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人教A版2019必修第一册
4.5.2 二分法求方程的近似解
第 4章 指数函数与对数函数
学习目标
1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点)
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点)
3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点)
情境导入
【想一想】
你知道工人师傅是如何做到的吗？
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子.可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了.
如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次若发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD中点E来查.
每查一次，可以把待查的线段缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，只要7次就够了.
（1）上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？
提示:通过不断地把需要检测的范围一分为二进行检查.
（2）工人师傅选择下次在哪个范围内爬电线杆子的关键是什么？
（3）如果把故障可能发生的范围缩小在200 m左右，至多需要爬几次电线杆子？
【思考】
提示:确定故障所在的范围，来确定爬哪根电线杆子.
提示:6次.
1.说说什么是函数的零点？它与对应方程的解有何关系？
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
方程f(x)=0
的实数解
函数y=f(x)的零点
函数y=f(x)与轴公共点的横坐标
同有无，值相等，个相同。
前面，我们学习了函数零点的基本知识，请大家思考一下：
2.什么是函数零点存在定理？其作用是什么？
一般地，如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么
函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点.
函数零点存在定理可以用来判定函数 y=f(x)零点 (即方程 f(x)=0的解)的存在性及零点所存在的大致区间。
事实上，这个定理还可以进一步解决我们前面提到的问题：求方程的f(x)=0的近似解。接下来我们就来学习这方面的知识。
a
b
我们已经知道，函数 f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内存在一个零点, 进一步问题是，我们如何求出这个零点？
一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值。
为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.
用二分法求方程lnx+2x-6=0在区间(2, 3)内的近似解(精确度0.1)
f(2)=-1.3069<0, f(3)=1.09806>0, f(2)f(3)<0,
算得f(2.5)=-0.084<0, f (2.5)f(3)<0,
解:设f(x)= lnx+2x-6 , 原方程的近似解为x0
所以x0 ∈(2, 3)；
取区间(2,3)的中点x1=2.5,
所以x0∈(2.5, 3)；
取区间(2.5, 3)的中点x1=2.75,
从而x0 ∈ (2.5, 2.75)．
算得f(2.75)=0.512>0, f(2.5)f(2.75)<0,
由于(2 , 3)
(2.5 , 3)
(2.5 , 2.75)
所以零点的范围变小了. 如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小.
根据下表计算函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内精确度为0.01的零点近似值？
区间（a，b） 中点值c f(c)的值 精确度|a-b|
（2，3） 2.5 -0.084 1
（2.5，3） 2.75 0.512 0.5
（2.5，2.75） 2.625 0.215 0.25
（2.5，2.625） 2.562 5 0.066 0.125
（2.5，2.562 5） 2.531 25 -0.009 0.0625
（2.531 25，2.562 5） 2.546 875 0.029 0.03125
（2.531 25，2.546 875） 2.539 062 5 0.01 0.015625
（2.531 25，2.539 062 5） 2.535 156 25 0.001 0.007813
因为|2.5390625-2.53125|=0.007813<0.01, 所以 x= 2.53125(或2.5390625) 为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值。
二分法的概念
对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a) f(b)<0 的函数 y=f(x), 通过不断地把函数 y=f (x) 的零点所在的区间一分为二 , 使区间的两个端点逐步逼近零点 , 进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).
函数零点存在定理。
因此，二分法只适用于求函数的变号零点(图象在零点处穿过x轴，即两侧函数值异号的零点)，对于函数的不变号零点则不适用，如函数f(x)=(x-1)2的零点。
思考(1): 二分法的理论依据是什么？
思考(2): 你能说说求y=f(x)零点x0的主要步骤吗？在这样的过程中要注意什么问题？
二分法求函数零点的步骤
1.确定x0所在的初始区间[a,b], 验证 f(a)·f(b)<0.
2.求区间(a,b)的中点c.
3.计算 f(c):
(1) 若 f(c)=0 , 则c就是函数的零点,即x0=c;
(2) 若 f(a) f(c)<0 (此时零点x0∈(a,c)), 则令b= c;
(3) 若 f(a) f(c)>0 (此时零点x0∈(c,b)), 则令a= c.
4.判断是否达到精确度ε , 即若|a-b|<ε , 则得到零点的近似值a(或b)；否则重复2～4.
思考(3): 想一想，且二分法求y=f(x)零点要注意哪些问题？
(1)注意题目要求的精确度，它决定着二分法何时结束；
(2)初始区间的一般选在在两个整数间，且尽可能小一些；
(3)在第四步中，一般由|a－b|<ε取零点近似值为a或b.
注意：
例2 借助计算器或计算机用二分法求方程2x +3x=7 的近似解(精确度为0.1).
解: 原方程即2x +3x –7=0，
10
8
6
4
2
-2
-4
5
1
2
3
4
6
x
y
O
f(x)=2x+3x－7
令f(x)= 2x +3x –7 ,
用信息技术列出函数的对应值表并作图.
观察右图和表格, 可知f(1)·f(2)<0,
f(x)在区间间(1, 2)内有零点x0.
x f(x)
0 -6
1 -2
2 3
3 10
4 21
5 40
6 75
7 142
例2 用二分法求方程2x +3x=7 的近似解(精确度为0.1).
解:原方程即2x +3x –7=0，令f(x)= 2x +3x –7 ．
所以原方程的近似解可取为1.4375.
观察上图和表格, f(1)= -2 , 可知f(1)·f(2)<0,
说明在区间(1, 2)内有零点x0.
取区间(1, 2)的中点x1=1.5,
用计算器可得f(1.5)≈0.33.
所以x0∈(1, 1.5),
再取(1, 1.5)的中点x2=1.25,
用计算器求得f(1.25)≈-0.87,
所以x0∈(1.25, 1.5),
同理可得x0∈(1.375, 1.5),
x0∈(1.375, 1.4375),
由|1.375-1.4375|=0.0625<0.1,
因为f(1)·f(1.5)<0,
因此f(1.25)·f(1.5)<0,
定义 f(x)
输入ε，a，b
f(a)f(c)<0
b=c
|a-b|< ε
输出解x=a
f(c)=0
a=c
a=c
由例2可见，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复步骤.
因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算.
右图就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图.
1. 借助计算器或计算机，用二分法求函f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点(精确度0.1).
解：由题设可知f(0)=-1.4＜0，f(1)=1.6＞0，于是f(0)·f(1)＜0，
所以，函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点.
课本练习
下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.
取区间(0，1)的中点x1=0.5，用计算器可算得f(0.5)=-0.55.
因为f(0.5)·f(1)＜0，所以x0∈(0.5，1).
再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75，用计算器可算得f(0.75)≈0.32.
因为f(0.5)·f(0.75)＜0，所以x0∈(0.5，0.75).
同理可得x0∈(0.625，0.75)，x0∈(0.625，0.6875)，
x0∈(0.65625，0.6875)，由于|0.6875–0.65625|=0.3125＜0.1，所以原方程的近似解可取为0.65625.
2. 借助计算器或计算机，用二分法求方程x = 3 – lgx在区间(2，3)内的近似解(精确度0.1).
解：原方程即x+lgx-3 = 0，令f(x)=x+lgx-3，
用计算器可算得f(2)≈–0.70，f(3)≈0.48，
于是f(2)· f(3)＜0，
所以，这个方程在区间(2，3)内有一个解.
下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2，3)内的近似解.
取区间(2，3)的中点x1=2.5，用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.
因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x0 ∈(2.5，3).
再取区间(2.5，3)的中点x2 =2.75，用计算器可算得f(2.75)≈0.19.
因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以x0 ∈(2.5，2.75).
同理可得x0 ∈(2.5，2.625)，x0 ∈(2.5625，2.625).
由于|2.625–2.5625|=0.0625＜0.1，
所以原方程的近似解可取为2.5625.
答案：如果函数在某区间满足二分法，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，∴A错误.二分法的实施满足零点存在定理，在区间一定存在零点，∴B错误.只要限定了近似解的范围就可以得到方程的近似解，∴C错误.“二分法”求方程的近似解，甚至有可能得到函数的精确零点，∴D正确.故选D.
题型一：二分法的概念
题型分类讲解
题型二：用二分法求方程的近似解
0.5
0.75
0.625
0.6875
随堂检测
用二分法求解方程的近似解：
1、确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε
2、求区间(a,b)的中点x1
3、计算f(x1); (f(a)>0,f(b)<0)
(1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点
(2) 若f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1))
(3) 若f(x1)>0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b))
4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则得反复2～4
课堂小结
二分法求函数零点的要点
定区间，找中点，中值计算两边看；
零点落在异号间，区间长度缩一半；
周而复始怎么办 精确度上来判断 .

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