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秘密※考试开始前
甘孜州2024-2025学年下期全州统一调研考试
高一期末数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
答题前, 务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B铅笔填涂对应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
考试结束后, 只将答题卡交回。
一、单选题（40分）
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．某学校高一 高二 高三年级学生人数之比为，利用分层抽样的方法抽取容量为35的样本，则从高一年级抽取学生人数为（ ）
A．7 B．10 C．15 D．20
4．已知圆台上下底面积分别为，母线长为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知事件，互斥，，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（ ）
A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”
B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”
C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”
D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”
8．如图，四面体中，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为（ ）
A． B．
C． D．或
二、多选题（18分）
9．在中，为边的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
A．若复数，则
B．若，则或
C．若复数是纯虚数，则实数或－4
D．在复平面内，，所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，若，则
11．已知一直角三角形的两条直角边分别为1cm，2cm，以这个直角三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则这个几何体的体积可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（15分）
12．某次体检，位同学的身高（单位：米）分别为，，，，，，，则这组数据的第百分位数是 （米）
13．某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据：
月份 7 8 9 10 11 12
销售量 11 12 14 15 18 20
根据表中所给数据，可得相关系数 .（结果用四舍五入法保留2位小数）
（参考公式：相关系数，参考数据：，）
14．如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为 .
四、解答题（77分）
15．如图，在平行四边形中，是的中点，且在直线上，且，记，，若.
（1）求的值；
（2）若，，且，求.
16．如图，梯形是水平放置的四边形的斜二测画法的直观图，已知，，．
(1)在下面给定的表格中画出四边形（不需写作图过程）；
(2)若四边形以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求该几何体的体积．
17．近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润（单位：百元）进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示.
(1)求m的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
(2)以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多 并说明理由.
18．已知四棱锥，底面为菱形，，为上的点，过的平面分别交，于点，，且平面．
(1)证明：；
(2)当为的中点，，与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
19．当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是的“费马点”.
(1)若，，.
①求；
②设的周长为，求的值；
(2)若，，求实数的最小值
甘孜州2024-2025学年下期全州统一调研考试
高一期末数学试题参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B C C B A C D AB AD ABC
12．
13．
14．
15．
（1）∵是的中点，∴，
∵，∴.
由可知.
又∵，∴.
（2）∵，及可知.，
在中，由，，及余弦定理可知
得，
解得.
∴
.
∴.
16．
（1）因为与轴重合，则与轴重合，且；
与轴平行，则与轴平行，且；
与轴重合，则与轴重合，且；
连接，即可得四边形.
（2）如图所示，所得几何体的上半部分为圆锥，下半部分为圆柱截取一个圆锥，
故体积为.
17．
（1）由题意可知，解得.
设中位数为，则，解得，所以中位数为74，
平均数为
（2）由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为，
方案二受到奖励的商家的个数为，
因为240>200，所以方案一受到奖励的商家更多.
18．
（1）在四棱锥中，连接交于，由菱形，得，且为、的中点，
由，得，而，面，则面，
又面，于是，又平面，平面平面，面，
则，所以.
（2）由（1）得，，由，为中点，得，
又，平面，则平面，
于是与平面所成的角为，，，,
以为原点，建立如图的空间直角坐标系，记，
，
则，
设平面的法向量为，则，
取，得，
设平面的法向量为，则，
取，得，
，由图知，二面角的大小为锐角，
所以二面角的余弦值为.
19．
（1）①
，
则
②设
而，
在中，由余弦定理得:
同理有
则
在中由余弦定理知: 即
又则
又等面积法知：
则，，
故
（2）因为
所以
所以
所以所以为直角三角形，
点为的费马点，则，
设，，，，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为．

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