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人教A版2019高一数学（必修一）第三章 函数的概念与性质
3.1.1 函数的概念（第1课时）
1.用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．
2.体会集合和对应关系在刻画函数概念中的作用．
3.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域．
4.能够正确使用区间表示数集.
学习目标
函数的传统定义：
本节我们将在集合的基础上，用新的观点进一步学习函数的概念.
情景导入
问题1： 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时. 这段时间内，列车行进的路程 S（单位：km）与运行时间 t（单位：h）的关系可以表示为
S=350t.
这里，t 和 S 是两个变量是两个变量，而且对于 t 的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以 S 是 t 的函数.
新知探究




新知探究
思考 有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km”，你认为这个说法正确吗？



新知探究


问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？
新知探究
不是同一个函数，因为自变量的取值范围不同.
S=350t， t∈{t|0≤t≤0.5}；
W=350d，d∈{1,2,3,4,5,6}.

在这个情境中，两个变量的对应关系由图象的形式给出，每一个横坐标上的时间都对应着一个具体的空气质量指数值.
新知探究

年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 28.89 29.35 28.57
思考：你认为按上表给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗 如果是,你会用怎样的语言来刻画这个函数
对于数集A4=____________________的任一年份y，按照表格给定的对应关系，在数集B4=__________中都有唯一确定的工资w和它对应．
{y∈Z|2006≤y≤2015}
{r|0故 r 是 y 的函数.
归纳：上述问题1至问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数的本质特征吗？
【共同特征】
(1)都包含两个非空数集用A,B来表示;
(2)都有一个对应关系;
(3)尽管对应关系的表示方法不同，但他们都有如下的特征：对于数集A中的任意，一个数x，按照对应关系在数集B中都有唯一确定的y值和它对应.
问题情境 自变量的集合 对应关系 函数值所在的集合 函数值的集合
问题1 A1={t|0≤t≤0.5} S=350t B1={S|0≤S≤150} B1
问题2 A2={1,2,3,4,5,6} W=350d B2={350，700，1050，1400，1750，2100} B2
问题3 A3={t|0≤t≤24} 图1 B3={I|0问题4 A4={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015} 表1 B4={r|0记作：y＝f(x)，x∈A．
函数的概念：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 显然，值域是集合B的子集．
可见，构成函数的要素为：定义域，对应关系和值域．因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．
概念归纳
如果让你用函数的定义重新认识一次函数，二次函数与反比例函数，那么你会怎样表述这些函数？
一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域是R,值域也是R,对应关系 f 把R中的任意一个数x，对应到R中唯一确定的数ax+b．
s=vt
m=ρV
l=2πr
课本例题
课本例题
实际问题
函数模型
抽象
还原
1. 一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h (单位: m)与时间t (单位: s)的关系为
h=130t-5t2. ①
求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.
解：定义域为A={t | 0≤t≤26}，
值域为B={h | 0≤h≤845}.
对应关系h=130t- 5t2把集合A中的任意一个数t，对应到集合B中唯一确定的数 130t- 5t2.
课本练习
2. 2016年11月2日8时至次日8时(次日的时间前加0表示)北京的温度走势如图所示.
(1)求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；
(2) 根据图象，求这一天12时所对应的温度.
解：(1) 如果记2016年11月2日8时为0，依次下去，11月3日8时为24，那么函数的定义域为A={t| 0≤t≤24}，值域为B={S | 2≤S≤12}.
(2) 9.33 ℃ .
课本练习
3. 集合A，B与对应关系f如下图所示:f : A→B是否为从集合A到集合B的函数
如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么
解：f: A→B是从集合A到集合B的函数，
定义域为A={1, 2, 3, 4, 5}；
值域为B={2, 3, 4, 5}；
对应关系f为问题中的Venn图.
课本练习
4. 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式 来描述.
解：设边长为y的正方形面积为x，正方形周长不超过100，
那么y是x的函数，定义域是A={x|0对应关系 f 为 ，它使长方形的面积x与它的边长 相对应.
总结归纳
判断一个对应关系是否为函数的方法
判断两个函数为同一函数应注意三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数．
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
总结归纳
1.函数概念：设A，B为非空实数集，如果对于A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在B中都有唯一确定的数y和它对应，则称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，
记作：y＝f(x)，x∈A．
①“f (x)”可以表示函数值，也可以表示函数.
f (3)=1
f (x)=x+1
② 函数的三要素：定义域，对应关系，值域.
若两个函数的_______________________相同，则它们为同一个函数.
定义域，对应关系，值域
【引例】已知 f(x)=x2+1, x∈[2,+∞)，则值域必为________
已知 g(t)=t2+1, x∈[2,+∞)，则值域必为________
[5,+∞)
[5,+∞)
③值域由定义域、对应关系唯一确定.
课堂小结
(1)对数集的要求：集合A，B为非空数集；
(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性；
（允许一对一或者多对一，不能一对多）
(3)符号“f ”：它表示对应关系，在不同的函数中f 的具体含义不一样；
(4)一个区别：f (x)是一个符号，不表示f 与x的乘积，
而f (a)表示函数f (x)当自变量x取a时的一个函数值；
(5)函数三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，三者缺一不可．
对函数概念的五点说明：
课堂小结

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