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2024-2025 学年吉林省长春市农安县高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若 = + 2，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
2.已知向量 = (1, )， = (3 + 2, 1)，且 // ，则 =( )
A. 1 1或3 B. 3 C.
1
3 D. 1
3.一个公司共有 210 名员工，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为 35 的样本.已知某部门有
30 名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4.已知随机事件 和 互斥， 和 对立，且 ( ) = 0.8， ( ) = 0.3，则 ( ∪ ) =( )
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5
5.如表记录了上海某个月连续. 10 天的空气质量指数( )：
时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
空气质量指数( ) 20 28 24 33 31 35 36 38 36 37
则这些空气质量指数的 70%分位数为( )
A. 35 B. 35.5 C. 36 D. 37
6.空间中有两个不同的平面 ， 和两条不同的直线 ， ，则下列说法中正确的是( )
A.若 ⊥ ， // ， // ，则 // B.若 ⊥ ， // ， // ，则 ⊥
C.若 // ， // ， // ，则 // D.若 // ， ⊥ ， ⊥ ，则 //
7.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = 2 ， 23 = 4 ，则 + =( )
A. 3 B. 15 C. 32 4 4 D.
1
2
8.已知△ 是边长为 4 的等边三角形， 为圆 的直径，若点 为圆 上一动点，则 + 1 的取值
范围为( )
A. [0,16] B. [ 4,8] C. [ 2,16] D. [ 3,13]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知两组数据，第一组：1，2，3，4，5，6，7：第二组 2021，2022，2023，2024，2025，2026，2027，
则下列说法正确的是( )
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A.两组数据的平均数相同 B.两组数据的中位数相同
C.两组数据的极差相同 D.两组数据的方差相同
10.如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边
长和上面正四棱锥的侧棱长均为 10 ，正四棱柱的高为 5 3 ，则下列选
项中正确的是( )
A.正四棱锥的高为 5 2
B.该几何体的表面积为(100 3 + 100) 2
C. 500 2该几何体的体积为(500 3 + 3 )
3
D.一只小蚂蚁从点 沿几何体的表面爬行到点 ，它所经过的最短路程为 5 13
11.如图，在正方体 1 1 1 1中， 是线段 1上的一点，则下列说法正确
的是( )
A. 1 ⊥ 1
B. 1 //平面 1
C. 异面直线 1 与 1所成的角的取值范围是[ 6 , 2 ]
D. 3二面角 1 的正弦值为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.把水平放置的四边形 按照斜二测画法，得到如图所示的直观图 ′ ′ ′ ′，其中 ′ ′ =
2 ′ ′ = 6， ′ ′ = 1，则四边形 的面积为______．
13.“直线 垂直于平面 内无数条直线”是“ ⊥ ”的______条件．
14.甲、乙、丙三人进行篮球传球训练，第 1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另
外两个人中的任何一人，则第 4 次传球传给乙的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2
如图，在△ 中， = 3 ， 为线段 的中点，且
= + ， ， 为实数，记 = ， = ．
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(1)请用 和 表示 ；
(2)求 3 + 6 ．
16.(本小题 15 分)
某市为了研究高三学生在全市质检中的语文成绩的情况，从全市 16000 名学生中随机抽取了 1600 名学生
的成绩作为样本(成绩均在[70,140]内)，将所得的成绩分成七组：[70,80)，[80,90)，[90,100)，[100,110)，
[110,120)，[120,130)，[130,140]，得到频率分布直方图如图所示．
(1)求 的值，并估计该市语文成绩落在区间[90,110)内的学生人数；
(2)估计本次考试全市语文成绩的中位数(精确到 0.01)和平均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．
17.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 = = = 2， = 2 2，平面 1 1 ⊥平面 ，平面 1 1 ⊥
平面 ．
(1)求证： 1 ⊥平面 ；
(2)求证： 1 ⊥ 1．
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18.(本小题 17 分)
如图，在梯形 中， // ， ⊥ ， = 2 = 4， ， 分别为 ， 的中点，且 = 2，
是线段 上的一个动点．
(1)求∠ ；
(2)求( + ) 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
某景区为了吸引游客，计划建设一个五边形区域 的游览区，如图所示，其中三角形区域 为观赏
区，四边形区域 为游乐场活动区， ， ， ， ， ， 为游览区的主要道路(不考虑宽度)，
且∠ = 60°，∠ = 90°，∠ = 120°， = 100 3 ， = = 100 33 ．
(1)求四边形 的面积；
(2)求游览区的主要道路的总长度的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.9
13.必要不充分
14. 516
15.(1)在△ 中， = 2 ， 为线段 的中点，记 = ， 3 = ，
则 = +
2
= + 3
=
2
+ ( 3 )
1 2= + 3 3
= 1 + 23 3 ；
(2)由题意可得： = 12 (
+ )
1 1
= + 2 6
1 1
= + ( 2 6 )
= 2 + 1 3 6
，
又 = + ，
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= 2 = 1则 3， 6，
则 3 + 6 = 2 + 1 = 1．
16.(1)由题意知(0.012 + 0.018 + 0.028 + + 0.010 + 0.008 + 0.002) × 10 = 1，解得 = 0.022，
所以该市语文成绩落在区间[90,110)的频率为(0.028 + 0.022) × 10 = 0.5，估计该市语文成绩落在区间
[90,110)内的学生人数是 16000 × 0.5 = 8000；
(2)由频率分布直方图得，分数在区间[70,90)，[70,100)的频率分别为 0.3，0.58，
因此该校语文成绩的中位数 在[90,100)之间，
所以( 90) × 0.028 + 0.3 0.5，解得 = 6807 ≈ 97.14，
语文成绩的平均数为 75 × 0.12 + 85 × 0.18 + 95 × 0.28 + 105 × 0.22 + 115 × 0.1 + 125 × 0.08 + 135 ×
0.02 = 98.2．
17.证明：(1)因为 = = 2， = 2 2，所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
又因为平面 1 1 ⊥平面 ，平面 1 1 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 1 1，
又因为 1 平面 1 1，所以 ⊥ 1，
同理可得 ⊥平面 1 1，
又因为 1 平面 1 1，所以 ⊥ 1，
又因为 ∩ = ， ， 平面 ，所以 1 ⊥平面 ；
(2)取 为 的中点，连接 1 ， ，由(1)知， 1 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 1 ⊥ ，
又 1// 1，所以 1 ⊥ ，
所以∠ 1

1 = ∠ 1 = 2，
又因为 1 1 = 2 2， 1 = 2， = 2，

所以 1 1 = 1 = 2，所以△ 1 1 ～△ 1 ，所以∠ 1 1 1 = ∠ 1 ，
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∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 又因为 1 1 1 2，所以 1 1 1 1 2，所以 1 ⊥ 1 ，
因为 = ，所以 ⊥ ，
又因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，所以 1 ⊥ ，
又 1// 1，所以 1 ⊥ ，
又 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 1，所以 ⊥平面 1 1，
又 1 平面 1 1，所以 ⊥ 1，
又因为 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1，所以 1 ⊥平面 1，
又因为 1 平面 1，所以 1 ⊥ 1．
18.建立以 为原点， 所在直线为 轴正半轴， 所在直线为 轴正半轴的坐标系，
则 (0,0)， (4,0)，设 (0, 0)( 0 > 0)，
则 (1, 0)， (2, 0)

， (3, 02 )，
∴ = (2, 0), = (2,
0
2 )；
2
(1)由 = 2，则 4 0 = 2，即 20 = 4，2
又 0 > 0，∴ 0 = 2，∴ = 2，
则 (1,2), (3,1), = (1,2), = (3,1)，

∴ cos∠ = 5 1 2
| ||
= =
| 5 10 2
= 2 ，

又∠ 为锐角，∴ ∠ = 4；
(2)设 ( 0, 0)(0 ≤ 0 ≤ 4)，
∴ = (1 0, 2), = (3 0, 1)，
∴ + = (4 2 0, 3), = ( 0, 0)，
∴ ( + ) = (4 2 0, 3) ( 0, 0) = (4 2 20) ( 0) = 2 0 4 0
= 2[( 0 1)2 1] = 2( 0 1)2 2，
∵ 0 ≤ 0 ≤ 4，∴ ( + ) ∈ [ 2,16]．
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19.(1)如图，连接 ，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 120°
= ( 100 3 )2 + ( 100 3 2 100 3 23 3 ) 2 × ( 3 ) × (
1
2 ) = 10000，则 = 100( )，
因为 = ，则∠ = ∠ = 180° 120°2 = 30°，又∠ = 90°，
所以∠ = 60°，
在△ 中， = 100， = 100 3，∠ = 60°，
100 3 100
由正弦定理可得 60° = sin∠ ，
1
所以 sin∠ = 2，又 0° < ∠ < 150°，则∠ = 30°，
所以∠ = 90°，所以 = 2 + 2 = 200( )，
1 100 3 100 3 3
所以 △ = 2 × 3 × 3 × 2 =
2500 3 2 1
3 ( )， △ = 2 × 100 × 100 3 = 5000 3(
2)，
所以 2500 3 17500 3 2 = △ + △ = 5000 3 + 3 = 3 ( )．
(2)设∠ = (0° < < 120°)，由∠ = 60°，得∠ = 120° ，
△ 在 中，由正弦定理sin∠ = sin∠ = sin∠ ．
200 400 3
又因为sin∠ = 3 = 3 ，
2
所以 = 400 33 sin(120° ) =
400 3
， 3 ，
400 3 400 3
所以 + = 3 sin(120° ) + 3
400 3
= 3 ( 120° 120° + )
= 400 ( + 30°)，
又 0° < < 120°，所以 30° < + 30° < 150°，
当 + 30° = 90°，即 = 60°时， + 取得最大值 400 ，
又 + + = 100 3 + 100 33 3 + 100 3 =
500 3
3 ，
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则 + + + + + ≥ 600 + 500 33 ，
500 3
所以游览区的主要道路的总长度的最大值为(600 + 3 ) ．
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