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2024-2025 学年广东省华附、省实、广雅、深中四校联考高二（下）期
末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线 ： = 2 2，则抛物线 的焦点到准线的距离是( )
A. 4 B. 1 14 C. 2 D. 2
2 1.“ ≠ 1”是“ + > 2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知向量 = ( 3,4)， = (1,0)，向量 在向量 方向上的投影向量的模为( )
A. 35 B.
3
5 C. 3 D. 3
4.已知数列{ }的前 项和 = 2 + 2 ， 2 = 5，则 的值为( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
5.函数 ( ) = ( 2 1) 的极小值点是( )
A. = 2 B. ( 2,5 2) C. = 1 D. (1, )
6.若随机事件 ， 满足 ( ) = 13， ( ) =
1 1
2， ( | ) = 6，则 ( + ) =( )
A. 5 2 3 76 B. 3 C. 4 D. 12
2 27.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，点 在双曲线的右支上，且| 1| = 3| 2|，
则双曲线的离心率 的最大值为( )
A. 3 B. 2 C. 5 43 D. 3
8.若曲线 = 2 + ( ∈ )与圆 2 + ( 1)2 = 54有公共点 ( 0, 0)，且在点 处的切线相同，则 =( )
A. 1 B. 12 C.
1
3 D.
1
4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知复数 = 1 ， 为虚数单位，其共轭复数为 ，则下列说法正确的是( )
A. | | = 2 B. 的虚部为 1

C. 对应的点位于复平面的第三象限 D. = 2
10.已知函数 ( ) = (1 )(1 + )，则下列说法正确的是( )
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A. ( ) (0,2) B. ( ) = 3 关于 中心对称 关于直线 4对称
C. ( ) 3的最小正周期为 D. ( )的最大值为2 + 2
11.统计是研究数据的学问，一组数据的特征数能反映数据的取值规律，如平均数、众数、中位数能刻画数
据的集中程度，极差、标准差、方差能刻画数据的离散程度.已知 10 个数 1， 2， ， 10的平均数为 5，根
据下列选项的结果，能判断这组数据的中位数不超过 7 的是( )
A.标准差为 0 B.众数为 3 C.极差为 5 D.方差为 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.现将一个 7、两个 3、三个 5 排成一排，不同的排列方法有______种.
13.随机变量 服从正态分布 ( , 2)，若函数 ( ) = ( ≤ ≤ + 2)为偶函数，则 = ______．
14.已知正四面体 的顶点均在一个底面半径为 1 的圆柱侧面上(圆柱的高足够大)，且点 ， 到圆柱下
底面的距离相等，则该四面体的边长的取值集合是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知△ 的周长为 2 + 1，且 + = 2 ．
(1)求边 的长；
(2)若△ 1的面积为6 ，求角 的度数．
16.(本小题 15 分)
如图，矩形 和菱形 所在的平面相互垂直，∠ = 60°， 为 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求 = 2， = 1，求直线 与面 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
1
已知函数 ( )的定义域为 ，导函数为 ′( )，满足 ′( ) = 1+ 2， (0) = 0．
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(1)讨论函数 = ( ) ( ∈ )在(0,1) 1上的单调性，并证明：2 < (1) < 1；
(2)求函数 = ( ) 1 的图象与函数 = 的图象的交点个数．
18.(本小题 17 分)
已知 ， 两点的坐标分别是( 1,0)，(1,0)，直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之积是 2，记点 的轨
迹为曲线 .两个不同点 ， 在 上运动，满足直线 与直线 的斜率之比是 3．
(1)求曲线 的方程；
(2)直线 是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．
(3)证明：三角形 是钝角三角形．
19.(本小题 17 分)
在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为 ，输
的概率为 1 ，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3 局 2 胜”制游戏(累计先胜 2 局者获得最终
胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行 3 局比赛且甲至少赢 2 局.设 3 局比赛中甲赢的局
数为 ，那么 服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率．
(1) = 2若 3，求“5 局 3 胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率；
(2)记“2 1 局 胜”( ∈ )制游戏中甲获得最终胜利的概率为 1，“2 + 1 局 + 1 胜”制游戏中，甲
第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为 2，证明： 1 2 = 2 1 (1 ) ；
(3)教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有 + 1 支，黄粉笔有 1 支( ∈ 且 ≥ 2)，老师上
课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为 ，证
1 1
明： > 2 2 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.60
13.1
14.{2, 4 23 }
15.解：(1) ∵△ 的周长为 2 + 1，
∴ + + = 2 + 1，
∵ + = 2 ，
∴由正弦定理得 + = 2 ，
∴ = 1；
(2) ∵△ 1 1的面积 = 2 = 6 ，
∴ = 13，
∵ + = 2 = 2，
∴ 2 + 2 = ( + )2 2 = 43，
2 2 2
∴ + 1由余弦定理得 = 2 = 2，
∵ ∈ (0, )，
∴ = 3．
16.(Ⅰ)证明：∵矩形 和菱形 所在的平面相互垂直， ⊥ ，
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∵矩形 ∩菱形 = ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
∵菱形 中，∠ = 60°， 为 的中点，∴ ⊥ ，∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ，∴ ⊥平面 ．
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知 ， ， 两两垂直，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
建立空间直角坐标系，∵ = 2， = 1，则 = 1， = 3，
故 A(0,0,0)， ( 3, 1,1)， (0,0,1)， ( 3, 0,0)，
则 = (0,1, 1)， = ( 3, 1,0)， = (0,2, 1)，
设平面 的法向量 = ( , , ) ，则 = 0，
= 0
得 = (1, 3, 2 3)，
3 2 3 6
设直线 与面 所成角为 ，则 = = = ．| || | 2 1+3+12 8
17.(1)证明：令函数 ( ) = ( ) ，
1 1 2
那么导函数 ′( ) = ′( ) = 1+ 2 = 1+ 2 ，
1
当 = 0 时，导函数 ′( ) = ′( ) = 1+ 2 > 0，
因此函数 ( )在(0,1)上单调递增；
1 2
当 ≠ 0 时，根据导函数 ′( ) = 1+ 2 = 0，得
2 = 1 1，
< 0 ( ) = 1
2
①当 时， ′ 1+ 2 > 0， ( )在(0,1)上单调递增；
②当 0 < ≤ 1 12时，
2 = 1 > 1，所以 1
2 > 0 对任意 ∈ (0,1)恒成立，
此时 ′( ) > 0 在 ∈ (0,1)恒成立， ( )在(0,1)上单调递增；
③当 ≥ 1 时，1 2 < 0 对任意 ∈ (0,1)恒成立，
此时 ′( ) < 0 在 ∈ (0,1)恒成立， ( )在(0,1)上单调递减；
1 1
④当2 < < 1 时，令 ′( ) = 0 得 = ∈ (0,1)，
当 ∈ ( 1 , 1)时， ′( ) < 0， ( ) (
1
在 , 1)上单调递减；
∈ (0, 1 当 )时， ′( ) > 0
1
， ( )在(0, )上单调递增；
≤ 1综上所述：当 2时， ( )在(0,1)上单调递增；
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1
当2 < < 1 时， ( ) (
1
在 , 1)
1
上单调递减，在(0, )上单调递增；
当 ≥ 1 时， ( )在(0,1)上单调递减；
因此，取 = 1，得 (1) = (1) 1 < (0) = 0，即 (1) < 1；
1 1
取 = 2，得 (1) = (1) 2 > (0) = 0，即(0,1), (1) >
1
2；
1
故2 < (1) < 1．
(2)题意等价于方程 ( ) 1 = 的不同解的个数，
令 ( ) = ( ) 1，又等价于函数 ( ) = ( ) 1 的不同零点个数，
1 1
则 ′( ) = ( ) + ′( ) = ( ) + 1+ 2 ．
令 ( ) = ′( )，
1 2 1 2 1则 ′( ) = ′( ) + (1+ 2)2 + 2 = (1+ 2)2 + 2 > 0．
因此 ′( )在(0, + ∞) ( ) 1上单调递增，由于 为增函数，2 < (1) < 1，
故 ′( 12 ) = (
1 8 8 8 1
2 ) 5 < (1) 5 < 1 5 < 0， ′(1) = (1) 2 > 0，
1
因此存在 0 ∈ ( 2 , 1)，使得当 ∈ (0, 0)时， ′( ) < 0；
当 ∈ ( 0, + ∞)时， ′( ) > 0，
故 ( )在(0, 0)上单调递减，在( 0, + ∞)上单调递增，
1 1 1 2
而 ( ) = ( ) > 0， ( 0) < (1) = (1) 1 < 0， (
2) > 2 (1) 3 > 2 3 > 0
故 ( )在(0, 0)，( 0, + ∞)分别存在唯一零点
因此函数 = ( ) 1 的图象与函数 = 的图象的交点个数为 2．
18.(1)设 ( 0, 0)， 0 ≠ 0 且 0 ≠± 1，
因为直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之积是 2，
所以 0 0 = +1 1 = 2，0 0
2
整理得 20
0
2 = 1，
2
则曲线 的方程为 2 2 = 1, ≠ 0(或 ≠± 1)；
(2)因为 = 3 ，
又 = 2，
所以 = 6，
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设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， 1 2 ≠ 0，
若直线 的斜率不存在，
此时 1 = 2， 1 = 2，
1 2
2
1 2 2
2
1 2(1+ )所以 1 = ( 1 1)( 1)
= ( 1)2 = ( 1)2 = 1 = 62 1 1 1
解得 1 = 2，
此时直线 的方程为 = 2，
则直线 过点(2,0)，
若直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 = + ，
= +
联立 2 2 2 2
2
，消去 并整理得(2 ) 2 ( + 2) = 0，
2 = 1
此时 2 2 ≠ 0 且 = 8( 2 2 + 2) > 0，
2
由韦达定理得 + 2 +21 2 = 2 2， 1 2 = 2 2，
2( 2 2)
所以 1 2 = ( 1 + )( 2 + ) = 2 2 ，
= 1 2 2(
2 2)
则 ( 1 1)(
=
2 1) ( + )2
= 2 + = 6，
整理得 = 2 ，
此时 = 8(3 2 + 2) > 0 恒成立，
所以直线 的方程为 = 2 ，
此时直线 过点(2,0)，
综上所述，直线 过定点(2,0)；
2
(3)证明：由(2)知 = 4 +21 2 2 2 ， 1 2 = 6( 1 1)( 2 1)，
①当 2 > 2 时， 1 2 > 0， ， 均在 的右支，
此时 = ( 1 1)( 2 1) + 1 2 = 5( 1 1)( 2 1) < 0，
所以∠ 为钝角；
②当 2 < 2 时， 1 2 < 0， ， 在 的两支，
设 在 的右支
记 (2,0)，
此时 = ( 1 1)( 1 2) + 21 = 3 21 3 1 > 0，
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所以∠ 为锐角，
则∠ 为钝角．
综上所述，三角形 为钝角三角形．
19.(1)设事件 为“5 局 3 胜”制游戏中甲获得最终胜利
事件 等效于甲乙进行 5 局比赛且甲至少赢 3 局．
2
记 5 局比赛中甲赢的局数为 1，由题意得 1～ (5, 3 )
∴ ( ) = ( ≥ 3) = 3( 2 )3( 1 )2 + 4( 2 )4( 1 )1 + 5( 2 )51 5 3 3 5 3 3 5 3 =
64
81．
(2)证明：设甲乙进行 2 1 局比赛，甲赢的局数为 2，则
2～ (2 1, )且 1 = ( 2 ≥ )．
“2 + 1 局 + 1 胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利
若第 2 局甲输，则后续打满 2 1 局比赛，甲至少胜 + 1 局
若第 2 局甲胜，则后续打满 2 1 局比赛，甲至少胜 局
由全概率公式得
2 = (1 ) ( 2 ≥ + 1) + ( 2 ≥ )
= (1 ) ( 1 ( 2 = )) + 1
= 1 (1 ) ( 2 = )
= 1 2 1 (1 )
故 = 1 2 2 1 (1 ) ．
(3)证明：不妨设有无数支粉笔，
“用了 + 1 支白粉笔时，至多用了 2 支黄粉笔”，
“总共用了 2 1 支粉笔时，至少用了 + 1 支白粉笔”，
设总共用了 2 1 1支粉笔时，白粉笔用了 支，则 ～ (2 1, 2 )，
= ( ≥ + 1) = ( ≥ ) ( = )，
事件“ ≥ 1”等效于甲乙进行“2 1 局 胜”制游戏，甲乙每局获胜概率都为2，最终甲获胜，
1
由对称性可知 ( ≥ ) = 2，
∴ = 1 ( = ) = 1 1 2 1 2 2 2 1( 2 ) ，
∴ 1 1 1 2 1 1 > 2 2 2 1( 2 ) < 2 ，
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1 2 1 (2 1)! 1 2 3 (2 2) (2 1)∵ 2 1(2 ) = =( 1)! ! 22 1 ! 2 [2 4 6 (2 2)]
= 1 3 5 (2 1) 1 3 5 (2 1) ! 2 = 2 4 6 (2 ) ，
( 1 3 5 (2 1) 2 1 3 3 5 (2 3)(2 1) (2 1) 2 1 1注意到 2 4 6 (2 ) ) = 1 22 42 (2 2)2 (2 )2 < (2 )2 < 2 ，
∴ 1 2 1 12 1( 2 ) < 2 ，
∴ 1 1 > 2 2 得证．
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