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人教A版2019必修第一册
4.4.1 对数函数的概念
第 4章 指数函数与对数函数
学习目标
1.理解对数函数的概念，
2.会求对数函数的定义域．(重点、难点)
情境导入
【想一想】
同学们知道专家是怎样依据“龙骨”化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？
对中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有1亿至8 000万年历史的黄河巨龙的肋骨.经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”.
在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题 . 对这样的问题 , 在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究.
思考？ 在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡的时间x的变化而衰减的规律 . 反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长的时间呢？进一步，死亡时间x是碳14含量y的函数吗？
根据指数与对数的关系，
如图，过y轴正半轴上任意一点(0，y0) (0< y0 ≤1)作x轴的平行线，与函数
的图象有且只有一个交点(x0 ， y0) .
这说明，对于任意一个y∈(0 , 1]，通过对应关系
在[0，+∞)上都有唯一确定的数x和它对应，所以x也是y的函数. 也就是说，函数
刻画了时间x随碳14含量y的衰减而变化的规律.
同样地，根据指数与对数的关系，由
y=ax(a>0且a≠1)
可以得到
x=loga y(a>0且a≠1)，
x也是y的函数. 通常，我们用x表示自变量，y表示函数.
为此，将x=loga y(a>0且a≠1)中的字母x和y对调，写成
y=loga x (a>0且a≠1).
定义：一般地,形如 的函数
叫做对数函数，其中x是自变量，
函数的定义域是 。
①底数a为大于0且不等于1的常数．
②自变量x在真数的位置上，且x的系数是1.
③logax系数是1.
1. 对数函数的定义域
例2 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x，
(1)该地的物价经过几年后会翻一番？
(2)填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.
物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数y 0
解: (1)由题意可知，经过y年后物价x为
x= (1+5%)y,
即 x= 1.05y (y∈[0，+∞)) .
由指数与对数的关系，可得
y= log1.05x (x∈[1，+∞)) .
当 x= 2时, y ≈ 14 .
所以，该地区的物价经过14年后会翻一番 .
2. 对数函数的实际应用
(2)根据函数 y= log1.05x (x∈[1，+∞)) ，利用计算工具，可以得下表：
物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数y 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47
例2 (2)填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.
物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数y 0
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长, 但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小.
课本练习
题型一：对数函数的概念
答案：B.
题型分类讲解
题型二：对数型函数的定义域


求对数型函数定义域的原则：
(1)分母不能为0；
(2)根指数为偶数时，被开方数非负；
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1；
(4)若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形.
题型三：对数函数的实际应用
随堂检测

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