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3.2.2 奇偶性
第 3章 函数的概念与性质
人教A版2019必修第一册
03判断函数奇偶性
目录
01. 偶函数的概念和性质
02. 奇函数的概念和性质
04奇偶性的性质与应用
学习目标
1、理解函数的奇偶性及其几何意义，培养数学抽象的核心素养；
2、学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，提升直观想象的核心素养；
3、学会判断函数的奇偶性，强化逻辑推理的核心素养；
4. 在具体问题情境中，运用数形结合思想，
利用奇偶性解决函数性质的总个问题，提升数学运算的核心素养。
生活中的对称
情景引入
1. 偶函数的概念和性质
在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数 和 的图象
并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。
x
y
o
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
-1
-2
-3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=x2 … …
9 4 1 0 1 4 9
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=|x| … …
-1 0 1 2 1 0 -1
x
y
o
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
-1
-2
-3
图象关于y轴对称
f(-1)
f(1)
f(-2)
f(2)
f(-3)
f(3)
=
=
=
-x
x
(x.f(x))
(-x,f(-x))
f(-x)
f(x)
=
任意一点
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：
可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)相等.
9 4 1 0 1 4 9
-1 0 1 2 1 0 -1
观类比函数的单调性,你能用符号语言精确描述“函数图像关于y轴对称”的这种特征吗？（自变量与函数值之间的变化关系？）
函数f(x)=x2, x∈[-2,2]是偶函数吗？
函数g(x)=x2, x∈[-1,2]是偶函数吗？
是偶函数
不是 偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，
且f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
偶函数 f(x)
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，
且f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
x∈I，f(－x)=f(x)
图像关于y轴对称
代数特征
几何特征
x∈I，都有－x∈I
定义域I关于原点对称
-a
a
O
O
-a
a
O
a
-a
b
-b
2. 奇函数的概念和性质
观察函数 和 的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？
图象关于原点对称
这两个函数的图像都关于原点成中心对称.
为了用数学符号语言描述这一特征，不妨取自变量的一些特殊值，
观察相应函数值的情况，如下表：
可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数.
-3 -2 -1 0 1 2 3
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
x∈I，f(－x)= －f(x)
奇函数 f(x)
图像关于原点对称
代数特征
几何特征
x∈I，都有－x∈I
定义域I关于原点对称
函数f(x)=x, x∈[-2,2]是奇函数吗？
是奇函数
函数g(x)=x, x∈[-1,3]是奇函数吗？
不是 奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
1.根据函数的图象判断函数奇偶性：
偶函数 图象关于y轴对称
奇函数 图象关于原点对称
2.根据定义判断函数的奇偶性：
（1）先求定义域，看是否关于原点对称；
（2）再判断f (-x)=-f (x)或f (-x)=f (x)是否恒成立；
（3）根据定义下结论．
如何判断函数的奇偶性？
3. 判断函数奇偶性
解：
判断下列函数的奇偶性：
（1）函数 的定义域为R.
所以，函数 为偶函数.
（2）函数 的定义域为R.
所以，函数 为奇函数.
（3）函数 的定义域为
所以，函数 为奇函数.
（4）函数 的定义域为
所以，函数 为偶函数.
奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性，应先明确它的定义域.
典例1
4.奇偶性的性质与应用
【探究】（1）如何判断函数 的奇偶性？
【解】(1)利用函数奇偶性定义来判断，函数
的定义域为R，且有
所以此
函数是奇函数.
（2）已知函数 图像的一部分，如何画出剩余部分？
(2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数 在
y轴左侧对的图像，将y轴右侧的图像沿着原点旋转180°即可，画出的
图像如图所示.
【拓展】
（1）奇偶函数的单调性：
①奇函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.如果
奇函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-b,-a]上就
是单调增函数.
②偶函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相反的.如果
偶函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-b,-a]上就
是单调减函数.
【拓展】（2）奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性：
设 ， 的定义域分别是A和B，在公共定义域上有：
【注】上表中不考虑 和 的情况；
中需 ， .
偶
偶
偶
偶
奇
奇
奇
奇
偶
奇
偶
奇
偶
奇
偶
奇
偶
偶
偶
奇
【1】已知 是偶函数， 是奇函数，将下面的图像补充完整.
【解】根据奇偶函数的对称性，分别将偶函数沿着y轴作对称；
把奇函数沿着原点作中心对称，答案见图上.
课本练习
1. 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.
2. 判断下列函数的奇偶性.
解：
为偶函数.
常用结论：函数解析式为多项式时，奇偶性与奇次项和偶次项的系数有关.
如， ，若 为奇函数，则a=c=e=0，若 为偶函数，则b=d=0
为偶函数.
练习
3. （1）从偶函数的定义出发，证明函数 y=f(x) 是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
（2）从奇函数的定义出发，证明函数 y=f(x) 是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.
解：
（1）充分性：若 y=f(x) 的图象关于y轴对称，设 为图象上任意一点，则M关于y轴的对称点 仍在该图象上，即 ，所以 y=f(x)为偶函数；
必要性：若 y=f(x) 为偶函数，设 为 f（x）图象上任意一点，M关于y轴的对称点为 . 由于 f（x）为偶函数，所以 所以 在函数的图象上，所以 f（x）的图象关于 y 轴对称.
练习
3. （1）从偶函数的定义出发，证明函数 y=f(x) 是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
（2）从奇函数的定义出发，证明函数 y=f(x) 是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.
解：
（2）充分性：若 y=f(x) 的图象关于原点对称，设 为图象上任意一点，则M关于原点的对称点 仍在该图象上，即
，所以 y=f(x)为奇函数；
必要性：若 y=f(x) 为奇函数，设 为 f（x）图象上任意一点，则M关于原点的对称点为 ，由于 f（x）为奇函数，所以
，所以 在函数 y=f(x) 的图象上，所以 f（x）的图象关于原点对称.
随堂检测
B
C
C
0
0
总结：函数的奇偶性是函数的整体性质，体现图象的对称性
偶函数 奇函数
定义 一般地,设函数f(x)有的定义域为I,如果x∈I,都有-x∈I,即定义域关于原点对称
f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数
函数的定义域关于原点对称，是这个函数具有奇偶性的前提条件.
几何
特征 偶函数的图象关于y轴对称，即如果点(x,y)在函数的图象上，那么点(-x, y)也在函数的图像上. 奇函数的图象关于原点对称,即如果点(x,y)在函数的图象上,那么点(-x, -y)也在函数的图像上.
变形
与单调性关系 偶函数在两个关于原点对称的区间上的单调性相反. 奇函数在关于两个原点对称的区间上的单调性相同.
拓展 偶函数对于定义域内的任意x值，都有
f(x)=f(|x|) 奇函数如果在x=0处有定义，则图象必过原点，即f(0)=0.

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