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人教版2019高一数学（必修一）第一章 一元二次函数、方程和不等式
第二课时 二次函数与一元二次方程不等式的实际应用
2.3 二次函数与一元二次方程
不等式
学习目标
1.会解可化为一元二次不等式的简单分式不等式；
2.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法
(重、难点)；
3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并
加以解决(难点)。

国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．
按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．
为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．
根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．
试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
情景导入
这道题如何求解呢？本节课我们就来探讨一元二次不等式在实际问题中的应用吧！
1.一元二次不等式的应用
新知探究
利用一元二次不等式可以解决一些实际问题，下面看两个例子.
刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离.
刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离.
2.含参一元二次不等式的解法
新知探究
参数：在函数、方程和不等式中，除了其本身的未知数、变量以外的其它字母。
解关于x的不等式：
(1) x2 - a2x≤ a2 -x; (2) ax(x-2) > 0
解：(1)
方程x2 + (1-a2)x-a2=0的根为
由x2 - a2x≤ -x得
x2 + (1-a2)x-a2 ≤ 0
x1=-1，x2=a2
∵ x1=-1∴ 原不等式的解集为
{x|-1≤x≤a2}
方程ax(x-2)=0的根为
(2)当a=0时，
由x-2>0得
x1=0，x2=2
∴ 原不等式的解集为
{x|x<0, 或x>2}
x>2
当a>0时，
方程(-a)x(x-2)=0的根为
x1=0，x2=2
∴ 原不等式的解集为
{x|0当a<0时，
由ax(x-2) > 0得
(-a)x(x-2) < 0
∴ 原不等式的解集为
{x|x>2}
解关于x的不等式：
(1) x2 - a2x≤ a2 -x; (2) ax(x-2) > 0
解关于x的不等式: (1)x2-(a+1)x+a≤0
由x2-(a+1)x+a=0得
x1=1,x2=a
∴当x11时
不等式的解集为{x|1≤x≤a}
当x1>x2, 即a<1时
不等式的解集为{x|a≤x≤1}
当x1=x2, 即a=1时
不等式的解集为{x|x=1}
解：(1)
解：(2)
解关于x的不等式:(2)x2-ax+1>0.
对于方程x2-ax+1=0
=a2-4
当 >0，
即a2-4>0,
方程有两个不相等实数根
当 =0，
即a=-2或a>2时
方程有两个不相等实数根
当 <0，
即-2方程没有等实数根
解关于x的不等式:(3) x2 + 5ax + 6a2 > 0.
解：(3)
由方程x2 + 5ax + 6a2 =0得两根为
x1=－3a, x2=－2a
当-3a >-2a ，
即a <0时
原不等式的解集为
{x|x<-2a ,或x>-3a }.
当-3a=-2a ，
即a =0时
x1= x2=0
原不等式的解集为
{x︱x≠0}.
当-3a <-2a ，
即a >0时
原不等式的解集为
{x|x<-3a ,或 x>-2a}.
思考探究
(1)为什么每次分类讨论时都要将参数的范围求出来？
(2)如何针对不同的情况进行分类讨论？
概念归纳
(1)当二次项系数不确定时
应对二次项系数进行讨论，一般分二次项系数”大于0”,小于0”和”等于0”三种情况；
(2)当对应方程根的个数不确定时应对方程根的别式 进行讨论，一般分 ”大于0”,”小于0”和”等于0”三种情况；
(3)当方程两根的大小不确定时，应对方程根x1和x2的大小进行讨论，一分”x1分类时应做到： 不重复，不遗漏
含参一元二次不等式的讨论一般方法

国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．
按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．
为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．
根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．
试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
现在我们回到最初的问题,你是否已经有思路了？
练一练
*
练一练
典例剖析
探究一 二次方程、二次函数、二次不等式间的关系
分析:先由ax2+bx+2>0的解集为 ,得出方程ax2+bx+2=0的解,再由根与系数的关系求出a,b的值并得出2x2+bx+a<0的解集.
典例剖析
练一练
练一练
练一练
1.本题是二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集间关系的灵活运用,注意“三个二次”间的关系,即一元二次方程的两根对应着二次函数图象与x轴两交点的横坐标,对应着一元二次不等式解集中的端点值.
2.已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循:
(1)根据解来判断二次项系数的符号;
(2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式;
(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
2.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,x2+x-6<0的解集为B,x2+ax+b<0的解集为C,若C=A∩B,求a,b的值.
练一练
解:x2-2x-3<0的解集A为{x|-1x2+x-6<0的解集B为{x|-3∵C=A∩B,∴集合C为{x|-1∴-1,2是方程x2+ax+b=0的两根.
∴a=-1,b=-2.
【例2】 若不等式(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立,求实数m的取值范围.
解:由题意可知当m+1=0,即m=-1时,
原不等式可化为2x-6<0,解得x<3,不符合题意,应舍去.
当m+1≠0时,由(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立,
典例剖析
探究二 一元二次不等式的恒成立问题
1.本题中二次项系数不确定,应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论.
2.一元二次不等式恒成立问题的常见类型:
设y=ax2+bx+c(a≠0).
概念归纳
练一练
【例3】 某摩托车生产企业,上年度生产车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆,本年度为适应市场需要,计划提高产品档次,适度增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.
典例剖析
探究三 一元二次不等式的实际应用
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x之间的关系式;
(2)为使本年度的利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内
解:(1)每辆车投入成本增加的比例为x,则每辆车投入成本为1×(1+x)万元,出厂价为1.2×(1+0.75x)万元,
年销量为1 000×(1+0.6x)辆.
故y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x),
即y=-60x2+20x+200(0典例剖析
典例剖析
概念归纳
1.解决本题的关键是利用题目给出的等量关系,
即年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量,转化为函数形式.
解有关不等式的应用问题时,有时一个不等式还不足以解决问题,
必须列出相应的不等式组才可以.
2.用一元二次不等式求解实际应用题的一般步骤
(1)审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系;
(2)建模:建立一元二次不等式模型;
(3)求解:解一元二次不等式;
(4)还原:把数学结论还原为实际问题.
国家为了加强对烟酒生产的宏观调控,实行征收附加税政策,现知某种酒每瓶定价70元,不加收附加税时,每年大约销售100万瓶,若政府征收附加税,每销售100元要征税R元(叫做税率R%),则每年的销售量将减少10R万瓶,要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元,则R应怎样确定
解:由题意得,70×(100-10R)×R%≥112,
化简得,R2-10R+16≤0,解得2≤R≤8.
所以,当2≤R≤8时,每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元.
练一练
1.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|αA.a>0 B.a<0 C.a≥0 D.a≤0
解析:由题意知,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下.
2.已知不等式x2+px+q<0的解集是{x|-3A.p=-1,q=6 B.p=1,q=6 C.p=1,q=-6 D.p=-1,q=-6
解析:由不等式x2+px+q<0的解集是{x|-3随堂练
B
C
3.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数解析式为y=3 000+20x-0.1x2(0A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
解析:由3 000+20x-0.1x2≤25x,得x2+50x-30 000≥0,
解得x≥150或x≤-200(舍去).
随堂练
C
4.若不等式x2+2(a-2)x+4>0对 x∈R恒成立,则实数a的取值范围为　　　　　.
解析:由于对 x∈R,x2+2(a-2)x+4>0恒成立,
故Δ=4(a-2)2-16<0 0随堂练
05.已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,求实数a的取值范围.
随堂练
课本练习
2.如图，在长为8m，宽为6m 的矩形地面的四周种花卉上中间种植草坪，如要求草坪的种植面积不超过总面积的一半 ， 那么花卉带的宽度应为多少米
答：设花卉带的宽度应为xm，则
课本练习
3.某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元. 若按最低售价销售，每天能卖出20个；若每个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天的获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格
答：设每个削笔器的销售价格为x元，则
课本练习
忽略二次项系数为零致错
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
错因分析
1.已知函数y=(a-2)x2+2(a-2)x-2的图象在x轴下方,求实数a的取值范围.
提示:当a=2时,y=-2,满足其图象在x轴下方,此时不能用根的判别式.
错因分析
1.二次项系数含参数时,要严格分系数为正、系数为0、系数为负三种情况进行讨论,缺一不可.
若认为当系数为0时,为一元一次不等式,故不讨论,这是不可以的.
因为只要题中没有明确说明为一元二次不等式,就必须讨论这种情况.
2.注意逻辑推理和数学运算素养的培养.
错因分析
已知关于x的不等式kx2-kx-1<0恒成立,求实数k的取值范围.
错因分析
分层练习-基础
B
A
分层练习-基础
A
A
分层练习-基础
A
D
分层练习-基础
D
{t|90分层练习-基础
m<0
1
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-巩固
D
分层练习-巩固
A
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
B
分层练习-拓展
课堂小结
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
分式不等式
不等式的恒成立
不等式的实际应用
（1）分式不等式化为等价的一元二次不等式时，要注意分母不为0等隐藏条件
（2）共同特征即是集合中元素满足的条件
二次函数与
一元二次方程、
不等式的应用
一元二次不等式的恒成立问题：
（1）判别式法：适用于在R上恒成立
数学运算：通过不等式恒成立问题的求解，培养数学运算的核心素养
数学建模：通过不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养

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