数 ( ) = 3 9 2 + 24 20，则( )
A. ( )的极小值为 4
B. ( )有三个零点
C. ( )图象的对称中心为(3, 2)
D.过点(5,0)只能作曲线 = ( )的一条切线
11.已知数列{ }满足 1 = 2， +1 = 2 +1 3 + 2( ∈ )，其前 项和为 ，则( )
A. 63 = 5
B. 1数列{ 1 }为等差数列
C.存在 ≥ 2，使得 为整数
D.对任意 ≥ 2，均有 < 1 + ln
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知数列{ }的前 项和 2 = ，则 =______．
13.已知过原点的直线 与函数 ( ) = ln| | + 1 的图像相切，则直线 的方程为______．
14.甲乙两人分别独立抛掷一枚均匀的骰子，甲掷 + 1 次，乙掷 次( ≥ 5, ∈ )，设甲投掷出现偶数
点的次数为 ，乙投掷出现奇数点的次数为 ，则 ( > ) =______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
昌赣深高铁是京九高铁的重要组成部分，全线于 2021 年 12 月 10 日开通运营，昌赣深高铁的开通使吉安
至深圳的最快旅行时间压缩至 2 小时 41 分，极大便利了吉安人民群众的出行.某日从吉安西至深圳北的部
分 字头高铁车次情况如图(假设高铁车次均能准点出发及到达)：
(1)从上表中随机选取两趟不同的高铁车次，求至少有一趟高铁车次的运行时间大于 3 小时的概率；
(2)甲、乙两人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从吉安西出发到深圳北，其中甲必须上午出发，乙必须
下午出发，且两人的选择互不影响.记随机变量 为甲、乙选取的列车中运行时长不超过 3 小时的个数，求
的分布列和数学期望．
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16.(本小题 15 分)
已知正项等比数列{ }的首项 1 =
1
2，其前 项和为 ，且 5 2 = 4 4．
(1)求{ }的通项公式；
(2)求数列{ }的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ．
(1)求 ( )的单调区间和极值；
(2)证明： ( ) ≤ 1 2 ．
18.(本小题 17 分)
某高科技公司在产品研发的过程中，为了研究芯片性能指标 与原材料中某种关键成分的含量 (单位：%)
之间的关系，研发团队进行了一系列实验，现随机抽取了部分实验数据如表：
2 4 6 8 10
30 40 60 50 70


( )( )
(1)请根据上述数据，求出 与 的线性回归方程 = + ；(参考公式： = =1 2 ， = ) =1 ( )
(2)经研究发现，该芯片在正常工作时，其性能指标 服从正态分布 ( , 2)，其中 = 10，当芯片的性能指
标在( 2 , + 2 )之间时，芯片的工作状态最佳.若由(1)中回归方程预测，当关键成分含量为 12 时，芯
片性能指标为 ．
( )假设在一次产品检验中，从该批次芯片中随机抽取 2000 个，估计性能指标不在(67,87)范围内的芯片个
数(结果保留整数)；(附：若 ～ ( , 2)，则 ( < < + ) ≈ 0.6826， ( 2 < < + 2 ) ≈
0.9544)
( )某机器的控制系统使用了 ( ≥ 3, ∈ )个芯片，其中每个芯片处在最佳工作状态的概率为 (0 < <
1)，各个芯片工作相互独立，如果系统中有超过一半的芯片处在最佳工作状态，则控制系统的工作效率最
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高，其概率记为 ( ).若在控制系统中增加一个芯片，控制系统工作效率最高的概率记为 ( + 1)，试判断
( )与 ( + 1)的大小关系并证明．
19.(本小题 17 分)
任取数列{ }中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为 3，则称数列{ }具有 性质.已知具有 性质的数列
{ }共有 项，且所有的项之和为 ．
(1)若 = 4，且 1 = 1， 4 = 4，求 4的所有可能值；
(2)若 1 = 2025， = 675，且 > +1( = 1,2, …, 674)恒成立，求 675；
(3)若 1 = 1， ≥ 2， = 0，证明： 2 + = 4 ( ∈ ).
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参考答案
1.
2.
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8.
9.
10.
11.
12.2 1， ∈
13. =±
14.12
15.(1)设“至少有一趟高铁车次的运行时间大于 3 小时”为事件 ，
则其对立事件 为“两趟车运行时间都不超过 3 小时”，
由车次表中数据可知共有 3 趟车运行时间不超过两小时，
2
( ) = 3 = 3 ( ) = 1 ( ) = 1 3 = 25故 ，故 ‘
28 28 28 28
(2)设“甲选取的列车运行时间不超过 3 个小时”为事件 ，“乙选取的列车运行时间不超过 3 小时”为事
件 ，

则 ( ) = 1 3 1 14， ( ) = 4， ( ) = 2， ( ) = 2，
由题意知 的所有可能取值为 0，1，2，

( = 0) = ( ) 3 1 3． ( ) = 4 × 2 = 8，

( = 1) = ( ) ( ) + ( ) ( ) = 1 1 34 × 2 + 4 ×
1 1
2 = 2，
( = 2) = ( ) ( ) = 14 ×
1 = 12 8，
故 的分布列为：
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0 1 2
3 1 1
8 2 8
∴ ( ) = 0 × 3 1 1 38+ 1 × 2 + 2 × 8 = 4．
16.(1)根据正项等比数列{ }
1
的首项 1 = 2，其前 项和为 ，且 5 2 = 4 4，
设数列{ }的公比为 ，
= 1 1当 时， = 1 = 2，则 5 2 ≠ 4 4；
4
当 ≠ 1 时， 2 = 1 + =
1 (1 + ), = 1 (1 )2 2 4 2 1 ，
由 5 = 4 5(1 2) = 4(1 4 1 12 4 )，解得 = 2，故 = ( 2 ) ；
(2) = ( 1 ) = ( 1由 ，则 ) + 2 ( 1 )2 2 2 2 + + (
1
2 )
，
1 1 1 1
则2
2 3 +1
= ( 2 ) + 2 ( 2 ) + + ( 2 ) ，
1 1 1 1 2 1故 3
1 1 +1
2 = 2 = ( 2 ) + ( 2 ) + ( 2 ) + + ( 2 ) ( 2 )
= 1 ( 1 1 +1 1 +12 ) ( 2 ) = 1 ( + 2) ( 2 ) ，
故 = 2
+2
2 ．
17.(1) ( ) = 1 1 = 1 导函数 ′ ( > 0)，
令 ′( ) < 0，解得 > 1，令 ′( ) > 0，解得 0 < < 1，
因此函数 ( )的单调减区间为(1, + ∞)，单调增区间为(0,1)，
由此可得函数 ( )在 = 1 处无极小值，取得极大值 (1) = 1．
1 1
(2) 证明：要证明 ( ) ≤ 1 2 ，那么只需证明 ( ) ≤ 2，即证明 ≤ 2，
1 1 1 1
令函数 ( ) = + 2
1 (1 )( + )
，那么导函数 ′( ) = 1 2 = 2 ，
令导函数 ′( ) = 0，得 = 1，且当 > 1 时， ′( ) < 0，当 0 < < 1 时， ′( ) > 0，
因此函数 ( )在(1, + ∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
因此函数 ( )在 = 1 处取最大值 (1) = 0，即 ( ) ≤ (1) = 0，
1
所以 + 2 ≤ 0，故 ( ) ≤
1 2 ．
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18. (1) = 2+4+6+8+10 30+40+60+50+705 = 6， = 5 = 50，

所以 = 15 ( )( ) = ( 4) × ( 20) + ( 2) × ( 10) + 0 × 10 + 2 × 0 + 4 × 20 = 180，

= 15 ( )
2 = ( 4)2 + ( 2)2 + 0 + 22 + 42 = 40，
=1
故 = 5
( )( ) 180 9 9
2 = 40 = 2 , = = 50 2 × 6 = 23， =15 ( )
9
所以 关于 的线性回归方程为 = 2 + 23；
(2)( )当 = 12 9时， = 2 × 12 + 23 = 77，即 = 77， = 67， + = 87，
已知 (67 < < 87) ≈ 0.6828，则 ( ≥ 87 或 ≤ 67) = 1 (67 < < 87) ≈ 0.3174，
所以从该批次芯片中随机抽取 2000 个，性能指标不在(67,87)范围内的芯片个数约为
2000 × 0.3174 ≈ 635 个；
( )记 为原系统中工作最佳的芯片个数， 为增加一个芯片后系统中工作最佳的芯片个数，
由条件可知 ( , )， ( + 1, )，
当 = 2 1( ≥ 2, ∈ )时，则原系统中 ( ) = ( ≥ )，新系统中 ( + 1) = ( ≥ + 1)，
由题意可知 ( ≥ + 1) = ( ≥ + 1) + ( = )，
所以 ( ≥ + 1) ( ≥ ) = [ ( ≥ + 1) + ( = )] [ ( ≥ + 1) + ( = )]
= ( 1) ( = ) = 2 1 (1 ) 1( 1) < 0，
即 ( ) > ( + 1)；
当 = 2 ( ≥ 2, ∈ )时，则原系统中 ( ) = ( ≥ + 1)，新系统中 ( + 1) = ( ≥ + 1)，
由题意可知 ( ≥ + 1) = ( ≥ + 1) + ( = )，
所以 ( ≥ + 1) ( ≥ + 1) = ( = ) = +12 (1 ) > 0，
即 ( ) < ( + 1)；
综上，当 为奇数时， ( ) > ( + 1)；当 为偶数时， ( ) < ( + 1)．
19.(1)若 = 4，且满足 1 = 1， 4 = 4 具有 性质的数列为：
{ } = {1,4,7,4}，此时 4 = 16；
{ } = {1,4,1,4}，此时 4 = 10；
{ } = {1, 2,1,4}，此时 4 = 4
故 4的所有可能值为 4，10，16．
(2)对任意的 ，均有| +1| = 3，因为 > +1( = 1,2, , 674)恒成立，
故 +1 = 3，即数列{ }是以 2025 为首项， 3 为公差的等差数列，
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因此 = 2025 3( 1) = 2028 3 ，即 675 = 2028 3 × 675 = 3．
(3)证明：令 = +1 ( = 1,2, , 1)，依题意可知 =± 3，
因为 2 = 1 + 1， 3 = 1 + 1 + 2， ， = 1 + 1 + 2 + + 1，
因此 = 1 + ( 1) 1 + ( 2) 2 + + 1
( + 1)
= 2 [(1 1)( 1) + (1 2)( 2) + + (1 1)]
因为 =± 3，因此 1 为偶数( = 1,2, , 1)，
因此(1 1)( 1) + (1 2)( 2) + + (1 1)也为偶数，
( +1)
因为 = 0，故 2 也必为偶数，即 4 整除 ( + 1)，
因此 2 + = 4 ( ∈ ).
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