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人教A版2019高一数学（必修一）第三章 函数的概念与性质
3.1.2函数的表示法（第1课时）
1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(重点)
2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)
学习目标
Q1：由我们初中已经接触过了函数常见的三种表示方法，你还记得是哪三种方法吗？请结合教材P60--61的问题1,2,3,4来说明？
（1）解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
例如：问题1中的S=350t, t∈{t|0≤t≤0.5}
问题2中的w=350d, d∈{1,2,3,4,5}
（2）图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系.
例如：问题3中的图象
情景导入
(３)列表法:用列出的表格来表示两个变量之间的对应关系.
例如：问题４中的表格
这三种方法是常用的函数表示法．
情景导入
【例4】
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y 5 10 15 20 25
课本例题
【例4】
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？
课本例题
列表法 图象法 解析法
定义 用表格的形式把两个变量间的函数关系表示出来的方法 用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法 一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来的方法
优 点 不必通过计算就能直接看出与自变量的值相对应的函数值 可以直观形象地表示随着自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于研究函数的性质 简明全面的概括了变量之间的对应关系；通过解析式可以求出任意一个自变量的值所对应的函数值
缺 点 只能表示有限个元素的函数关系 有些函数的图象难以精确作出 一些实际问题难以找到它的解析式
【思考】比较函数的三种表示法，它们各有什么优点和缺点
【思考】所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图像法呢？请你举出实例加以说明.
并不是所有函数都能用解析法表示.
（1）如某地一年中每天的最高气温是日期的函数，该函数就不能用解析法表示；
（2）同样，并不是所有的函数都能用图像法表示，如函数 不能用图像法表示；
（3）列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无限个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.
课本例题

注：
分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同；
在书写时要指明各段函数自变量的取值范围；
分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集.
新知探究
课本例题
课本例题
1．如图，把直截面半径为25 cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为 x（单位：cm），面积为 y（单位：cm2），把 y 表示成 x 的函数．
25 cm
A
B
C
D
课本练习
2. 画出函数 的图象.
方法一：由绝对值的概念，可知 所以函数 的图像如图所示 .
方法二：（翻折法）先画出 的图像，然后再把图像中位于 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上面，其他不变.
方法三： 也可以由 y=|x| 的图象向右平移两个单位长度得到.
课本练习
1
2
3
4
1
2
O
y=|x-2|
x
y
课本练习
1
1
O
f(x)
x
y
g(x)
课本练习
1
1
O
m(x)
x
y
课本练习
分段函数的解析式问题
【典例】 已知函数f(x)=x2+1,g(x)=2x+4.若定义函数h(x):
当f(x)≥g(x)时,h(x)=f(x)-2g(x);当f(x)(1)写出h(x)的解析式;
(2)求h(h(g(-2)))的值.
审题策略:(1)由给出的h(x)的定义,通过解不等式得出自变量的两个不同取值区间,按照分段函数的形式写出解析式;
(2)由内向外逐步求值.
错因分析
规范展示:(1)当f(x)≥g(x),即x2+1≥2x+4时,解得x≤-1或x≥3,
此时h(x)=f(x)-2g(x)=x2+1-2(2x+4)=x2-4x-7;
当f(x)此时h(x)=2f(x)-g(x)=2(x2+1)-(2x+4)=2x2-2x-2.
(2)因为g(-2)=2×(-2)+4=0,
所以h(h(g(-2)))=h(h(0)),
而h(0)=2×02-2×0-2=-2,
所以h(h(g(-2)))=h(-2)=(-2)2-4×(-2)-7=5.
答题模板:第1步:由f(x)≥g(x)求得x的取值范围,并写出此时h(x)的解析式.

第2步:由f(x)
第3步:根据分段函数的形式写出h(x)的解析式.

第4步:先求g(-2)的值,再求h(g(-2))的值,最后求得h(h(g(-2)))的值.
失误展示
造成失分的原因主要如下:
(1)解错不等式,导致分段函数的分段范围错误;
(2)计算化简错误,导致h(x)的解析式错误;
(3)h(x)的结果不符合分段函数的要求;
(4)计算出错,导致结果错误.
【变式训练】 我国是水资源相对匮乏的国家,为鼓励节约用水,某市打算出台一项水费政策措施,规定每季度每人用水量不超过5吨时,每吨水费收基本价1.3元,当超过5吨而不超过6吨时,超过部分的水费加收200%,当超过6吨而不超过7吨时,超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨,试计算,本季度他应缴多少水费
解:用y表示本季度应缴水费(单位:元).
当0当5第二部分由基本水费与加价水费组成,即1.3(x-5)+1.3(x-5)×200%=1.3(x-5)(1+200%),
则y2=1.3×5+1.3(x-5)(1+200%)=3.9x-13.
当6同理y3=1.3×5+1.3×(6-5)×(1+200%)+1.3(x-6)(1+400%)=6.5x-28.6.
典例剖析
总结归纳
总结归纳
注意定义域的端点是否取到，图象有实心点、空心点之分．
总结归纳
画含限制条件的函数图象的步骤
(1)画出初始函数的图象．
(2)根据已知的限制条件判断在每个范围内的图象是否符合题意．
(3)不在区域内的图象或不满足限制条件的图象改为虚线或不画．
总结归纳
总结归纳
总结归纳
函数的表示法
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求解析式的方法：
（1）待定系数法：函数类型已知时设出函数的一般式，然后利用条件求待定系数
（2）换元法：将含变量的代数式用新变量表示，进而求得解析式
（3）方程组法:根据已知条件构造方程组，进而求出函数解析式
(1)用换元法求函数的解析式时，要注意换元后自变量的取值范围
(2)用待定系数法求解析式是针对已知函数类型的问题
数学抽象：通过具体实例学习过程渗进归纳推理，培养数学抽象的核心素养
解析法
列表法
图象法
课堂小结

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