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2024-2025学年湖南省株洲四中高一（下）期末数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 4 .已知复数 与2+ 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则 =( )
A. 7 65 + 5 B.
7 6 7 6 7 6
5 5 C. 5 + 5 D. 5 5
2.在△ 中，若 = 1， = 5， = 45°，则 = ( )．
A. 52 2 B.
5
2 2 C. 3 D. 3
3 3.设 ( )是定义在 上且周期为 2 的偶函数，当 2 ≤ ≤ 3 时， ( ) = 5 2 ，则 ( 4 ) =( )
A. 1 B. 1 C. 12 4 4 D.
1
2
4.如图，已知圆锥 的轴截面 是边长为 4 的正三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A. 16
B. 8
C. 4 3
D. 4
5.某项比赛共有 7 个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是( )
A.极差 B. 45%分位数 C.平均数 D.众数
6.我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索
却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱
子，高 4 米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为 75°时绳索未用尽，再退行 4 3米
绳索用尽(绳索与地面接触)，则绳索长为( )
A. 3 7米 B. 4 5米 C. 5 2米 D. 16 3米
7.如图，在四面体 中，点 在平面 上的射影是 ， ⊥ ，
若 = = 2, = 2 10，则异面直线 与 所成角的余弦值为
( )
A. 79 B.
7
9
C. 89 D.
8
9
8 ( ) = 2 + .函数 2 + (| | > 1)的最大值和最小值是 ， ，则 的值为( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 为复数， 为虚数单位，则下列结论正确的是( )
5 2 A.若 = 2+ ，则| | = 5 B. | | =
C.若| + 1| = | 1|，则 为纯虚数 D.若| | = 1，则| 2|的最小值为 1
10.连续抛掷一枚硬币两次，事件 表示“第一次硬币正面朝上”，事件 表示“第二次硬币反面朝上”，事
件 表示“两次硬币都正面朝上”，事件 表示“两次硬币朝上的情况不同”，则( )
A. 与 相互独立 B. 与 相互独立 C. 与 相互独立 D. 与 相互独立
11.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2， ， ， 分别是棱 ， 1， 1 1的中点，下列结论正确的
是( )
A. ⊥ 1
B. 直线 与直线 1 所成角为6
C.三棱锥 5的体积为6
D.过 ， ， 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若向量 = (2, 1), = ( , 1)，且 // ，则 = ______．
13.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的 9 个红球，3 个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个
球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在 0.4，则袋中约有绿球______
个.
14.在平面四边形 中， ， 分别为 ， 的中点，若 = 4， = 2，且 = 9，则| | = ______．
四、解答题：本题共 5小题，共 60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
在△ 中， 2 = 2 2 + 23 ．
(1)求 的值；
(2)若 = 2 6，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ 存在，求△ 的面积．
6
条件①： = 2 7；条件②： = 3；条件③： = 3 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分．
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16.(本小题 12 分)
如图，四棱锥 的各个顶点均在球 的表面上，且 = = 4， ⊥ ， ⊥平面 ．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)求四棱锥 体积的最大值．
17.(本小题 12 分)
某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从 类的 5 个问题中
任选两题作答，若两题都答对，则得 40 分，否则得 0 分；第二轮从 类的 5 个问题中任选两题作答，每答
对 1 题得 30 分，答错得 0 分.若两轮总分不低于 60 分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已
知小红对 ， 类每个问题的答对的概率均为 0.5.在 类的 5 个问题中，小明只能答对 4 个问题，在 类的 5
个问题中，小明每个问题答对的概率都为 0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响．
(1)求小明在第一轮得 40 分的概率；
(2)求小红两轮总分得 60 分的概率；
(3)试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？
18.(本小题 12 分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 + 2 ( 3 + ) = 0．
(1)求角 ；
(2)已知△ 的外接圆的圆心为 ，半径 = 3．
( )作角 的平分线交 于 ， = 2，求△ 的面积；
( )若 = + ( , ∈ )，求 + 的取值范围．
19.(本小题 12 分)
如图 1，在矩形 中， = 1， = 2， 是边 上的一点，将△ 沿着 折起，使点 到达点
的位置．
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(1)如图 2，若 是 的中点，点 是线段 的中点，求证： //平面 ；
(2)如图 3，若点 在平面 内的射影 落在线段 上．
①求证： ⊥平面 ；
②求点 的位置，使三棱锥 的外接球的体积最大，并求出最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.8
14. 6
15.(1)因为 2 = 2 2 + 2 23 ，所以
2 + 2 2 = 3 ，
2+ 2 2 1
由余弦定理得 = 2 = 3，
又因为 ∈ (0, ) 2 2，所以 = 1 cos2 = 3
(2)选择条件①：因为 = 2 6， = 2 7，
1
所以由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，可得 24 = 2 + 28 2 × 3 × 2 7 ，
整理得： 2 4 7 4 7 23 + 4 = 0，此时 = ( 3 ) 4 × 4 < 0，该方程无实数根，
所以条件①使△ 不存在；
2 2
选择条件②：因为 = 2 6， = 3 ，
= 2 6 所以由正弦定理 ，得 2 2 = = 3 3，
3
联立 = 3 3，解得 = 3, = 3 ，
由 2 = 2 2 + 23 ，得 9 = 24
2 + 2 ，即 2 2 15 = 0，解得 = 5 或 = 3(舍)，
此时条件②使△ 存在且唯一，符合题意，
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1
所以其面积为2 =
1 2 2
2 × 3 × 5 × 3 = 5 2；
6 3
若选择条件③：因为 = 3 ，所以 = 1 cos
2 = 3 ，
2 6× 3
由正弦定理 = ，得 =
3
= 2 2 = 3，
3
2
由 2 = 2 2 + 3 可得 9 = 24
2 + 2 ，即 2 2 15 = 0，解得 = 5 或 = 3(舍)，
此时条件③使△ 存在且唯一，符合题意，
1
所以其面积为2 =
1
2 × 3 × 5 ×
2 2
3 = 5 2．
16.(1)证明：由题，四边形 在球 的一个圆面的圆周上，因此∠ + ∠ = ，
又 ⊥ ，因此∠ = 2，因此 ⊥ ，
由 ⊥平面 ， 平面 ，得 ⊥ ，
又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
因此 ⊥平面 ，
又 平面 ，因此平面 ⊥平面 ．
(2)
作 ⊥ ，由平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
可得 ⊥平面 ，
记四棱锥 的体积为 ，
1 1
因此 = 3 = 3 ( △ + △ )，
1 1
而 △ = 2 = 2 × 4 × 4 = 8，
由 ⊥平面 ，因此 ⊥ ，因此 2 + 2 = 2 = 16，
于是 ≤
2+ 2 = 8，当且仅当2 = = 2 2时，取等号，
1由 △ = 2 =
1 = 8 12 ，得 ≤ 4 = 2， △ = 2 ，
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由 ⊥ ，得 32 = 2 = 2 + 2 ≥ 2 ，
于是 1△ = 2 ≤ 8，当且仅当 = = 4 取等号，
因此 = 13 ( △ + △ ) ≤
2 × 16 = 323 3．
32
因此四棱锥 体积的最大值为 3．
17.(1)对 类的 5 个问题进行编号： ， ， ， ， ，第一轮从 类的 5 个问题中任选两题作答，
则有{ , , , , , , , , , }共 10 种，
设小明只能答对 4 个问题的编号为： ， ， ， ，
则小明在第一轮得 40 分，有{ , , , , , , }共 6 种，
6 3
则小明在第一轮得 40 分的概率为：10 = 5；
(2)设“两轮总分得 60 分”为事件 ，
“第一轮答错一题得 0 分，第二轮答对两题得 60 分”为事件 ，
“如果第一轮答错两题得 0 分，第二轮答对两题得 60 分”．
则 = + ，
( ) = [0.5 × (1 0.5) + (1 0.5) × 0.5] × 0.5 × 0.5 = 0.125；
( ) = [(1 0.5) × (1 0.5)] × 0.5 × 0.5 = 0.0625
( ) = ( ) + ( ) = 0.125 + 0.0625 = 316；
(3)由(1) 3知，小明在第一轮得 40 分的概率为5，
则小明在第一轮得 0 分的概率为：1 35 =
2
5，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于 60 分
所以如果第一轮答对两题得 40 分，第二轮答对一题得 30 分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
1 = 0.5 × 0.5 × [0.5 × (1 0.5) + (1 0.5) × 0.5] = 0.125；
= 32 5 × (0.4 × 0.6 + 0.6 × 0.4) = 0.288；
如果第一轮答对两题得 40 分，第二轮答对两题得 60 分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
3 = 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.0625
3
； 4 = 5 × 0.4 × 0.4 = 0.096；
如果第一轮答错一题得 0 分，第二轮答对两题得 60 分时，
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小红和小明晋级复赛的概率分别为：
5 = [0.5 × (1 0.5) + (1 0.5) × 0.5] × 0.5 × 0.5 = 0.125
2
， 6 = 5 × 0.4 × 0.4 = 0.064；
如果第一轮答错两题得 0 分，第二轮答对两题得 60 分时，
小红晋级复赛的概率分别为：
7 = [(1 0.5) × (1 0.5)] × 0.5 × 0.5 = 0.0625；
所以小红晋级复赛的概率为： 1 + 3 + 5 + 7 = 0.375；
小明晋级复赛的概率为： 2 + 4 + 6 = 0.448；
因为 0.448 > 0.375，
所以小明更有机会进入面试环节．
18.(1)因为 + 2 ( 3 + ) = 0，所以 cos( ) + 2 (

3 + ) = 0，
所以 cos( + ) + 2 ( 3 + ) = 0，
整理得到 ( ) + 2 ( 12
3
2 ) = 0，
进而得到 ( ) + 3 = 0，
所以 3 = 0，提取公式 得到 ( 3 ) = 0，
因为 为三角形内角所以 > 0，可以得到 = 3 ，

又由于 ≠ 0，可以得到 = = 3，

又因为 为三角形的内角，所以 = 3；
(2)( ) 因为 = 3，
所以根据正弦定理可得： = 2 = 2 × 3 × 32 = 3，
又因为 是角 的角平分线，所以可以得到∠ = ∠ = 6，
因为 △ = △ + △ ，
1
所以2

3 =
1
2 × 2
1
6 + 2 × 2 6，
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整理得到 3
2 = + . . . . . .①，
2 2 2 2
再根据余弦定理得到 = + = ( + ) 2 9 1，2 2 = 2
进而得到( + )2 = 3 + 9. . . . . .②，
3
根据①②可得 2 24 = 3 + 9，
整理得到( 6)( + 2) = 0，
求得 = 6 或 = 2(舍去)，
根据三角形的面积公式可得 1 1 3 3 3△ = ；2 3 = 2 × 6 × 2 = 2
( )根据题意作图如下：
∠ = 2 = 2 由题易知 3，∠ = 2 ，∠ = 2 ，
又因为 = + ( , ∈ )，| | = | | = | | = = 3，
2
所以 = + ，
= +
2
| | | | 2 = | |2 + | | | | 2
整理得到
|
，
| | | 2 = | | | | 2 + | |2
2 = 1
进而得到 2 ，
2 = 12 +
1 1
化简可得2 + 2 = 2 + 2 ，
故可以求得 + = 2( 2 + 2 ) = 2[cos( 4 3 2 ) + 2 ] = 2(
1
2 2
3
2 2 + 2 ) =
2( 12 2
3
2 2 ) = 2 (2 +
)，3
2 5
又因为 ∈ (0, 3 )，所以得到 2 + 3 ∈ ( 3 , 3 )，
所以 cos(2 + 3 ) ∈ [ 1,
1
2 ),
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所以 2 (2 + 3 ) ∈ [ 2,1),
即 + 的取值范围为[ 2,1)．
19.(1)如图，取 的中点 ，连接 和 ，则 是△ 的中位线，
所以 // 1且 = 2 ，
// = 1又 且 2 ，
所以 // 且 = ，
所以四边形 是平行四边形，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)①由 ⊥平面 ， 平面 ，得 ⊥ ，
又已知 ⊥ ，且 ， 是平面 内两条相交直线，
所以 ⊥平面 ．
②，由①知 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，所以△ 是 △，
由 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，△ 是 △．
如图，取 的中点 ，则点 到三棱锥 各顶点的距离都相等，
所以 是三棱锥 外接球的球心．
如图，过点 作 ⊥ 于 ，连 和 ，
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因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，又 ， 是平面 内两条相交直线，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
由 ⊥ 和翻折关系知 ⊥ ，所以 ， ， 三点共线，且 ⊥ ，
设 = = (0 < ≤ 2)，则 = 1 + 2 ， = = ，
1+ 2
2
又 2
2
= 1+ ，所以 = = ，
2
= 2 2 = 1 ， = =
1+

= 1 ，
1+ 2 1+ 2
由 > ，得 1 < ≤ 2，
2 2
所以 2 = 2 2 = 1 1 1 1 2 = 2 ， = 2 ，
2 2
所以 2 = 2 + 2 = 1 + (2 1 )2 = 5 4 = 5 4 2 2 ，
2 = 2 + 2 = 5 4+ 12 = 6 4 ，
4
因为 ( ) = 6 在 1 < ≤ 2 时单调递增，
所以 = 2 时， 2 = ( )有最大值 (2) = 4，
此时，点 位于点的 位置，
所以 2 = = 2， = 1 = 4 ， 3 = 4 3 3．
4
所以点 位于点的 时，三棱锥 外接球的体积的最大值为 = 3．
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