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2025年北京师大实验中学丘成桐班自主招生数学试卷
一、
1．计算。
2．不等式的方框中是一个自然数，要使不等式成立，方框中最大可以填多少？
3．一架从上海飞往东京的航班在途中出现故障，在10分钟内从10000米高空急速跌落至3000米，那么该航班平均每秒下降多少米？（答案四舍五入保留至个位）
4．已知A、B、C、D为四个从小到大的连续自然数，且两位数为质数，两位数为合数，两位数为质数，那么其中的合数是多少？
5．L国向Y国连续进行了五天的弹道导弹攻击：第一天发射200枚，第二天发射100枚，第三天发射70枚，第四天发射50枚，第五天发射30枚。Y国在前三天的导弹拦截成功率为90%，而在第四天与第五天的导弹拦截成功率则下降为70%。那么L国这五天发射的导弹中，未被拦截的有多少枚？
6．爱打篮球的小明刚进入校园，就迫不及待地跑去篮球场投篮。他连续进行了10次投篮，其中有3次投进，且恰好有两次是连续投进的，那么他投篮的过程有多少种不同的情况？
7．如图，半径分别为10、20、40、80的四个圆的圆心在同一条直线上，而且半径为20的圆的圆心在半径为10的圆周上，半径为40的圆的圆心在半径为20的圆周上，半径为80的圆的圆心在半径为40的圆周上，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）
8．123除以一个正整数得到的余数为11，543也除以这个正整数得到的余数为15，那么这个正整数是多少？
9．在下面的横式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么表示三位数是多少？
10．小仓鼠的学校距家有800米，平时它放学后总是慢悠悠地滚着它的仓鼠球回家，每分钟滚40米。有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂嗑了3分钟瓜子!结果它突然想起——回家晚了会被仓鼠妈妈发现!于是它立刻开启“疯狂滚球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竟然和平常到家的时间一模一样!小仓鼠的学校离瓜子铺有多少米？
11．小明去公园旅游，爬26级天梯，他开始时以每步2级的步伐向上攀登，途中（至少走了1步但未到终点）因步伐不稳摔倒一次，后退了1级或2级，之后便以每步1级的步伐向上攀登，那么小明这次爬天梯的走法有多少种不同的可能？
12．某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，且都准备上楼分别去往4个互不相同的楼层，4人之间开启了一段有趣的对话：
甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话。”
乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯。”
丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话。”
丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯。”
如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯。那么甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是多少？
13．甲乙两人练习往返骑行缥缈峰，两人各自上山速度保持不变，下山速度也保持不变，且为各自上山速度的2倍。两人同时从山脚出发，在靠近山顶四分之一的地方首次相遇（在同一地点即为相遇），在距离山脚12千米处第二次相遇，那么从山脚到山顶的距离为多少千米？
14．将1至8这8个数按照某种顺序排成一排，先将相邻的两个数相乘，再把这7个乘积相加，得到的和的最大值是多少？
15．如图，边长为10的正方形ABCD中，E、F、G、H分别在正方形的四条边上，且AE：EB＝1：2，BF：FC＝1：2，CG：GD＝1：2，DH：HA＝1：2，那么正方形MNPQ的面积是多少？
2025年北京师大实验中学丘成桐班自主招生数学试卷
参考答案与试题解析
一、
1．计算。
【解答】解：
5%÷6%
＝12÷6%
＝200
2．不等式的方框中是一个自然数，要使不等式成立，方框中最大可以填多少？
【解答】解：在中，两边同时乘100，得5□＜28，所以□，即□＜5.6，所以□中最大可以填5。
故答案为：5。
3．一架从上海飞往东京的航班在途中出现故障，在10分钟内从10000米高空急速跌落至3000米，那么该航班平均每秒下降多少米？（答案四舍五入保留至个位）
【解答】解：10×60＝600（秒）
（10000﹣3000）÷600
＝7000÷600
≈12（米）
答：该航班平均每秒下降12米。
4．已知A、B、C、D为四个从小到大的连续自然数，且两位数为质数，两位数为合数，两位数为质数，那么其中的合数是多少？
【解答】解：已知A、B、C、D为四个从小到大的连续自然数，且两位数AB 为质数，两位数BC 为合数，两位数CD 为质数。A、B、C、D分别为6、7、8、9。
合数BC 是78。
故答案为：78。
5．L国向Y国连续进行了五天的弹道导弹攻击：第一天发射200枚，第二天发射100枚，第三天发射70枚，第四天发射50枚，第五天发射30枚。Y国在前三天的导弹拦截成功率为90%，而在第四天与第五天的导弹拦截成功率则下降为70%。那么L国这五天发射的导弹中，未被拦截的有多少枚？
【解答】解：（200+100+70）×（1﹣90%）
＝370×10%
＝37（枚）
（50+30）×（1﹣70%）
＝80×30%
＝24（枚）
37+24＝61（枚）
答：未被拦截的有61枚。
6．爱打篮球的小明刚进入校园，就迫不及待地跑去篮球场投篮。他连续进行了10次投篮，其中有3次投进，且恰好有两次是连续投进的，那么他投篮的过程有多少种不同的情况？
【解答】解：8×7＝56（种）
答：他投篮的过程有56种不同的情况。
7．如图，半径分别为10、20、40、80的四个圆的圆心在同一条直线上，而且半径为20的圆的圆心在半径为10的圆周上，半径为40的圆的圆心在半径为20的圆周上，半径为80的圆的圆心在半径为40的圆周上，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）
【解答】解：3.14×802﹣3.14×402+3.14×202﹣3.14×102
＝3.14×6400﹣3.14×1600+3.14×400﹣3.14×100
＝3.14×5100
＝16014
答：阴影部分的面积是16014。
8．123除以一个正整数得到的余数为11，543也除以这个正整数得到的余数为15，那么这个正整数是多少？
【解答】解：123﹣11＝112
543﹣15＝528
112＝24×7
528＝24×3×11
又因为这个数大于余数15，
所以这个正整数是24＝16。
答：这个正整数是16。
9．在下面的横式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么表示三位数是多少？
【解答】解：
＝3552
＝2×2×2×2×2×3×37
＝（2×37）×（2×2×2×2×3）
＝74×48
所以，A＝7，B＝4，C＝8；
那么表示三位数是748。
10．小仓鼠的学校距家有800米，平时它放学后总是慢悠悠地滚着它的仓鼠球回家，每分钟滚40米。有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂嗑了3分钟瓜子!结果它突然想起——回家晚了会被仓鼠妈妈发现!于是它立刻开启“疯狂滚球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竟然和平常到家的时间一模一样!小仓鼠的学校离瓜子铺有多少米？
【解答】解：设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米。
800÷40＝20（分钟）
20﹣3＝17（分钟）
17
17
17
17
x+1600＝120×17
x+1600＝2040
x＝440
答：小仓鼠的学校离瓜子铺有440米。
11．小明去公园旅游，爬26级天梯，他开始时以每步2级的步伐向上攀登，途中（至少走了1步但未到终点）因步伐不稳摔倒一次，后退了1级或2级，之后便以每步1级的步伐向上攀登，那么小明这次爬天梯的走法有多少种不同的可能？
【解答】解：设初始阶段走了k步（每步2级），此时位置为2k级，
2k＜26，则k≤12，
后退1级：2k﹣1≥0，则k≥1，
后退2级：2k﹣2≥0，则k≥1，
剩余台阶：
退1级：26﹣（2k﹣1）＝27﹣2k，
27﹣2k≥0，则k≤13.5，
退2级：26﹣（2k﹣2）＝28﹣2k，
28﹣2k≥0，则k≤14，
初始阶段：1≤k≤12，共有12种可能，
后退方式：每种k对应两种后退方式，
12×2＝24（种）
答：小明这次爬天梯的走法有24种不同的可能。
12．某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，且都准备上楼分别去往4个互不相同的楼层，4人之间开启了一段有趣的对话：
甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话。”
乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯。”
丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话。”
丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯。”
如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯。那么甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是多少？
【解答】解：假设甲说真话并推导相关信息：
若甲说的是真话，那么甲是第二个下电梯的，且因为“4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯”，所以甲在奇数楼层，同时甲说“乙说的是假话”，即乙说的是假话；
因为乙说的是假话，而丙说“乙说的确实是假话”，所以丙说的是真话，那么丙是最后一个下电梯的，且丙在奇数楼层；
由于甲丙说的是真话，所以乙和丁说的是假话。因为乙说“我将是最先下电梯的”是假的，所以乙不是最先下电梯的，那么丁是最先下电梯的。
又因为乙和丁说假话，所以乙和丁都在偶数楼层下电梯，所以丁在2层或4层。
确定每个人可能所在的楼层范围：
因为甲是第二个下电梯且在奇数层，所以甲在3层或5层；
因为乙是第三个下电梯且在偶数层，所以乙在4层或6层；
因为丙是最后一个下电梯且在奇数层，所以丙在5层或7层。
根据假话内容进一步分析：
因为乙和丁始终说假话，所以乙说“没有人和我在相邻楼层下电梯”是假的，即有人和乙在相邻楼层下电梯；
丁说“有人和我在相邻楼层下电梯”是假的，即没有人和丁在相邻楼层下电梯。
分情况讨论丁所在楼层：
若丁在2层，为了满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯，此时甲可以在5层，乙在6层，丙在7层，这种情况是合理的；
若丁在4层，若甲在5层，此时乙无论在6层还是其他偶数层，都无法满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯的条件，所以这种情况无法成立。
综上，甲在5层，乙在6层，丙在7层，丁在2层。
即甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672。
答：甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672。
13．甲乙两人练习往返骑行缥缈峰，两人各自上山速度保持不变，下山速度也保持不变，且为各自上山速度的2倍。两人同时从山脚出发，在靠近山顶四分之一的地方首次相遇（在同一地点即为相遇），在距离山脚12千米处第二次相遇，那么从山脚到山顶的距离为多少千米？
【解答】解：设山脚到山顶的路程为S千米，甲上山的速度为v甲，乙上山的速度为v乙，则甲下山的速度为2v甲，乙下山的速度为2v乙。
两人同时从山脚出发，首次相遇在距离山顶S处，即距离山脚S处，
两人同时从山脚出发去往山顶，如果速度相同，则两人齐头并进，时刻相遇，
故第一次相遇不可能在上山的过程中，第一次相遇的必是有人下山，有人上山，不妨令v甲＞v乙，即甲下山的过程中和乙上山的过程中第一次相遇。
设从甲到达山顶到首次相遇的时间为t，则：
甲下山行走的路程为：2v甲t
乙上山行走的路程为：v乙t
相遇时，两人位置相同，即：
S﹣2v甲t＝v乙v乙t
因为首次相遇点距离山顶S处，即距离山脚S处，所以：
S﹣2v甲tS
即：2v甲t＝SSS
所以tS÷2v甲S
又S＝v乙v乙t＝v乙v乙S＝v乙S（）v乙S
即Sv乙S
所以v甲：v乙＝3：2
即v乙v甲
第一次相遇后，甲继续下山，乙继续上山，
即乙从S到达S，行走了：SSS，
乙上山的速度为v乙，
乙到达山顶的时间：S÷v乙Sv甲
此时甲从距离山脚S处下山行走的路程为：2v甲S
即乙到达山顶时，甲到达山脚。
然后甲从山脚上山，速度为v甲，乙从山顶下山，速度为2v乙＝2v甲v甲接下来，两人分别从山脚和山顶同时出发，相向而行，设从乙到达山顶开始，到第二次相遇的时间为t′，
甲从山脚出发上山，行走路程为：v甲t′
乙从山顶出发下沙，行走路程为：v甲t′
相遇时，甲乙合走一个全程S，即：
v甲t′v甲t′＝S
所以t′S
相遇点距离山脚的路程即为甲行走的路程，即：
v甲t′＝v甲SS
而甲乙距离山脚12千米处第二次相遇，
所以S＝12
即S＝28
答：从山脚到山顶的距离为28千米。
14．将1至8这8个数按照某种顺序排成一排，先将相邻的两个数相乘，再把这7个乘积相加，得到的和的最大值是多少？
【解答】解：1至8这8个数排列顺序：7、8、6、5、4、3、2、1，
7×8+8×6+6×5+5×4+4×3+3×2+2×1
＝56+48+30+20+12+6+2
＝174
答：得到的和最大值是174。
15．如图，边长为10的正方形ABCD中，E、F、G、H分别在正方形的四条边上，且AE：EB＝1：2，BF：FC＝1：2，CG：GD＝1：2，DH：HA＝1：2，那么正方形MNPQ的面积是多少？
【解答】解：假设DH为a，则DH＝CG＝a，CD为3a，
在直角三角形CDH中，CHa
因为CH×DQ÷2＝CD×DH÷2
则DQa
在直角三角形DQH中，QHa
QP＝CH﹣QH﹣CPaaaa
正方形MNPQ的面积：正方形ABCD的面积
a2：9a2
＝2：5
正方形MNPQ的面积：10×10÷5×2＝40
答：正方形MNPQ的面积是40。

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