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人教A版2019必修第一册
4.5.3 函数模型的应用（第1课时）
第 4章 指数函数与对数函数
学习目标
1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)
2.能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)
3.了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)
4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力．(重点)
情境导入
【想一想】
五期后的本利和是多少？
爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%.
解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五年期的本利和.
（1）实际问题中两个变量之间一定是确定的函数关系吗？
提示: 两个变量之间可以有关系，但不一定是确定的函数关系.
（2）函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义就可以吗？
（3）用函数模型预测的结果和实际结果必须相等吗？
【思考】
提示:函数模型中定义域必须满足实际意义.
提示:拟合函数预测的结果近似的符合实际结果即可.
【问题】 解决上述问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五年期的本利和.
我们知道 ， 函数是描述客观世界变化规律的数学模型 ， 不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画 . 面临一个实际问题 ， 该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
1．常见函数模型
常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数
3.利用函数解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(1)审题；(2)建模；
(3)求模；(4)还原．
步骤用框图表示为：
例3、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，
可以为制定一系列相关政策提供依据．早在 1978 年，英国经济学家马尔萨
斯(T.R.Malthas，1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型y=y0ert，
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．
下表是1950～1959年我国的人口数据资料
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 (精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
(2)如果按上表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？
事实上 ， 我国 1989年的人口数为 11.27亿 ， 直到 2005年才突破13 亿 ．
对由函数模型所得的结果与实际情况不符 ， 你有何看法 ？
因为人口基数较大 ， 人口增长过快 ， 与我国经济发展水平产生了较大矛盾 ， 所以我国从 ２０ 世纪 ７０ 年代逐步实施了计划生育政策 ． 因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件 ， 自然就出现了依模型得到的结果
与实际不符的情况 ．
例4、2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2％，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的
分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数y=kax(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)建立数学模型．
解：设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p(0y=k(1-p)x(k∈R,且k≠0;0由碳14的半衰期为5730年，得
于是 ，所以　
由样本中碳14 的残余量约为初始量的55.2％可知 ，即　　　　　　
解得 ．由计算工具得x≈4912．
因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的．
归纳总结
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有
参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中
的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变
量的值.
所以，按照1650年人口的年增长率0.3%，232年后（即1882年）世界人口是1650年的2倍,达到10亿
（1）解：按1650年人口的年增长率0.3%建立人口增长模型得
由计算工具得
将 代入上述模型得
1.已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%．
（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？
（２）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
课本练习
所以，按照1970年人口的年增长率2.1%，34年后（即2004年）世界人口是
1970年的2倍，达到72亿
(1）解：按1970年人口的年增长率2.1%建立人口增长模型得
将 代入上述模型得
由计算工具得
(2)马尔萨斯人口模型是用来刻画自然状态下的人口增长模型，其中的参数r表示人口的年平均增长率.
1.已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%．
（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？
（２）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
这两段时期都存在人口非自然增长的状况，且计算选择的增长率都不是 这两段时期的平均增长率，所以所得出的两个结果与实际存在差异.
2.在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿1只野兔大约需要多少年？
分析：由于快速繁殖的野兔的倍增期为21个月，则可选择指数函数模型刻画该地在这段时间内野兔的增长规律.
解：设野兔的初始量为1万只
经过x个月野兔增长到y万只,增长率为P(P＞1）
则有
由倍增期为21个月，得
得
所以
由题知：
将 代入
即
由计算工具得 （月） （年）
所以,1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要24年.
3.1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出 碳14的残余量约为初始量的62.76%，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？
随堂检测
5.为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2017年在其扶贫基地投入100万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上每年投入的资金比上一年增长10%.
(1)写出第x年(2018年为第一年)该企业投入的资金数y(单位:万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域;
(2)该企业从第几年开始(2018年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元
(参考数据lg 0.11≈-0.959,lg 1.1≈0.041,lg 11≈1.041,lg 2≈0.301)
解:(1)第一年投入的资金数为100(1+10%)万元,
第二年投入的资金数为100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2万元,
第x年(2018年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式为y=100(1+10%)x万元,
其定义域为{x∈N*|x≤10}.
即企业从第8年开始(2018年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元.
2.解决函数模型应用问题的基本步骤：
课堂小结
提出问题
建立模型
检验模型
抽象概括
求解模型
还原说明
推理
演算
1.两种模型
马尔萨斯人口增长模型和碳14年代推测模型

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