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人教版2019高一数学（必修一）第一章 一元二次函数、方程和不等式
第一课时 基本不等式
2.2 基本不等式
学习目标
1.掌握基本不等式及其结构特点.
2.能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
情景导入
某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．
有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的平均数作为项链的重量来计算．顾客对这个重量的真实性提出了质疑．
所以你知道这串金项链的真实重量是多少吗？
这样称店家到底是亏了还是赚了呢？
本节课我们就来学习基本不等式的知识解决这个问题吧！
1.基本不等式的概念
新知探究
我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.
那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题.
重要不等式：
一般地， a，b∈R，有
a2+b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
左式为上节课所得结论
当且仅当a=b时，等号成立.
通常把上式称为基本不等式.
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
概念归纳
上面通过考察的特殊情形获得了基本不等式.能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.
如右图所示，AB是圆的直径，点C是AB上一点，
AC=a，BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.
你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
A
E
D
C
B
b
a
∵AB是圆的直径，
∴AD⊥BD，
又CD⊥AB，
∴△ACD∽△DCB，
∴CD2=AC·BC，
又∵|DE|≤|AB|，
显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.
思考探究
课本例题
口诀简记
一正、
二定、
三相等
1.利用基本不等式求最值的步骤
概念归纳
1.A、B必须为正数
2.（1）在A+B为定值时，便可以知道A·B的最大值
2.（2）在A·B为定值时，便可以知道A+B的最大值
3.当且仅当A、B相等时，等式成立.即
解：
练一练
解：
练一练
课本例题
2. 基本不等式的使用条件
和定积最大，积定和最小.
【例1】 若0解:∵0∴a+b> ,a2+b2>2ab,
∴四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择.
而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),
又0∴a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2典例剖析
探究一 利用基本不等式比较代数式的大小
1.运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件,即a+b≥
成立的条件是a>0,b>0,等号成立的条件是a=b;
a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,等号成立的条件是a=b.
2.本题在比较a+b与a2+b2的大小时使用了作差法.
概念归纳
1.设0∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,
∴b>a2+b2,∴b最大.
练一练
B
典例剖析
探究二 用基本不等式求简单的最值
练一练
练一练
当a>0,b>0时,
概念归纳
典例剖析
探究三 利用基本不等式证明不等式
练一练
练一练
1.此题多次使用 ,要注意等号能否成立,最后利用不等式性质累加的应用,此时也要注意等号成立的条件.
2.在解决不能直接利用基本不等式证明的问题时,要重新组合,构造运用基本不等式的条件.若条件中有一个多项式的和为1,要注意“1”的代换.
3.培养逻辑推理素养与数学运算素养.
概念归纳
随堂练
D
2.设a≥0,b≥0,且a+b=2,则下列不等式正确的是(　　)
A.ab≤1 B.ab≥1
C.a2+b2≥4 D.a2+b2≤4
随堂练
A
3.已知x>0,y>0,且xy=100,则x+y的最小值为　　　　　.
20
随堂练
4.已知a>0,b>0,如果ab=1,那么a+b的最小值为　　　　　;
如果a+b=1,那么ab的最大值为　　　　　.
随堂练
2
随堂练
课本练习
课本练习
课本练习
课本练习
5. 已知直角三角形的面积等于50 cm2，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小 最小值是多少
课本练习
忽视基本不等式成立的条件致错
提示:上述解答中应用了基本不等式,却忽略了应用基本不等式的条件——两个数应都大于零,因而导致错误.
错因分析
∴函数值的取值范围为y≥2.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
错因分析
1.由于 中x的取值范围为x>0或x<0,
故要对x的符号加以讨论,否则不能用基本不等式.
2.培养逻辑推理素养和数学运算素养.
错因分析
下列各式能用基本不等式直接求得最值的是(　　)
解析:选项A,B,D都不一定满足是正数,
只有C满足基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”.
C
错因分析
分层练习-基础
AB
分层练习-基础
ABD
分层练习-基础
C
分层练习-基础
C
分层练习-基础
B
B
C
分层练习-基础
5
10
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-巩固
D
A
分层练习-巩固
B
C
分层练习-巩固
A
C
分层练习-巩固
D
16
分层练习-巩固
①②
分层练习-巩固
①②③
C
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
课堂小结
核心知识
重要不等式
基本不等式


方法总结
配凑法:根据已知条件配凑基本不等式所满足的条件
构造法:通过不等式的放缩将所给等量关系变为不等式
函数法:用代换法转化为函数问题再求函数的最大(小)值
易错提醒
核心素养
（1）应用基本不等式时，注意一正二定三相等的条件
（2）注意分析给定不等式，变形、组合、添加系数的目的是使之能够出现定值
逻辑推理、数学运算：用重要不等式、基本不等式求最值，培养逻辑推理与数学运算的核心素养

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