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2024-2025 学年北京市中国人民大学附中高一（下）期末数学试卷
第Ⅰ卷（共 100 分）
一、单选题：本大题共 10 小题，共 40 分。
1. 405° =( )
A. 1 B. 1 3 22 C. 2 D. 2

2.在复平面内，复数 对应的点的坐标是(1,1)，则 的共轭复数 的对应点的坐标是( )
A. (0, 1) B. (1, 1) C. ( 1,1) D. ( 1, 1)
3.若 为第三象限角，则下列各式的值为负数的是( )
A. sin( + ) B. cos( + ) C. sin( ) D. tan( + )
4.在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边经过点( , 2 )， > 0，则 =( )
A. 5 5 2 5 2 55 B. 5 C. 5 D. 5
5.将函数 ( ) = 2 的图象向左平移6个单位后与函数 ( )的图象重合，则函数 ( )为( )
A. sin(2 6 ) B. sin(2 +
) C. sin(2 6 3 ) D. sin(2 +

3 )
6.设向量 , 满足( + )// .若 = (1,1)，则 的坐标可以为( )
A. (1,0) B. ( 22 ,
2
2 ) C. (
3
2 ,
1
2 ) D. (0, 1)
2 2 2
7.在△ + 中，∠ = 6，则 的取值范围是( )
A. ( 2,2) B. ( 1,1) C. ( 32 , 1 ) D. ( 3, 2 )
8.在四边形 中，“| | = | + |”是“四边形 是平行四边形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.已知函数 ( ) = sin(2 + ) ，其中 2 ≤ ≤

2，若 > 0

， ( )在区间[ + 3 , +

3 ]上的最大值与最
小值的和为 0，则 =( )
A. B. 6 6 C.

3 D. 3
10.在同一平面内，对于△ 及半径为 的圆 ，若△ 的顶点 ， ， 满足 ≤ ， ≤ ， ≤ ，
则称△ 被圆 完全覆盖.已知△ ， = 2，再从条件①，条件②，条件③，条件④这四个条件中选
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择一个作为已知.条件① = 3；条件② = 1；条件③ 5 2 = 1
6
；条件④ △ = 2 .其中，满足△
可能被一个半径为 1 的圆完全覆盖的所有条件是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
二、填空题：本大题共 5 小题，共 20 分。
11.已知复数 满足 = 1 + ，其中 为虚数单位，则 的虚部为______．
12.若 = 2，则 2 = ______．
13.智能机器人已开启快递代取服务，某机器人现从某点出发开始工作，先沿正北方向前行 200 ，然后沿
北偏西 60°方向继续前行了 300 ，则此时机器人与出发点的距离为______ .
14.某正方形网格纸是由 6 × 6 个边长为 1 的小正方形构成，点 ， ， ， 的位置
如图所示，动点 在正方形网格纸内(包含边界)，记 = ( + ) ( ∈ ).当 =
1 时， = ______；当 = 1 时，若动点 在小正方形的顶点上，则满足 = 2 的
点 的个数为______．
15.已知函数 ( ) = sin(2 1 ) + sin(2 2 )，其中 1, 2 ∈ ,且 1 ≠ 2.给出下列四个结论：
①函数 ( )是奇函数；
② ∈ ， ( ) < 2；
③ 1, 2 ∈ ，使得 ( )在[0,1]内至少有 2025 个零点；
④ ∈ (0,1)， ∈ ，都有 ( ) + ( + ) = 0．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知向量 , ，| | = 3，| | = 2， , = 3．
(1)求 ；
(2)若 + 与 垂直，求实数 的值；
(3)若 = ( ∈ )，求| 2 |的最小值及其相应的 值．
17 .已知函数 ( ) = sin(2 + 6 ) + 2
2 1( > 0)，且 = ( )图象的相邻两条对称轴之间的距离为2．
(1)求 (0)的值；
(2)求 ( )的单调递增区间；
(3)若 ( )在(0, ) 3上的值域为( 2 , 3]，求 的值．
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18.在△ 中，∠ 为钝角， 3 = 2 ．
(1)求∠ ；
(2)若 = 4 3， = 13， 为 边上一点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已
知，使△ 存在且唯一确定，求△ 的面积．
条件①： = 4；
1
条件②：sin∠ = 3；
条件③：△ 的周长为 5 + 13．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分．
19.对任意正整数 ，定义集合 = {( 1, 2, 3, 4)| ≤ ≤ ， ∈ ， = 1，2，3，4}.设 = ( 1, 2, 3, 4)，
= ( 1, 2, 3, 4) ∈ 定义： = ( 1 1, 2 2, 3 3, 4 4)， = 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4．
(1)( 1,2,0,1)_____ 2(填“∈”或“ ”)； 1_____ 2(填“ ”或“ ”)；
(2)设 ， ∈ ， ∈ ， ∈ ，证明： ∈ + ；
(3)设 = (2,0,2,5)， = (5,2,0,2)， ∈ 2， = = 0，求 ；
(4)证明：对任意 ， ∈ 1，存在 ∈ 4，满足： = = 0，且 ≠ 0．
第Ⅱ卷（共 50 分）
四、单选题：本大题共 4 小题，共 20 分。
20.在空间中，直线 1 ⊥直线 2，直线 3， 4满足： 3 ⊥ 1， 3 ⊥ 2， 4 ⊥ 1， 4 ⊥ 2，则直线 3， 4位置关系为
( )
A.垂直 B.平行 C.相交 D.异面
21.如图，在三棱锥 中，点 ， 分别为棱 ， 的中点．若点 在线段 上，且满足 / /平面 ，

则 的值为( )
A. 1
B. 2
C. 12
D. 23
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22.在手工课上，小明将一张半径为 2 的半圆形纸片折成了一个圆锥(无裁剪无重叠)，接着将一个光滑的
彩球放置于圆锥底部，制作成一个冰淇淋模型，如图.已知该彩球的表面积为 16 2，则该冰淇淋模型的高
(圆锥顶点到球面上点的最远距离)为( )
A. (2 + 3)
B. (2 + 2 3)
C. 2 3
D. 4 3
23.如图，已知两个四棱锥 1 与 2 的公共底面是边长
为 2 的正方形，顶点 1、 2在底面的同侧，棱锥的高 1 1 = 2 2 = 3
1、 2分别为 、 的中点， 1 与 2 交于点 ， 1 与 2 交于点 .
则四棱锥 1 的体积为( )
A. 3 74 B.
3
2
C. 9 7 D. 3 34 2
五、填空题：本大题共 3 小题，共 15 分。
24.以棱长为 1 的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个
正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为
______．
25.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 是 1的中点，点
为正方形 内(含边界)动点，若 1 ⊥ ，则 1 的最小值是______．
26.正方体 1 1 1 1的棱长为 1， 是棱 1上的一个动点，平面 1
与棱 1交于点 ．
(1)给出下列三个结论：
①四棱锥 1 1 的体积为定值；
②四边形 1 可能是正方形；
1
③若在棱 上存在点 ，使得 //平面 1，则线段 1 ∈ [0, 2 ]；
其中所有正确结论的序号是______．
(2)当点 不是棱 1的端点时，设 1 ∩ = ， 1 ∩ = ，记△ 1 和四边形 1 的面积分别

为 1， 2，则
1
的取值范围是______．2
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三、解答题：本题共 1 小题，共 15 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
27.如图，在四棱锥 中， ⊥面 ，且 = 4， = 3， = = 5，∠ = 90°， 是
的中点， = 2 5．
( )求证： ⊥平面 ；
(Ⅱ)设平面 ∩平面 = ，判断并证明 与平面 的位置关系；
(Ⅲ)判断四棱锥 是否存在外接球，如果存在，直接指出球心 的位置，并写出球 的体积；如果不
存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. 1
12. 43
13.100 19
14.4 7
15.①③④
16.(1)因为| | = 3 ，| | = 2，< ， >= 3，
1
所以 = | || |cos 3 = 2 × 3 × 2 = 3．
(2)因为 + 与 垂直，所以( + ) = 0，
即 2 + = 0，所以 9 + 3 = 0 1，解得 = 3．
(3)( 2
2
)2 = ( 2 )2 = 2 2 4 + 4 = 9 2 12 + 16．
= 2 4 2当 3时，9
2 12 + 16 取得最小值为 9 × 9 12 × 3+ 16 = 12，
所以| 2 |的最小值为 2 3．
17.(1) (0) = sin 由题意得 6 + 2 1 =
3
2．

(2) ( ) = sin(2 + ) + 2 2
3 1
6 1 = 2 2 + 2 2 + 2
= 32 2 +
3
2 2 = 3sin(2 + 3 )，
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根据 = ( ) 相邻两条对称轴之间的距离为2，
可得 ( )的周期 = 2 × 2 =
2
，即2 = ，解得 = 1，所以 ( ) = 3sin(2 +

3 )，
令 2 2 ≤ 2 +

3 ≤ 2 +

2 , ∈ ，
5
解得 ( )的单调递增区间为[ 12 , + 12 ]， ∈ ；
(3) 0 < < < 2 + 当 时，3 3 < 2 + 3，
( ) (0, ) ( 3因为 在 上的值域是为 2 , 3],
所以 = sin(2 + 3 )在(0, )
3
上的值域为( 2 , 1]，可得 2 + 3 =
4
3，解得 = 2．
18.(1)根据 3 = 2 ，可得 3 = 2 ．
在三角形 中，根据正弦定理得 3 = 2 ．
由于 > 0， > 0，
因此 = 3．2
又因为 0 < ∠ < ，因此∠ = 6．
(2)如果选条件①： = 4．
4 3sin
在三角形 中，根据正弦定理可得 = ，因此可得 =
6 = 2 39．13 13
由于∠ 为钝角，因此 = 13．13
在三角形 中，由于 = 4，根据余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，
可得 16 = 13 + 2 2 13 ( 13 ．13 )
解得 = 1 或 = 3(舍)．
因此 = 1 2 =
1
2 × 1 × 13 ×
2 39 ．
13 = 3
如果选条件②：如图所示，
4 3
根据正弦定理有 1 = 1 = 6 3，又因为 sin ∠ = 13 cos ∠ =±
2 2，
2 3 3
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从而此时三角形 不唯一；
如果选条件③：三角形 的周长为 5 + 13．
4 3sin
在三角形 中，根据正弦定理 = ，可得 =
6 2 39．
13 = 13
由于∠ 为钝角，因此 = 13．13
由于三角形 的周长为 5 + 13，所以 + = 5．
在三角形 中，根据余弦定理可得(5 )2 = 2 + 2 2 ，解得 = 1．
所以 △ =
1
2 =
1 × 1 × 13 × 2 392 13 = 3．
19.(1)解：因为 1，2，0，1 ∈ [ 2,2]，[ 1,1] [ 2,2]，
所以( 1,2,0,1) ∈ 2； 1 2．
(2)证明：设 = ( 1, 2, 3, 4) ∈ ， = ( 1, 2, 3, 4) ∈ ，
所以有： ≤ ≤ ， ≤ ≤ ， ， ∈ ， = 1，2，3，4，
则 ( + ) ≤ ≤ + ， ∈ ， = 1，2，3，4，
所以 ∈ + ．
(3)解：设 = ( 1, 2, 3, 4) ∈ 2，
则有： ∈ { 2, 1,0,1,2}， = 1，2，3，4．
∵ = 2 1 + 2 3 + 5 4 = 0，
所以 4必为偶数，因此 4 ∈ { 2,0,2}．
当 4 = 2 时， 1 + 3 = 5，但 1 + 3 ≤ 4，不可能；
当 4 = 2 时， 1 + 3 = 5，但 1 + 3 ≥ 4，不可能；
所以 4 = 0， 1 + 3 = 0．
又因为 = 5 1 + 2 2 + 2 4 = 0，所以同理得 1 = 0， 2 + 4 = 0．
所以 1 = 2 = 3 = 4 = 0， = (0,0,0,0)．
(4)证明：设 = ( 1, 2, 3, 4)， = ( 1, 2, 3, 4) ∈ 1，
有： ， ∈ { 1,0,1}， = 1，2，3，4．
任取 = ( 1, 2, 3, 4) ∈ 2，令 = ， = ，
则 ∈ ，| | = | 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4| ≤ | 1 1| + | 2 2| + | 3 3| + | 4 4| ≤ 8；
所以 ∈ { 8, 7, …, 2, 1,0,1,2, …, 7,8}；
同理， ∈ { 8, 7, …, 2, 1,0,1,2, …, 7,8}；
而 中有542 = 625 个元素，625 > 172 = 289，
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所以必存在 2中的两个不同元素 1， 2，使得： 1 = 2， 1 = 2．
令 = 1 2，则 ∈ 4，且 = = 0， ≠ 0，结论得证．
20.
21.
22.
23.
24.13
25. 5
26.①③ [2, + ∞)
27.( )证明：如图，连接 ，
因为 = 4， = 3，∠ = 90°，所以 = 5，
因为 = 5， 为 中点，所以 ⊥ ，
因为 ⊥面 ， 面 ，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， 、 平面 ，所以 ⊥平面 ；
(Ⅱ) //平面 ，证明如下：
因为 // ， 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
因为 平面 ，平面 ∩平面 = ，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 / /平面 ；
(Ⅲ)四棱锥 存在外接球，球心 为线段 中点，理由如下：
由( )得 ⊥ ，又∠ = 90°，所以 、 、 、 四点共圆，
四边形 的外接圆圆心为线段 中点，
故若四棱锥 存在外接球，则球心在过线段 中点且与平面 垂直的垂线上，
又 ⊥面 ，所以球心 为线段 中点，
= = 5 2 4 125 2故外接球半径 2 2 ，外接球体积为 = 3
3 = 3 ．
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