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人教版2019高一数学（必修一）第一章 一元二次函数、方程和不等式
第一课时 二次函数与一元二次方程不等式
2.3 二次函数与一元二次方程
不等式
学习目标
1.掌握一元二次不等式的解法(重点).
2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).
情景导入
在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种关系可以更好地解决相关问题.
对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？
本节课我们学习二次函数与一元二次方程及不等式的联系，
下面来看一个问题！
1.二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系
新知探究
问题　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？
概念归纳
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
思考：在初中，我们从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？
2.二次函数的零点
新知探究
3.一元二次不等式的解法
新知探究
二次函数y=x2-12x+20 的两个零点x1＝2，x2＝10
将x轴分成三段．
当x＜2 或x＞10时，图像在x轴上方，y＞0，
即x2-12x+20>0；当2故一元二次不等式x2－12x＋20＜0的解集是{x|2＜x＜10}.
x
y
o
2
10
上述方法，是否可以推广到一般的一元二次不等式？
概念归纳
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系:
⊿=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)
的图象
方程ax2+bx+c=0
的根
y=ax2+bx+c>0
(a>0)
的解集
ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集
⊿>0
⊿=0
⊿<0
x1
x2
x
y
x
x1(x2)
y
x
y
没有实数根
{x|x>x2
或x{x|
}
R


课本例题
课本例题
课本例题
求解一元二次不等式的一般步骤：
将原不等式化为ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的形式
计算Δ=b2-4ac的值.
△>0方程ax2＋bx＋c=0
有两个不相等的实数根，解得x1，x2（x1＜x2）
原不等式的解集为{x|x＜x1，或x＞x2}
原不等式的解集为{x|x≠－ }
原不等式的解集为R
总结归纳
变形
通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数为正且不等式的右边为0)
求根

画图
画出对应二次函数的草图，方程有根的将根标在图中
求解

解不含参一元二次不等式的步骤：
总结归纳
典例剖析
探究一 解一元二次不等式
【例1】 解不等式:
(1)2x2-3x-2>0;　(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0; (4)x2-2x+2>0.
(2)不等式可化为3x2-6x+2<0.
对应方程3x2-6x+2=0,因为Δ=36-4×3×2=12>0,
所以它有两个实数根.
(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.
画出二次函数y=x2-2x+2的图象,结合图象得不等式x2-2x+2>0的解集为R.
图④
1.在解一元二次不等式中,需求所对应的一元二次方程的根,可借用求根公式法或因式分解法求解,并根据数形结合写出解集.
2.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤:
(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正;
(2)对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式;
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根;
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象的草图;
(5)根据图象写出不等式的解集.
概念归纳
1.求下列一元二次不等式的解集.
(1)x2-5x>6;
(2)x2-6x+9≤0;
(3)-x2+2x+8>0.
练一练
解:(1)由x2-5x>6,得x2-5x-6>0.
∵x2-5x-6=0的两根是x=-1或6,
∴原不等式的解集为{x|x<-1,或x>6}.
(2)由x2-6x+9≤0,得(x-3)2≤0,
故原不等式的解集为{x|x=3}.
(3)原不等式可化为x2-2x-8<0,又Δ=(-2)2-4×(-8)=36,
则方程x2-2x-8=0有两个不等实根x1=-2,x2=4,
故原不等式的解集为{x|-2练一练
典例剖析
探究二 简单分式不等式的解法
分析:(1)转化为一次项系数为正值时的整式不等式求解.
(2)移项通分,转化为(1)的形式求解.
典例剖析
典例剖析
分式不等式的同解变形
概念归纳
练一练
【例3】 解关于x的不等式x2-2ax-8a2<0.
典例剖析
探究三 解含参数的一元二次不等式
解:不等式x2-2ax-8a2<0可化为(x+2a)(x-4a)<0,
方程x2-2ax-8a2=0的两根为x1=-2a,x2=4a.
当-2a=4a,即a=0时,不等式即为x2<0,解集为 ;
当-2a>4a,即a<0时,4a当-2a<4a,即a>0时,-2a综上所述,当a=0时,原不等式的解集为 ;
当a<0时,原不等式的解集为{x|4a当a>0时,原不等式的解集为{x|-2a解:原不等式化为(x-1)(x-a)≥0,相应方程的两根为1,a,
故应比较1与a的大小.
当a>1时,原不等式的解集为{x|x≤1,或x≥a}.
当a=1时,原不等式的解集为R.
当a<1时,原不等式的解集为{x|x≤a,或x≥1}.
3.解关于x的不等式“x2-(a+1)x≥-a”.
练一练
4.解关于x的不等式ax2-x>0.
练一练
1.本例中不等式对应的方程有实根,只是两根的大小由参数的取值范围决定,故按根的大小讨论参数.
2.解含参数的一元二次不等式时的讨论原则:
(1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数等于0与不等于0讨论,
对于二次项系数不为0的情况再按大于0或小于0讨论.
(2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,
则需对其判别式Δ进行讨论.
(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.
概念归纳
随堂练
B
2.若a<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是(　　)
A.{x|x>5a,或x<-a} B.{x|x>-a,或x<5a}
C.{x|5a随堂练
解析:由题可得(x-5a)(x+a)>0.
∵a<0,∴5a<-a,∴x>-a或x<5a.
B
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
则不等式ax2+bx+c>0的解集是　 .
解析:由表可知方程ax2+bx+c=0的两根分别为-2,3,且二次函数的图象开口向上,故ax2+bx+c>0的解集为{x|x>3,或x<-2}.
答案:{x|x>3,或x<-2}
:{x|x>3,或x<-2}
随堂练
解析:原不等式等价于(x-4)(x+5)<0,
故原不等式的解集为{x|-5随堂练
{x|-55.解不等式:
(1)x(9-x)>0;
(2)16-x2≤0.
随堂练
解:(1)原不等式等价于x(x-9)<0,
因为方程x(x-9)=0的两根为0,9,
且二次函数y=x(x-9)的图象开口向上,
所以原不等式的解集为{x|0(2)原不等式等价于x2-16≥0,即x2≥16,
所以其解集为{x|x≥4,或x≤-4}.
课本练习
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？
忽视对参数的分类讨论致错
以上解答过程中都有哪些错误
出错的原因是什么
你如何改正防范
错因分析
1.解关于x的不等式x2-2ax+3≥0(a∈R).
提示:错解中没有考虑到一元二次方程没有实数根和只有一个实数根的情况,导致错误.
1.求解含参数的一元二次不等式时,如果相应方程的根的情况不确定,那么应对方程根的情况进行讨论,以确定不等式的解集.
2.注意逻辑推理和数学运算素养的培养.
错因分析
分层练习-基础
A
D
分层练习-基础
C
分层练习-基础
C
分层练习-基础
A
D
分层练习-基础
B
分层练习-基础
{x|0{x|x≥1或x＝－2}　
{x|x≥1或x＝0}
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-巩固
A
{x|x<－2或x>3}
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
课堂小结
二次函数与一元二次方程、不等式
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
二次不等式的解法:
化标准式，看判别式符号，求方程的根，画抛物线，得解集
三个二次的关系：
（1）方程的根是不等式解集的端点横坐标；
（2）不等式大于0对应抛物线在x轴上方的部分，小于0则对应x轴下方的部分
解含参数的不等式：
（1）注意特殊情况，如二次项系数是否为0，判别式符号等；
（2）确定方程的两个根时要讨论两根的大小关系
数学运算：通过一元二次不等式的解法，建立三个二次的关系，培养数学运算的核心素养
二次不等式
二次方程
二次函数
三个二次的关系

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