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2024-2025 学年江苏省宿迁市某校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 83° 53° 83° 53° =( )
A. 3 B. 3 C. 1 D. 12 2 2 2
2 5.复数 2的共轭复数是( )
A. 2 + B. 2 C. 2 + D. 2
3.已知 ， 为非零实数，向量 ， 为非零向量，则| + | = | | + | |，是“存在非零实数 ， ，使得 + = 0”
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若 sin( + ) = 2 ( )，则 tan( + )的最大值为( )
A. 6 6 2 22 B. 4 C. 2 D. 4
5.在锐角三角形 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ( ) = ( )，则
角 的最小值为( )
A. 6 B.
5
3 C. 6 D.
2
3
6.已知 ， 是两个平面， ， 是两条直线，则下列命题正确的是( )
A.若 ， ， // ，则 //
B.若 ⊥ ， // ， ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ∩ = ， ⊥ ，则 ⊥
D.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
7.如图，在直三棱柱 1 1 1中，底面为直角三角形，∠ = 90°， = 6，
= 1 = 2，点 是线段 1上一动点，则 + 1的最小值是( )
A. 26
B. 5 2
C. 37 + 1
D. 6 + 2
二、多选题：本题共 4 小题，共 24 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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8.设 1， 2是夹角为 60°的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量 ，存在唯一有序实数对( , )，
使得 = 1 + 2，我们称有序数对( , )为向量 的“仿射坐标”.若向量 和 的“仿射坐标”分别为(1,2)，
( , 1)，则下列说法正确的是( )
A. | | = 7
B.若 = 3，则 + 的“仿射坐标”为(4,1)
C.若 ⊥ ，则 = 2
D.若 // ，则 = 12
9 .在△ 中，角 ， ， 所对边长为 ， ， ， = 3，角 的平分线 交 于 ，且 = 2，则下列说法
正确的是( )
A.若 = 2，则 = 6 2
B.若 = 2，则△ 的外接圆半径是 2
C. 3 = +
D. ≥ 163
10.设 为虚数单位，复数 = ( + )(1 + 2 )，则下列命题正确的是( )
A.若 为纯虚数，则实数 的值为 2
B. 1若 在复平面内对应的点在第三象限，则实数 的取值范围是( 2 , 2)

C.实数 = 12是 = ( 为 的共轭复数)的充要条件
D.若 + | | = + 5 ( ∈ )，则实数 的值为 2
11.如图，已知菱形 的边长为 2，∠ = 60°，将△ 沿 翻折为
三棱锥 ，点 为翻折过程中点 的某一位置，则下列结论正确的是( )
A.无论点 在何位置，总有 ⊥
B.点 存在两个位置，使得 三棱锥 = 1 成立
C.当平面 ⊥ 1平面 时，异面直线 与 所成角的余弦值为4
D.当 = 2 时， 为 上一点，则 + 的最小值为 2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 3.已知 ， ， 分别是△ 的内角 ， ， 的对边， 2 + 2 = + 2 + 2且 △ = 2 ，则△
周长的最小值为______．
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13.在直角三角形 中，已知 为斜边 上的高， = 2 3， = 2，现将△ 沿着 折起，使得
点 到达点 ′，且平面 ′ ⊥平面 ，则三棱锥 ′ 的外接球的表面积为______．
14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点 、 的距离之
比为定值 ( > 0 且 ≠ 1)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称
| |
阿氏圆，在平面直角坐标系 中， ( 2,0)， (2,0)，点 满足| | = 3，则
的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 76 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知平面向量 = (2,3)， = ( 1, )．
(1)若 + 与 垂直.求 ；
(2)若向量 = (5,1)，若 + 2 与 2 共线，求| + 4 |．
16.(本小题 15 分)
如图 1，直角梯形 中， = = 1， = 2， ⊥ ， ⊥ ，以 为轴将梯形 旋转 180°
后得到几何体 ，如图 2，其中 ， 分别为上下底面直径，点 ， 分别在圆弧 ， 上，直线 / /
平面 ．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正切值等于 2，求 到平面 的距离；
(3) 1若平面 与平面 夹角的余弦值为3，求 ．
17.(本小题 15 分)
( ) = 2 3 + 2 2( + 已知函数 6 ) 1．
(1)求 ( )的单调递增区间；
(2)若函数 ( ) = ( ) 13 在区间[ 6 , 12 ]上有三个零点，求实数 的取值范围．
18.(本小题 16 分)
在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型 .点 在棱 上，满足
= 2 1 3，点 在棱 上，满足 = 2，要求同学们按照以下方案进行切割：
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(1)试在棱 上确定一点 ，使得 //平面 ，并说明理由；
(2)过点 ， ， 的平面 交 于点 ，沿平面 平将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，
需先在模型中确定 点的位置；
(Ⅰ) 请求出 的值；
(Ⅱ)若正四棱锥模型 的棱长均为 6，求直线 与平面 所成角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
在△ 中，∠ ，∠ ，∠ 对应的边分别为 ， ， ， + = 2 ．
(1)求 ；
(2)奥古斯丁 路易斯 柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他
的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的
应用.已知三维柯西不等式： 1， 2， 3， 1， 2， 3 ∈ ，( 2 2 21 1 + 2 2 + 3 3) ≤ ( 1 + 2 + 2)( 2 + 2 + 23 1 2 3)，

当且仅当 1 = 2 3 = 时等号成立．1 2 3
在(1)的条件下，若 = 3．
(ⅰ) 2 1 1求：( 2 + 2 + 2)[ 1 2 + cos2( 2 )
+ sin2( + ) ]的最小值；
(ⅱ)若 是△ 内一点，过 作 ， ， 的垂线，垂足分别为 ， ， ，设△ | |的面积为 ，求 = | | +
9| | | |
| | + | |的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3 2
13.13
14. 3
15.解：(1)因为 = (2,3)， = ( 1, )，
所以 + = (1,3 + )， = (3,3 )
因为 + 与 垂直，
所以( + ) ( ) = 1 3 + (3 + )(3 ) = 0，
整理得： 2 + 12 = 0，解得 =± 2 3；
(2)因为 = (2,3)， = ( 1, )， = (5,1)，
所以 + 2 = (0,3 + 2 )，2 = ( 7,2 1)
因为 + 2 与 2 共线，
所以存在唯一实数 ，使得 + 2 = (2 )( ∈ )，
0 = ( 7) = 3
所以 3 + 2 = (2 1)，解得 2， = 0
= ( 1, 3所以 2 )， + 4 = (2,3) + ( 4, 6) = ( 2, 3)，
所以| + 4 | = ( 2)2 + ( 3)2 = 13．
16.(1)证明：设平面 与几何体 的上底面交于点 ，即平面 ∩平面 = ，
因为平面 //平面 ，平面 ∩平面 = ，
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所以 // ，
因为 //平面 ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，所以 // ，
所以 // ，
又 ⊥ ，所以 ⊥ ，
由题意知， ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(2)解：连接 ，
由(1)知 ⊥平面 ，
所以∠ 就是直线 与平面 所成角，即 tan∠ = 2，
因为 = 1，所以 = 2， = 2，即△ 是等腰直角三角形，
所以 = = 1， = = 2，即△ 是等边三角形，
所以 = 1 3△ 2 × 2 × 2 × 2 =
3，
2
因为平面 ⊥平面 ，
所以点 到平面 的距离为 = 45° = 2 × 22 = 1，
因为 //平面 ，
所以 到平面 的距离等价于点 到平面 的距离，设为 ，
所以 = = ，
1
所以3
1
△ = 3 △ ，
而 1 1 1△ = 2 = 2 × 1 × 1 = 2，
1×1
所以 = 2
3
3 = 3 ，
2
故 到平面 的距离为 3．
3
(3)解：分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，则 // ， // ，
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因为 ∩ = ， 、 平面 ， ∩ = ， 、 平面 ，
所以平面 //平面 ，
若平面 与平面 1 1夹角的余弦值为3，则平面 与平面 夹角的余弦值也为3，
因为 是 的中点， = ， = ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
又 ∩ = ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ，
连接 ，过点 作 ⊥ 于点 ，
因为平面 ∩平面 = ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
1过点 作 ⊥ 于点 ，连接 ，则∠ 即为平面 与平面 夹角，也即 cos∠ = 3，
所以 tan∠ = 2 2，
设 = ( > 0)，则 = 2 + 2 = 1 + 2，
1 1 1
因为 △ = 2 = 2 ，所以 = = = ，1+ 2 1+ 2
因为 // ，
2 2
所以 cos∠ = cos∠ = = 1+ ， 1 ， 2 sin∠ = 2
在 △ 中，由射影定理知， 2 = ，
2 2
所以 = = ，1+ 2
在 △ 2中，sin∠ = 1 ，2 =
2 2 2
所以 = 1 = 1 2 2

，
1+ 2

1+ 2
在 △ 中，tan∠ = 2 2 =

= 2 2 ，整理得
2
1 (1
2) = 1，
4
2
1+ 2
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1
解得 2 = 2，即 =
2，
2
所以 = 2 = 2 2 2 = 2 12 ( 2 2 ．2 ) = 2
17.解：∵ ( ) =
2 3 + 2 2( +

6 ) 1，
= 3 2 + cos(2 + 13 )，
= 3 2 + 12 2
3 2 × 12，
= 12 2 +
3
2 2 ，
= sin(2 + 6 )，
(1) 1 1令 2 + 2 ≤ 2 + 6 ≤ 2 + 2 ， ∈ ，
1
解可得， 3 + ≤ ≤

6 + ， ∈ ，
( ) 1 即 的单调递增区间为[ 3 + , 6 + ]， ∈ ，
(2) ( ) = ( ) 13 由 在区间[ 6 , 12 ]上有三个零点，
可得 = ( )与 = 13 在区间[ 6 , 12 ]上有三个交点，
结合正弦函数的图象可知， ∈ [ 12 ,
3 ．
2 ]
18. (1) 2 1解： 由已知得，点 在棱 上，满足 = 3，点 在棱 上，满足 = 2，
所以，取 上靠近 的四等分点为 ，
= 2则必有 = 3，
则根据三角形相似，
必有 // ，使得 //平面 ；
(2)(Ⅰ)延长 ，与延长 交于 ，连接 ，并延长与 的延长线交于 ，
连接 ，交 于 ，由(1)可得 = = 34 ，即 为 的中点，
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由 || ，可得 为 的中点，
由 // .可得 为 的中点，
在等腰三角形 中， 为 的中点，取 的中点 ，连接 ，
则 = 2 ， = 23 ，
所以， = 3 2，即 = 3，
(Ⅱ)因为 ⊥面 ， // ，
所以 ⊥面 ，又因为 ，
所以平面 ⊥面 ，
即 与面平面 所成角为平面∠ ，
因为∠ = 90°，所以 = 3 5, sin∠ = 5，5
即直线 与平面 所成角的正弦值为 5．
5
19.解：(1)在△ 中，∵ + = 2 ，
∴由正弦定理得， + = 2 ，
又 ≠ 0，∴ + = 2 ，
整理得： + = 2 ，即 sin( + ) = 2 ，
又 + = sin( + ) = ，
∴ = 2 ， ≠ 0，
∴ = 1 2，又 ∈ (0, )，∴ = 3；
(2)( ) ∴ = 3，
∴ ( 2 + 2 + 2)[ 2 + 1 11 2 cos2( 2 )
+ sin2( + ) ]
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= ( 2 + 2 + 2)( 1 + 1 + 1sin2 sin2 sin2 )
≥ ( +
2 3 2
+ ) = 9( sin ) = 108(当且仅当△ 为正三角形时取等号)3
2 1 1
即：( 2 + 2 + 2)[ 1 2 + cos2( 2 )
+ sin2( + ) ]的最小值为 108．
| | 9| | | | 9 2 9 2 2( ) = | | + | | + | | = | | + | | + | | =

| | + | | + | |．
又 1 1△ = 2 | |, △ = 2 | |, △ =
1
2 | |, △ + △ + △ = △ ，
∴ | | + | | + | | = 2 ，
∵ ， ， ， 21 2 3 1， 2， 3 ∈ ，( 1 1 + 2 2 + 3 3) ≤ ( 2 + 2 + 2)( 2 + 2 + 2)

，当且仅当 1 = 2 = 31 2 3 1 2 3 1 2 3
时等号成立．
2 2 2
∴有 2 = ( | | + | | + | |) ( 9 2 1 3 1 | | + | | + | | ) ≥ ( + 3 + ) ，当且仅当| | = | | = | |，
即| | = 3| | = 3| |时等号成立．
≥ ( +3 + )
2
= ( + +9)
2 2
所以 2 1 =
2( + +9)
；
2 2
3
3
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，得 9 = 2 + 2 ，
2
∴ ( + )2 9 = 3 ，即 = ( + ) 93 ，
≥ 2( + +9)
2
= 2 3( + +9)
2
则 3 ( + )2 9 ，
2
令 = + + 9 2 3 2 3，则 ≥ ( 9)2 9 = 72 ．
2
18+1

( + )2 9
∵ = 3 ≤ (
+
2 )
2
，
+ > = 3
∴ 3 < + ≤ 6，当且仅当 = 时等号成立，
∴ 12 < ≤ 15 1 115 ≤ <
1
12，
72 18 1 1 1
令 = 2 + 1，则 在 ∈ [ 15 , 12 )上递减，
1
当 =
1
15即 = = 3
3
时， 有最大值25，
50 3此时 有最小值 3 (此时| | = 3| | = 3| |与 = 可以同时取到)．
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