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人教A版2019必修第一册
4.5.3 函数模型的应用（第2课时）
第 4章 指数函数与对数函数
学习目标
1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)
2.能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)
3.了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)
4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力．(重点)
在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决.
实际问题
函数模型
实际问题的解
函数模
型的解
化 归
推理运算
解释说明
用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：
例5 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．
投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多，投资周期合理
(1)比较三种方案每天回报量
(2)比较三种方案一段时间内的总回报量
哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。
解：设第x天所得回报是y元，则
方案一：
方案二：
方案三：
三种方案每天回报表
x/天 方案1 方案2 方案3
y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元
1 40 　 10 　 0.4 　
2 40 0 20 10 0.8 0.4
3 40 0 30 10 1.6 0.8
4 40 0 40 10 3.2 1.6
5 40 0 50 10 6.4 3.2
6 40 0 60 10 12.8 6.4
7 40 0 70 10 25.6 12.8
8 40 0 80 10 51.2 25.6
9 40 0 90 10 102.4 51.2
10 40 0 100 10 204.8 102.4
… … … … … … …
30 40 0 300 10 214748365 107374182.4
表格
y=40
y=10x
y=0.4×2x-1
再画出三个函数的图象：
函数图象是分析问题的好帮手，为了便于观察，用虚线连接离散的点.
y=40
y=10x
y=0.4×2x-1
由表和图象可知，方案一的函数是常函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.
可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.
从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.
方案 天数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8
因此，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.
上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异.
2.分析函数模型的方法：
从这个题我们知道了什么,我们学会了什么
解析法
列表法
图象法
1.不同函数模型
的增长特点：
保持不变 直线上升 指数爆炸
匀速递增
急剧增长
常数函数 一次函数 指数函数
没有增长
例6、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢
分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系.
由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润.
求函数解析式；接下来通过函数解析式画出函数图像进行分析。
200
400
600
800
1000
2
3
4
5
6
7
8
1
0
①对于模型y=0.25x, 它在区间[10,1000]上递增,当x>20时, y>5, 因此该模型不符合要求;
②对于模型y=1.002x, 它在区[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知, 当x>806时, y>5, 因此该模型不符合要求;
③对于模型y=log7x+1, 它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x=100时,y=log71000+1≈4.55<5, 所以它符合奖金总数不超过5万元的要求；
根据图像，分析实际应用
按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？


课本练习
解：由1月，2月，3月的患病人数知：
当 时，
当 时，
当 时，
代入甲选择的模型 得
代入乙选择的模型 得
当 时，
当 时，
当 时，
由 可得
当 时，
当 时，
当 时，
由 可得
4月，5月，6月份的患病人数分别是74,78,83可见，乙选择的模型更符合实际
2.由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模，某地的肉鸡产量在不断增加2008~2018 年的11年，上市的肉鸡数量如下;
同期该地的人口数如下:
(1)分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数;
(2)如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，那么2018年是否能满足市场的需求
(3)按上述两表的变化趋势，你对该地2018年后肉鸡市场的发展有何建议
由于上述两个图象基本上都是呈直线增长，所以可以选择两个一次函数
和 分别刻画肉鸡数量和人口数量的变化.
根据已知表格中的数据，可近似地得到 ，
.
解：（2）因为 , 即2017年和2018年每万人
平均可有肉鸡数量分别为81.45吨和81.90吨，而2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，2018年每万人平均可有肉鸡数量又大于2017年的，所以2018年能满足市场的需求.
解：（3）因为每万人平均拥有肉鸡数量的函数 是增函数，且当 时， ，
所以如果按已知两表的变化趋势，该地每万人平均可有肉鸡数量在逐渐缓慢增加，上市的肉鸡能满足本地的需求.考虑到随着生活水平的提高，对肉鸡的需求会有所增加，所以该地2018年后的肉鸡市场只需基本按照目前的趋势发展即可.
1.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为______个．
解析：当t＝0.5时，y＝2，所以2＝e0.5k，
所以k＝2ln 2，所以y＝e2tln 2，
当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
答案：1 024.
随堂检测
2.一张纸（厚度以0.1毫米计算），对折多少次之后的高度，可超过珠穆朗玛峰高度（8848米）呢？
解：设对折x次后，高度为y米。
y=0.0001× 2x
∵要超过珠穆朗玛峰的高度
∴y =0.0001× 2x﹥8848m
∴ x﹥26.4
取整之后x=27
∴这张纸对折27次之后的高度比珠穆朗玛峰还要高。
3.为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2020年在其扶贫基地投入100万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上每年投入的资金比上一年增长10%.
(1)写出第x年(2021年为第一年)该企业投入的资金数y(单位:万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域;
(2)该企业从第几年开始(2021年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元
(参考数据lg 0.11≈-0.959,lg 1.1≈0.041,lg 11≈1.041,lg 2≈0.301)
解(1)第一年投入的资金数为100(1+10%)万元,第二年投入的资金数为100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2万元,
第x年(2021年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式为y=100(1+10%)x万元,
其定义域为{x∈N*|x≤10}.
(2)由100(1+10%)x>200,可得1.1x>2,
即企业从第8年开始(2021年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元.
技巧：两边取对数
4.某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离,他在每个测试点投篮30次,得到投篮命中数量y(单位:个)与测试点投篮距离x(单位:米)的部分数据如下表:
x 3 5 6 8
y 25 29 28 20
为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系,现有以下三种y=f(x)函数模型供选择:①f(x)=ax3+b,②f(x)=-x2+ax+b,③f(x)=abx.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由,同时求出相应的函数解析式;
(2)在第(1)问的条件下,若函数f(x)在闭区间[0,m]上的最大值为29,最小值为4,求m的取值范围.
解(1)由表中数据可知,f(x)先单调递增后单调递减,
∵f(x)=ax3+b与f(x)=abx都是单调函数,∴不符合题意;
∵f(x)=-x2+ax+b先单调递增后单调递减,
∴符合题意.
(2)由(1)知f(x)=-x2+10x+4,故对称轴为x=5,
∴f(x)在(-∞,5]上单调递增,在(5,+∞)上单调递减，∵f(0)=4,f(5)=29,∴m≥5,又f(x)=-x2+10x+4=4时,x=0或10,∴m≤10.
综上所述,5≤m≤10,故m的取值范围是[5,10].
实际问题
函数模型
实际问题的解
函数模
型的解
化 归
推理
运算
解释说明
这一过程包括分析理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”)；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题，在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.
课堂小结

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