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阿坝州2025春季高2027届期末质量检测
数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
答题前, 务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B铅笔填涂对应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
考试结束后, 只将答题卡交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，设z=1+i（i是虚数单位），则复数+z2对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．一人打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
5．函数的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
6．年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中次射击环数如图，则（ ）
A．盛李豪的平均射击环数超过
B．黄雨婷射击环数的第百分位数为
C．盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差
D．黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差
7．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．若，，则
D．与非零向量共线的单位向量为
8．已知底面是正方形的直四棱柱的外接球的表面积为，且，则与底面所成角的正切值为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．，
B．
C．若，，则的最小值为1
D．若是关于x的方程的根，则
10．某市高一年级举行了一次数学竞赛，从所有参加竞赛的名学生中随机抽取了一部分学生，经统计这部分学生的成绩全部介于至之间，将成绩数据按照分组，作出频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．
B．估计全市高一年级数学竞赛成绩不低于分的有人
C．估计全市高一年级数学竞赛成绩的平均分是
D．估计全市高一年级数学竞赛成绩的中位数约为
11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减
D．该图象向右平移个单位可得的图象
三、填空题：本题共3小题，每小题 5 分，共15分。
12．某英语听力测试规则如下：测试者听一段录音材料，录音材料用标准的英式英语依次朗读4个发音相近的英文单词，该段录音材料仅播放一遍，播放完后，测试者根据刚刚播放的录音材料确认录音材料中4个英文单词的先后朗读顺序，即完成一次测试.若测试者甲在一次测试中每正确答出一个英文单词的朗读顺序加20分，则测试者甲在一次测试中所得分数不高于60分且至少正确答出一个英文单词朗读顺序的概率为 .
13．已知，且，，则 .
14．在某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是 (填写序号)．
①平均数； ②标准差； ③平均数且极差小于或等于2；
④平均数且标准差； ⑤众数等于1且极差小于或等于4．
四、解答题：本大题共6小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．学校举行了以“科幻阿坝，遇见未来”为主题的科幻知识通关赛，并随机抽取了该校50名同学的通关时间（单位：分钟）作为样本，发现这些同学的通关时间均位于区间，然后把样本数据分成，，，，，六组，经过整理绘制成频率分布直方图（如图所示）．
(1)计算a的值，并估算该校同学通关时间低于60分钟的概率；
(2)拟在通关时间低于60分钟的样本数据对应的同学中随机选取2位同学赠送科幻大会入场券，求此2人的通关时间均位于区间的概率．
16．如图，是一条东西方向的公路，现准备在点B的正北方向的点A处建一仓库，设千米，并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站（其中边在公路上）.若从点A向公路和中转站分别修两条道路，已知，且.
（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；
（2）如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问x取何值时，修建中转站和道路的总造价M最低？
17．已知函数在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最值及对应的的取值；
(3)当时，写出函数的单调递增区间.
18．如图，在正四棱锥中，已知侧棱长为4，底面边长等于2，是的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
19．已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，求的取值范围；
(3)若为的外接圆，若、分别切于点、，求的最小值
阿坝州2025春季高2027届期末质量检测
数学试题参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
A A C C A C D C ACD ABC BD ③⑤
15．
（1）解：因为，所以，
由所给频率分布直方图可知，50名同学通关时间低于钟的频率为，据此估计该校同学通关时间低于钟的概率为.
（2）解：样本中同学通关时间位于区间的有人，即为，
通关时间位于区间的有：（位），即为，，
从这5名入样同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，
分别为，，，，，，，，，，
所抽取2人的通关时间均位于区间的结果有3种，即，，，故此2人的通关时间均位于区间的概率为．
16．
解：（1）由题意，在直角三角形中，，，
，所以，又，
在中，由余弦定理得，，
所以，由得，
∵且，∴，
∴；
（2），其中，
设，则，
所以.
当且仅当时等号成立，此时，
所以当时，修建中转站和道路的总造价M最低.
17．
（1）由图可知或，，
又、，则，，
则有，解得，
又，则，故；
（2）当时，，
则，故，
即函数在区间上的最大值为，
此时有，即；
函数在区间上的最小值为，
此时有，即；
（3）当时，，
则当，即时，单调递增，
即当时，函数的单调递增区间为.
18．
（1）证明：在正四棱锥中，连接，交于点，连接，
因为四棱锥为正四棱锥，所以平面，
因为平面，所以．
又，，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）连接，由（1）知，平面，
又平面，，
又为的中点，．
为异面直线与所成角，
在中，，
在中，，，．
又，
，
异面直线与所成角的余弦值为．
19．
（1）解：已知，由正弦定理，
得，又，
所以，即，
可得或，因为，，
所以，则，即.
（2）由（1）可知为直角三角形，若，
则，
所以，即，则，
在中，，，，
所以，
令，
又因为，
所以，所以，
令，因为在上单调递增，
所以在上单调递减，所以，
所以的取值范围为.
（3）的外接圆的半径，设，
则，，
所以，
而，
，
令，则
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.

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