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人教A版2019必修第一册
第 4章 指数函数与对数函数
4.3.2 对数的运算
学习目标
1.理解对数的运算性质．(重点)
能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)
3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)
情境导入
1619年,伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）.
对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响,正如科学家伽利略（1564-1642）说：“给我时间,空间和对数,我可以创造出一个宇宙”.又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍”.
最早传入我国的对数著作是《比例与对数》,它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的.当时在lg2=0.3010中,2叫“真数”,0.3010叫做“假数”,真数与假数对列成表,故称对数表.后来改用 “假数”为“对数”.
我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种的求对数的捷法,著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等.1854年,英国的数学家艾约瑟（1825-1905） 看到这些著作后,大为叹服.
【想一想】
已知lg2=0.3010，你会求lg5的值吗？
在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？
我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？
1.对数的运算性质
探究一：
化为对数式，
它们之间有何关系？
结合指数的运算性质能否将
化为对数式？
将指数式
试一试:由
得：
由
得
从而得出
探究二：结合前面的推导，由指数式
又能得到什么样的结论？
试一试:由
得
又能得到什么样的结论？
试一试:由
得
探究三：结合前面的推导，由指数式
例3.求下列各式的值:
1. 对数的运算性质
典例
探究四：结合对数的定义，你能推导出对数的换底公式吗
(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; b>0)
数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只有通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数。现在，利用计算器，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数。这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数。
2. 对数的换底公式
由此可得，大约经过7年，B地景区的
游客人次就达到2001年的2倍，类似地，
可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，
…所需要的年数。
2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，
它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川
发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？
例5.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震M之间的关系为
解:设里氏9.0级和里氏8.0级地震的能量分别为E1和E2
设里利用计算工具可得，
虽然里氏9.0级和里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出的能量却是后者的约32倍。
lgx＋lgy＋lgz.
lgx＋lgy2-lgz
=lgx＋2lgy-lgz.
课本练习
解:
思考：你还能写出别的解法吗？
题型一：对数运算性质的应用
题型分类讲解
题型二：换底公式
对数式化简与求值的基本原则和方法：
基本原则：正用或逆用公式，对真数进行处理，一般本着便于真数化简的原则进行
常用方法：
(1)“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数;
(2)“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）.
利用换底公式进行化简的原则和技巧：
原则：化异底为同底技巧：
(1)先进行部分运算，最后再换成同底;
(2)借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值；
(3)利用对数恒等式或常用结论，有时可熟记一些常用结论.
题型三：对数运算的综合应用
随堂检查
1.说说两个同底的对数相加，相差，相除怎么计算？
2.什么是对数的换底公式，其常用的推论有哪一些？
3.由例3知，地震的震级相差不大，但它们释放的能量却相关很大，你能从对数式和指数式的关系进行解释吗？
课堂小结

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