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人教A版2019必修第一册
第 5章 三角函数
5.7三角函数的应用（第1课时）
学习目标
1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)
2.实际问题抽象为三角函数模型．(难点)
现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述.
你能举出生活中具有周期性现象的实例吗？
情景导入
生
活
中
自
然
界
中
问题1:某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y（单位：mm)之间的对应数据如下表所示。试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式。
t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0
t 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0
振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画.
根据已知数据作出散点图，如图所示．
观察散点图，位移y随时间t的变化规律确实可以用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画.
t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0
t 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0
思考 ：由数据表和散点图，你能说出振子振动时位移的最大值A，周期T，初始状态(t＝0)时的位移吗？根据这些值，你能求出函数的解析式吗？
A=20，T=60 s，初始状态的位移为-20 mm．
由T＝0.6 ，得
解得
再由初始状态(t=0)振子的位移为－20，
可得sinφ =－１,
A=20，T=60 s，初始状态的位移为-20 mm．
所以振子位移关于时间的函数解析式为
y=Asin(ωx+φ)
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin（ωx+φ ）,x∈[0，＋∞)表示，其中A＞０， ω ＞０．
这个解析式中的常数A，ω，φ分别表示简谐运动中的什么物理量呢？
简谐运动y=Asin（ωx+φ ）,x∈[0，＋∞)中
问题2:图(1)是某次实验测得的交变电流i(单位:A)随时间t(单位:s)变化的图象（频率为50HZ）。将测得的图象放大，得到图(2).
（1）求电流i随时间t变化的函数解析式；
（2）当 时，求电流i.
(1)
(2)
观察图象，交变电流i随时间t的变化满足怎样的函数模型？
根据图象，你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（t=0）时的电流吗？由这些值，你能进一步解决问题（1）、（2）吗？
(1)
(2)
解:(1)由交变电流的产生原理可知，电流 i 随时间 t 的变化规律可用i=Asin(ωt+φ)来刻画，其中 表示频率，A表示振幅，φ表示初相.
再由初始状态(t=0)的电流为4.33A，可得
sin φ=0.866，因此φ约为 .
所以电流随时间变化的函数解析式是
电流变化的周期为 s，频率为50Hz，即 ，解得ω=100π；
由图(2)可知，电流最大值为5A，因此A=5；
所以
1.某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：
（１）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
（２）写出这个简谐运动的函数解析式.
解：（1）从图像上可以看到，
这个简谐运动的振幅为A=3cm;
周期为 （s）；
频率为 Hz .
课本练习
解：（2）设这个简谐运动的函数表达式为
1.某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：
（１）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
（２）写出这个简谐运动的函数解析式.
周期为0.02，频率为50，电压的最大值为311 V．
电压和时间的函数解析式为U＝311sin 100πt，t∈[0，＋∞).
3.一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图6所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U（单位V）关于时间t（单位s）的函数解析式．
随堂检测
课堂小结
曲线y＝Asin (ωx＋φ)的应用实质上是物理方面的知识．所以建立该类问题的数学模型一定要结合物理知识进行．
三角函数模型是描述周期变化的重要数学模型，主要了解简谐运动的函数模型中参数的物理意义；同时在问题研究过程中体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，增强了我们的应用意识，感受了数学的应用价值。

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