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人教A版2019必修第一册
4.4.2 对数函数的图象和性质
第 4章 指数函数与对数函数
学习目标
1.通过具体对数函数图象，掌握对数函数的图象和性质
特征，并能解决问题。
2.知道同底的对数函数与指数函数互为反函数。
情境导入
历史上纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣。伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827）曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.
【想一想】
我们能用研究指数函数的方法研究对数函数的图象和性质吗？
与研究指数函数一样，我们首先画出其图像，然后借助图像研究其性质．请完成下列表格，并用描图法画出y = log2x的图像．
x y = log2x
0.5
1
2
4
6
8
16
-1
0
1
2
2.6
3
4
我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数， 比如 和 ，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？
x
y
o
1
完成下列表格，对比两个函数的取值列表，并用描图法画出y = log0.5x的图像，能否看出两个函数的图象有什么关系？
x y = log2x y = log0.5x
0.5 -1
1 0
2 1
4 2
6 2.6
8 3
16 4
1
0
-1
-2
-2.6
-3
-4
两个图象关于x轴对称
选取底数a (a>0，且a≠1) 的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数y=logax ，(a>0，且a≠1) 的值域和性质吗？
选取底数a (a>0,且a≠1) 的若干个不同的值，发现对数函数y = logax ,(a>0,且a≠1) 的图象按底数a的取值，可分为01两种类型，因此，对数函数的性质可以分为01两种情况进行研究．
例1：比较下列各组中，两个值的大小：
（1） log23.4与 log28.5 ；
∴ log23.4< log28.5
解（1）:用对数函数的单调性
考察函数y=log 2 x ,
∵a=2 > 1,
∴函数在区间（0，+∞）上是增函数；
∵3.4<8.5
1.比较对数值的大小
例1：比较下列各组中，两个值的大小：
（2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
解（2）：考察函数y=log 0.3 x ,
∵a=0.3< 1,
∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；
∵1.8<2.7
∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
例1：比较下列各组中，两个值的大小：
（3） log a 5.1与 log a 5.9 （a＞０，且a≠１）
解（3）：考察函数log a 5.1与 log a 5.9 可看作函数y=log a x的
两个函值 , 对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论
当a > 1时, 因为y=log a x是增函数，
且5.1 <5.9，所以log a 5.1 < log a 5.9 ；
当0< a < 1时, 因为y=log a x是减函数，
且5.1 <5.9，所以log a 5.1 > log a 5.9 ；
2.对数函数图像和性质应用
～
因此，函数 y = logax (a＞0,且a≠1)与指数函数y = ax互为反函数。
已知函数 y=2x （x∈R ，y ∈（0，+∞）） 可得到x=log2y ，对于任意一个y∈（0，+∞），通过式子x=log2y ，x在R中都有唯一确定的值和它对应。也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说x=log2y （y∈（0，+∞））是函数 y=2x （ x∈R） 的反函数。
但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数。为此我们常常对调函数x=log2y 中的字母x，y，把它写成y=log2x ,这样，对数函数y=log2x （ x∈（0，+∞） ）是指数函数y=2x （x∈R ）的反函数。
3.反函数
从图象中你能发现函数y=2x 与 y=log2x的图象间有什么关系？
两个函数的图象
关于直线y=x对称.
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
y=x
y=log2x
y=2x
A
A1
B
B1
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
y=x
log
1
3
指数函数y＝ax的反函数是对数函数y＝logax.
∵对数函数y＝logax的图象过点(9,2)．
∴2＝loga9，解得a＝3.
4.对数不等式
课本练习
题型一：对数函数的图象问题
题型分类讲解
题型二：比较对数值的大小
【例2】比较下列各组数的大小.
比较对数值大小的策略：
1.同底时，根据单调性比较两真数的大小；
2.同底但底数是字母时，需对字母进行分类讨论，再根据单调性比较两真数的大小；
3.同真数但不同底时，可利用“底大图低”的口诀来直接判断大小；
4.不同底且不同真时，常借助中间值，如-1,0,1等进行比较.
题型三：解对数不等式














随堂检测
课堂小结：
(1)对数函数的图象性质；
(2)比较对数式大小的类型及处理方法.

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