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人教版2019高一数学（必修一）第一章 一元二次函数、方程和不等式
第二课时 基本不等式的应用
2.2 基本不等式
学习目标
1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。
2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。
3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。
情景导入
本节课我们来学习基本不等式的应用
基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具.
1.基本不等式的应用
新知探究
（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
课本例题
课本例题
典例剖析
探究一 利用基本不等式求最值
典例剖析
概念归纳
1.应用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的条件进行,
若具备这些条件,则可直接运用基本不等式,
若不具备这些条件,则应进行适当的变形.
2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.
具体可归纳为三句话:
一不正,用其相反数,改变不等号方向;
二不定,应凑出定和或定积;
三不等,一般用函数的图象或性质.
练一练
典例剖析
探究二 两个变量的最值问题
分析:从形式上看不具备用基本不等式求最值的条件,但根据已知变形,消去一个变量,可构造成能使用基本不等式的形式,也可使用“1”的代换尝试解决.
练一练
练一练
概念归纳
1.本题给出的方法,用到了均值不等式,并且对式子进行了变形,配凑出满足基本不等式的条件,这是经常使用的方法,要学会观察、学会变形.
2.常见的变形技巧有:
(1)配凑系数;
(2)变符号;
(3)拆补项.
常见形式有 型和y=ax(b-ax)型.
典例剖析
探究三 基本不等式的实际应用
【例3】 围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如下图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).
(1)将y表示为x的函数;
(2)试确定x的值,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.
典例剖析
概念归纳
应用基本不等式解决实际问题的方法一般分四步:
(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;
(2)构造相应的函数解析式,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;
(3)求出函数的最大值或最小值;
(4)正确写出答案.
某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,若将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层
(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用
练一练
因此,当x=15时,y取最小值2 000,即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.
练一练
随堂练
A
C
随堂练
随堂练
大
-1
随堂练
随堂练
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，
菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2．
当且仅当a＝2b＝15时取等号．
则由题意得a＋2b＝30，所以 ，
1.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m．
当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
课本练习
则由题意得2ab＝32，即ab＝16．
当且仅当a＝b＝4时取等号．
即当底面的长和宽均为4时，用纸最少．
所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥32＋ ＝64 ，
2.做一个体积为32 m3，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？
解：设底面的长为a，宽为b，
课本练习
则由题意得2（a＋b）＝36，即a＋b＝18．
所以要求侧面积最大，即求ab的最大值，
因为旋转形成的圆柱的侧面积为： ，
故当矩形的长宽都为9时，旋转形成的圆柱的侧面积最大．
由基本不等式得： ，当且仅当a＝b＝9时取等号．
3.已知一个矩形的周长为36 cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
解：设矩形的长为a，宽为b，
课本练习
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正
你如何防范
错因分析
忽视基本不等式求最值的条件致错
错因分析
1.在运用基本不等式时,要特别注意等号成立的条件,尤其多次使用基本不等式时,等号成立的条件必须相同,否则会造成错误.
2.尽量对式子进行化简、变形,利用一次基本不等式求最值.
3.培养逻辑推理素养和数学运算素养.
错因分析
练一练
C
分层练习-基础
A
C
分层练习-基础
A
B
B
B
分层练习-基础
分层练习-基础
ABC
4
分层练习-基础
2
分层练习-基础
56
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-巩固
C
C
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
课堂小结
基本不等式的应用
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求最值
证明不等式
实际应用
(1)整体代换求最值
①根据变形确定定值；②把定值变形为1；③构造和或积的形式；④利用基本不等式求解最值.
（2）证明不等式的方法与特征：
①方法：从已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所求问题，
②特征：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”
（1）证明不等式：
①多次使用基本不等式，要注意等号能否成立;
②注意使用;累加法和拼凑法
（2）用基本不等式解决实际问题时，注意变量的取值范围、等号能否取到，最终结果要转化为实际意义
数学建模：通过基本不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养
逻辑推理：通过不等式的证明，培养逻辑推理的核心素养

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