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24. 对于一个函数，如果存在实数，使得当函数的自变量为时，函数值也是，我们称该函数为智能函数，点为智能函数上的智能点．
（1）判断函数是否为智能函数；
（2）二次函数与轴交于，两点，且，若无论为何值，该函数都是智能函数，求的取值范围；
（3）在第（）问的前提下，若、为函数上的智能点，且、关于直线对称，求的最小值．
【答案】（1）函数为智能函数；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）根据题意，找出智能点即可求解；
（）把二次函数转化为一元二次方程根与系数之间的关系即可；
（）根据求函数的最值即可．
【小问1详解】
是智能函数，理由：
设智能点，
当时，，解得，
∴当函数的自变量为时，函数值也是，即智能点，
∴函数为智能函数；
【小问2详解】
令时，，
∵二次函数与轴交于，两点，
∴，，
∴，则有，
∴二次函数为，
∵恒有智能点，
∴方程有解，
即，恒成立，
设，
∴，
，
，
∵，无论为何值，该函数都是智能函数，
∴，
∵，
∴的取值范围为；
【小问3详解】
设方程的两个根为，，
整理得：
则，
∵、为函数上的智能点，
∴由题意可得、两点的直线为，
∵、关于直线对称，，
∴，且中点在该直线上，
∴设中点，代入可得：，
则，
令，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，
∴的最小值为．
【点睛】此题考查了二次函数和一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数和一元二次方程及其应用．
25题2025年上学期期末监测试卷
八 年 级 数 学
注意事项：
1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号；
2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;
5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6、本试卷共25个小题,考试时量120分钟，满分120分。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2. 如图，在平行四边形中，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
3. 点和都在直线上，则与的关系是（ ）
A. B. C. D.
4. 某校八年级进行了三次1000米跑步测试，甲、乙、丙、丁四名同学成绩的方差分别为，，，，那么这四名同学成绩最稳定的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 下列各组数中，能构成勾股数的是（　　）
A. 1，1， B. 1，，2 C. 6，8，10 D. 5，12，15
6．一元二次方程的一根是3，则另外一根是（ ）
A．3 B．1 C． D．
7．下列函数图象中，表示直线的是（ ）
A B. C. D.
8. 要得到函数图象，可以将函数的图象（ ）
A. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位
C. 向左平移1个平位，再向上平移3个单位
D. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位
9．如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点A，则不等式的解集为（ ）
A． B． C. D．
10. 已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（ ）
①；②； ③；④.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11 已知正比例函数图像经过二、四象限，则k______0．
12．学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小周同学的三项成绩依次是85分，90分，92分，则小周同学这学期的体育成绩是_________分．
13. 函数最小值是________.
14. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于_____cm．
15．如图，在矩形ABCD中，，，将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为_________．
16．上数学课时，老师给出一个函数，让同学们指出它的性质．甲说函数图象不经过第三象限；乙说函数图象经过第一象限；丙说时，y随x的增大而减少；丁说时，．已知这四位同学说的都正确，请你写出符合上述性质的一个函数解析式_________．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17．（6分）用合适的方法解下列一元二次方程．
（1）； （2）．
18. （6分）已知关于 二次函数的图象过点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求当时，的最大值与最小值．
19．（6分）如图，在平行四边形中，点A、C在对角线所在的直线上，且．求证：四边形是平行四边形．
20. （8分）为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了20名学生“新冠疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：
成绩/分 88 89 90 91 95 96 97 98 99
学生人数 2 1 3 2 1 3 2 1
数据表中有一个数因模糊不清用字母表示．
（1）试确定的值及测评成绩的中位数，_________，___________；
（2）记测评成绩为，学校规定：时，成绩为合格；时，成绩为良好；时，成绩为优秀.求扇形统计图中和的值，__________，__________；
（3）在（2）的条件下，若全校共800人，求全校良好及以上的学生人数．
21. （8分）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为．
（1）求n、k、b的值；
（2）求C点坐标；
（3）求四边形的面积．
22．（9分）如图，平行四边形ABCD中，，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：四边形BDEC是菱形；
（2）连接BE，若，，求BE的长．
23．（9分）某商店原来平均每天可销售某种水果100千克，每千克可盈利7元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．
（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；
（2）若要平均每天盈利400元，则每千克应降价多少元？
（3）每千克降价多少元时，每天的盈利最多？最多盈利多少元？
24. 对于一个函数，如果存在实数，使得当函数的自变量为时，函数值也是，我们称该函数为智能函数，点为智能函数上的智能点．
（1）判断函数是否为智能函数；
（2）二次函数与轴交于，两点，且，若无论为何值，该函数都是智能函数，求的取值范围；
（3）在第（）问的前提下，若、为函数上的智能点，且、关于直线对称，求的最小值．
25．（10分）如图，在直角坐标系中，直线交y轴，x轴于点A，B，点D在y轴正半轴上，以AB，AD为边作平行四边形ABCD，点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向移动，记点E运动时间为t秒．
（1）直接写出点A的坐标________，________；
（2）若，连接BD，F是BD的中点，连接EF并延长交直线BC于点H，
当四边形ABHE为平行四边形时，求t的值；
（3）若，点E在OD上，点M位于点E的正上方，且，当四边形EBCM的面积最大时，求DM的长．
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