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人教版2019高一数学（必修一）第一章 一元二次函数、方程和不等式
第一课时 等式性质与不等式性质
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
了解不等式的意义，能用不等式(组)表示实际问题
中的不等关系.
2. 会用作差法比较两个代数式的大小关系.（重点）
3. 掌握并会应用重要不等式.（重难点）
情景导入
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，
例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌，轻与重，不超过或不少于等.
类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等.
相等用等式表示，不等用不等式表示.
【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子
【不等式】指的是用不等号
“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”
连接起来的式子
1.不等关系与不等式
新知探究
【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂
线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ
A
B
C
P
Q
以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式.
接着，就可以用不等式研究相应的问题了.
【问题2】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
我们该如何解这个不等式呢？
由于数轴上的点与实数一一对应，
所以可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系；
2.比较两个实数的大小
新知探究
与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质.
为此，我们需要先研究不等式的性质.
A
B
B
A
A(B)
关于实数a，b大小比较，
有以下的基本事实：
如果a-b是正数，那么a>b；
如果a-b等于0，那么a=b；
如果a-b是负数，那么 a反过来也是如此.
从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小.
【解】运用作差法：
作差
变形
定号
定论
0是相等与不等的分界线，它也为比较实数的大小提供了标杆.
这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数(式).
这是解决不等式问题的常用方法.
课本例题
作差法比较两个实数大小的基本步骤
概念归纳
作差
变形
定号
结论
a-b
采用配方、因式分解、通分、有理化等手段
判断差与0的大小
利用实数a，b大小比较的基本事实
下图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？
思考探究
(1)正方形ABCD的面积S=________；
四个直角三角形的面积和S' =_____;
(2) S与S’有什么样的不等关系，如何表示？
（3）S与S’会出现相等的情况吗，什么时候相等？
若设直角三角形的两直角边分别为a,b，则
A
B
C
D
E(FGH)

当a=b时，S=S'，即
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
当a=b时
如何证明不等式成立？
证明：
提示：利用完全平方公式即可
例1.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．
试用不等式表示其中的不等关系．
探究一　用不等式(组)表示不等式关系
典例剖析
不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤
(1)审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量；
(2)列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件)；
(3)列不等式(组)．挖掘题意，建立已知量和待求量之间的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件)．
概念归纳
1.某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种，按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍，试写出满足上述所有不等关系的不等式．
练一练
例2.已知x∈R，比较x3－1与2x2－2x的大小．
探究二　比较大小问题
典例剖析
比较两个代数式大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
(2)变形：对差进行变形；
(3)定号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
(4)结论．
提醒：这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提.
概念归纳
2.若y1=3x2-x+1,y2=2x2+x-1,则y1与y2的大小关系是(　　)
A.y1>y2 B.y1=y2
C.y1练一练
解析:
∵ y1-y2=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,
∴ y1>y2.
A
练一练
1.下面能表示“m与n的和是非正数”的不等式为(　　)
A.m+n<0 B.m+n>0 C.m+n≤0 D.m+n≥0
随堂练
2.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是(　　)
A.M>N B.M=N
C.MC
A
随堂练
4.一单位的甲、乙、丙三人出差A城办事;在安排住宿时,他们有三种住宿方案可供选择:
(1)三人同住一套间;
(2)二人住标准间(双人间)、一人住单间;
(3)三人各住一个单间.若宾馆方面对每个套间、每个标准间及单间的标价分别为300元、160元和60元;
同时对客户实行打折优惠,但这三类房间的折率各不相同,
分别为50%,65%和85%,
这三人选择住宿方案中最经济的为第　　　　　套方案.
随堂练
（1）
解析:
若选择(1)方案,则需支付:y1=300×50%=150(元);
若选择(2)方案,则需支付:y2=160×65%+60×85%=155(元);
若选择(3)方案,则需支付:y3=60×85%×3=153(元).
因为y1随堂练
5.分别写出满足下列条件的不等关系:
(1)一个两位数的个位数字y比十位数字x大,且这个两位数小于30;
(2)某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元的单片软件x片和70元的盒装磁盘y盒.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒.
解:(1)y>x>0,9<10x+y<30,且x,y∈N*.
(2)x≥3,y≥2,60x+70y≤500,且x,y∈N*.
随堂练
解　0(2)a与b的和是非负实数；
解　a＋b≥0；
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)
从地面算起不能超过4 m；
1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系.
课本练习
(3)如图，在一个面积小于350m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍.
课本练习
2.比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小.
解　因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)
＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)
＝－3<0，
所以(x＋3)(x＋7)<(x＋4)(x＋6).
课本练习

课本练习
错因分析
1.若a＞b，则ac2________bc2.
易错警示　忽视因式可能为0
错解：因为c2＞0，且a＞b，所以ac2＞bc2，故填＞.
易错防范：上面的解法错在忽视了c＝0的情况．当c＝0时，ac2＝bc2.防范措施是使用不等式的性质时，不可忽视条件．
正解：因为c2≥0，且a＞b，所以ac2≥bc2，故应填≥.
2.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是(　　)
A.A≤B B.A≥B
C.A>B D.大小关系不确定
错因分析
因忽视配方法在判断符号中的应用致错
错解:因为A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2+b2-ab,所以A,B的大小关系不确定.
B
防范措施
1.用作差法比较两个数(式)的大小时,其关键是变形,一般采用配方、因式分解、通分、有理化等手段变形,这样有利于定号.特别是作差后的式子为二次三项式时,常考虑因式分解或配方法变形.
2.注意培养逻辑推理素养和数学运算素养.
归纳总结
分层练习-基础
D
分层练习-基础
D
分层练习-基础
A
分层练习-基础
A
分层练习-基础
D
分层练习-基础
A
分层练习-基础
C
分层练习-基础
分层练习-基础
<
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
A
分层练习-巩固
分层练习-巩固
B
分层练习-巩固
现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
2．有一批衬衣原价为每件80元，甲、乙两商场均有销售．现在每个商场都推出了促销政策：到甲商场买一件衬衣优惠4元，买两件每件优惠8元，买三件每件优惠12元，……依此类推，直至减到半价为止；乙商场则一律按原价7折酬宾．某单位欲为每位员工购买一件该衬衣，问：到哪个商场购买比较合算？
解：设该单位共需购买x件衬衣，在甲、乙两商场购买分别需付款y元、z元．依题意，有
z＝80×70%x＝56x(x≥1，x∈Z)．
分层练习-拓展
①若1≤x≤10，x∈Z，则y－z＝(80－4x)x－56x＝4x(6－x)．
当1≤x≤5，x∈Z时，6－x＞0，∴y－z＞0，即y＞z.
当x＝6时，y－z＝0，即y＝z.
当7≤x≤10，x∈Z时，6－x＜0，
∴y－z＜0，即y＜z.
②若x＞10，x∈Z，则y－z＝40x－56x＝－16x.
∵－16x＜0，∴y＜z.
综上，若单位人数不超过5人，到乙商场购买合算；若单位人数恰为6人，到甲、乙商场购买一样合算；若单位人数超过6人，到甲商场购买更合算．
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
不等关系与
比较大小
利用不等式表示不等关系
比较大小
作差法：通常利用配方法化成完全平方式与0比较
作商法：适用于同号的式子作商与1比较
比较大小常用方法
（1）利用不等式时，要注意等号能否取到
（2）利用不等式表示不等关系时要注意实际意义
数学建模：用不等式(组)表示实际问题，培养数学建模的核心素养
逻辑推理：通过等式性质类比推理得不等式的性质，培养逻辑推理的核心素养
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
课堂小结

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