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人教A版2019必修第一册
4.5.1 函数零点与方程的解
第 4章 指数函数与对数函数
学习目标
1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)
2．会求函数的零点．(重点)
3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．(难点)
利用函数解析式 怎样求这一枚炮弹在哪一时刻落地？
情景导入
本节将先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法 (二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法.
思考： 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程的根就是相应二次函数的零点. 像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程 , 是否能采用类似的方法, 用相应的函数研究它的解的情况呢？
在“函数的应用 (一)”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程, 学习了用函数描述客观事物变化规律的方法.
判别式
=b2-4ac >0 0 <0
二次函数y=ax2+bx+c
的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0
的根
二次函数y=ax2+bx+c
的图象与x轴的交点
有两个不等的
实数根x1,x2
有两个相等实数根x1=x2
没有实数根
x
y
x1
x2
x
y
x1=x2
x
y
(x1,0)，
(x2,0)
(x1,0)
没有交点
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.
结论：一元二次方程的根与相应的二次函数图象的关系是
推广到一般情形:
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
方程f(x)=0有实根
若一元二次方程有实数根,它的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标;
若一元二次方程没有实数根,则相应二次函数的图象与x轴没有交点.
x0
(x0,0)
像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？
与二次函数的零点一样，对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x) =0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
这样，函数y=f(x)零点就是方程f(x) =0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标 . 所以
由此可知，求方程f(x)=0的实数解，就是确定函数y=f(x)的零点
方程f(x)=0有实数解
函数y=f(x)的图象与x轴有公共点
函数y=f(x)有零点
一、函数零点的定义：
一般地，对于不能用公式求解的方程 f(x)=0，我们可以把它与相应函数y=f(x) 联系起来，利用函数的图像和性质找出零点, 从而得到方程的解.
下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征，以及零点附近函数值的变化规律入手.
探究：对于二次函数f(x)=x2-2x-3，观察它的图象，发现它在区间[2，4]上有零点 .
1
2
3
4
1
2
3
4
5
x
y
O
-1
-2
-1
-4
-3
-2
这时，函数图象与x轴有什么关系？在区间[-2，0]上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数 f(x) 的取值规律来刻画这种关系？
可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且穿过x轴.
1
2
3
4
1
2
3
4
5
x
y
O
-1
-2
-1
-4
-3
-2
函数在端点x=2和x=4的取值异号，即f(2)f(4)<0。
函数f(x)=x2─2x─3在区间(2，4)内有零点x=3，它是方程x2─2x─3 =0的一个根.
同样地，f(-2)f(0)<0.
函数f(x)=x2─ 2x ─3在区间(-2，0)内有零点x= -1，它是方程x2─2x─3 =0的另一个根.
x
y
O
a
b
c
d
思考：观察图象填空，在怎样的条件下，函数
在区间 上存在零点？
<
①在区间(a, b)上, f(a)·f(b)____0
在区间(a ,b)上，有零点；
<
在区间(b,c)上，有零点；
同理在区间(c, d)上，有零点；
②在区间(b, c)上, f(b)·f(c) ___0
例1.求方程lnx+2x－6=0实数解的个数
解：
设函数f(x)=lnx+2x－6，则 f(x)的定义域为(0,+∞)
列表，并作出f(x)的图象
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
f(2)<0, f(3)>0，
即 f(2) f(3)<0.
由函数零点存在定理，
f(x)在(2,3)内至少有一个零点.
又∵ f(x)=lnx+2x－6是增函数,
∴ f(x)是只有一个零点,
方程lnx+2x－6=0有1个实数解.
由表和图象得
f(x)=lnx+2x－6
思考1：以上解法中，列表和作图都借助了工具。事实上，本题还可以先判定函数是增函数，再让x在定义域内取值，由f(x)的符号来得出零点的个数。
除此之外，你还有别的解法吗？
例1.求方程lnx+2x－6=0实数解的个数
另解：
由lnx+2x－6=0得
lnx =-2x+6
设f(x)=lnx, g(x)=-2x+6.
作出函数 f(x)和 g(x)的图象，如右.
由图知，
函数f(x)和 g(x)的图象只有一个公共点P(x0, y0)，其中x0∈(2,3)
∴方程lnx =-2x+6只有一个解,
即lnx+2x－6=0有1个实数解.
f(x)=lnx
g(x)=-2x+6
减函数
增函数
思考2：如何判定函数y=f(x)零点(或方程f(x)=0的解)的个数？
思路1.解方程法：
思路2.性质法：
一是直接解方程f(x)=0或判断方程解的个数;
根据函数f(x)的性质和零点存在定理进行判断
二是利用函数图象. 由函数f(x)=0得g(x)=h(x)，再分别作出g(x)和h(x)的图象，则两图象的交点个数得出结论
例2. 判断函数 f(x)=4-3x+log2 x有多少个零点？
解：
思考1：若不借助计算工具和软件，函数 f(x)=4-3x+log2 x图象容易作出吗？
若不易作出，有哪一些思路？
思路2：转化判断方程4-3x+log2 x=0根的个数.
思路1：在定义域内，让x取一些值，由f(x)的正负来判断；
另解：
由 f(x)=4-3x+log2 x=0得
log2 x=3x -4
设f(x)=log2 x, g(x)=3x -4
作出f(x)和g(x)的图象
由图可得
函数f(x)和g(x)的图象有两个公共点。
∴方程4-3x+log2 x=0有两个实数解，即
f(x)=4-3x+log2 x有2个零点。
g(x)=3x -4
f(x)= log2 x
例2. 判断函数 f(x)=4-3x+log2 x有多少个零点？
思考2：这种解法好不好，为什么？若 f(x)=4+3x+log2 x呢？
不好。
一是事先并不知道各个零点所在的大致区间，二是x取哪一些值不好把握。
但若如例2中，函数是增函数或减函数，则这种方法则比较方便。
思考3：你能用例2的方法来判断方程4-3x+log2 x=0根的个数吗？
增函数
增函数
解：
1.下列三图分别是同一个函数在不同范围的图象，你能仅根据其中的某一图象，得出函数在某一个区间上只有一个零点的判断？为什么？
不能。
因为当自变量在不同的范围内取值时，图象呈现的细节有可能不相同。
在本题中，当x∈(-200,200),x∈(-20,20),x∈(-2,2)时，看到的零点个数是不同的。所以确定函数的零点往往需要函数的了解函数的性质，并借助相关的定理
课本练习
题型一：求函数的零点
题型分类讲解
题型二：判断零点所在的区间
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
6 -4 -6 -6 -4 6
题型三：零点个数
课堂小结

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