资源简介

(共75张PPT)
1.2 集合间的基本关系
人教A版2019高一数学（必修一）第一章 集合与常用逻辑用语
学习目标
1、理解集合之间包含与相等的含义；
2、理解子集、真子集的概念；
3、能利用韦恩图表达集合间的关系；
4、了解空集的含义．
我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5＝5，
5＜7，5＞3，等等，类比实数之间的关系，两个集合之间
是否也有类似的关系？
下面我们通过具体例子探究这个问题.
情景导入
观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？
（1）A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3, 4, 5}；
（2）C为某中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班的全体学生组成的集合；
（3）E={x|x是两条边长相等的三角形}，F={x|x是等腰三角形}.
可以发现，在(1)中，集合A的任何一个元素都是集合B的
元素. 这时我们说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.
(2) (3)中的两个集合之间也有这种关系.
一、子集
1.子集与真子集
新知探究
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素
都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作
读作：“A包含于B”（或“B包含A”）
A B（或B A）
概念归纳
例1.判断集合A是否为集合B的子集．
(1) A＝{1,3,5}，B＝{1,2,3,4,5}； ( )
(2) A＝{1,3,5}，B＝{1,3,6,9}； ( )
(3) A＝{0}，B＝{x|x2－1＝0}； ( )
(4) A＝{a,b,c,d}，B＝{d,b,c,a}． ( )
×
√
×
√
注：A B有两种可能：
(2)集合A中的元素和集合B中的元素相同(A＝B)；
(1)集合A中的元素是集合B中的一部分元素(A B) ．
典例剖析
答案：(1)√　(2)√　(3)×
练一练
2.已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},则(　　)
A.P∈Q　　　　 B.P Q C.Q P D.Q∈P
3.已知集合A={x|-1A.B A B.A B C.B答案 (1)C　(2)A
解析 (1)集合Q中的元素都在集合P中,所以Q P.

(2)由题意结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可.如图所示,由图可知,B A.
C
A
练一练
4．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是(　　)
A．M＜N　　　　　　 B．M∈N
C．N M D．M N
解析：∵集合M中的元素都在集合N中，但是M≠N，∴M N.故选D.
5．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________
练一练
D
－1
怎样证明或判定两个集合相等？
(2)判定两个集合相等，可把握两个原则：
①设两个集合A，B均为有限集，若两个集合中元素个数相同，且对应元素分别相同，则两个集合相等
②设两个集合A，B均为无限集，只需看两个集合的代表元素及其特征 是否相同，若相同，则两个集合相等，即A=B
二、集合相等
概念归纳
【解】由题意B中的元素也是1和-1，
典例剖析

典例剖析
在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部代表集合，
这种图称 为Venn图. 如图示
A
B
【注意】①表示集合的Venn图的便捷是封闭曲线，它可以是圆、矩形、
椭圆、也可以是其他封闭曲线
②Venn图的优点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意
区分大小关系。
概念归纳
A
B
D
练一练
2.指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示．
A＝{x|x是四边形}，B＝{x|x是平行四边形}；
C＝{x|x是矩形}， D＝{x|x是正方形}．
D C B A
D C B A

≠

≠

≠
A
B
C
D
练一练
如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A
是集合B的真子集，记作
A B(或B A)
读作：“A真包含于B”（或“B真包含A”）
三、真子集
概念归纳
思考 方程x2+1=0的实数根组成集合是什么？它的元素有哪些？
我们知道，方程x2+1=0是没有实数根，所以方程x2+1=0的实数
根组成的集合中没有元素.
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ，并规定：
空集是任何集合A的子集. 即 A. 是任何非空集合的真子集.
∈



2.空集
新知探究
例4.写出集合{1,2,3}的所有子集，并指出哪些是它的真子集
【解】子集有 ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}
其中真子集有 ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}
【分析】可把子集分为三类：
①不含元素的： ②含有一个元素的
③含有两个元素的 ④含有三个元素的
【注意】书写子集的时候千万不要漏掉空集
典例剖析
1．判断正误：
(1)任何集合都有子集和真子集． ( )
(2)集合{x|x2＋1＝0，x∈R}＝ . ( )
答案：(1)×　(2)√
练一练
2．下列四个集合中，是空集的是 (　　)
A．{x|x＋3＝3}　　
B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}
C．{x|x2≤0}
D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}
解析： ∵x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，方程无解，∴{x|x2－x＋1＝0，x∈R}＝ ，故选D.
答案：D
练一练
空集是任何集合的子集.
任何一个集合是它本身的子集.
(传递性)
类似于实数a ≤b且b ≤c，则a ≤c
子集的性质：
概念归纳
空集是任何非空集合的真子集.
(2)若A B, B C,则 A C
(传递性)
真子集的性质:
概念归纳
思考 包含关系{a} A与属于关系a∈A有什么区别？试结合实例解释？
包含关系是集合与集合之间的关系，用“ ”表示；
属于关系是元素与集合之间的关系，用“∈”表示.
二者切不可混淆，用符号之前要搞清楚是元素与集合还是集合与集合的关系.
注意：
例：在以下写法中，正确的个数为( )
①0＝{0}； ②0∈{0}； ③0 {0}；
④0＝ ； ⑤0∈ ； ⑥0 ；
⑦ ＝{0} ； ⑧ ∈{0}； ⑨ {0}．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
0，{0}， 三者之间有什么关系
由集合之间的基本关系，可以得到以下结论：
常用结论
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A；
(2)对于集合A, B, C，如果A B，且B C，那么A C；
(3)对于两个集合A, B，如果A B，且B A，那么A=B；
(4)空集 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
含有n个元素的集合的子集有___个,真子集有_____ 个,非空真子集有_____ 个.
写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
集合{ a,b}的子集有___个,真子集有___个;
集合{ a,b,c}的子集有___个,真子集有___个;
………
4
3
8
7
22
23
22-1
23-1
思考探究
1.已知集合M满足{1,2} M {1,2,3，4,5}，则所有满足条件的集合M的个数是 (　　)
A．6　　　　　　　　　 B．7
C．8 D．9
练一练
B
[解析]　由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下．
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}．
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}．
含有5个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足条件的集合M：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
[答案]　B
[方法技巧] 求集合子集、真子集个数的三个步骤
归纳总结
2．将本例中集合{1,2}变为集合A＝{x|x2＋3x＋3＝0}，集合{1,2,3,4,5}变为集合B＝{x|x2－5x＋6＝0}，则满足条件的集合M的个数为 (　　)
A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4
解析：对于方程x2＋3x＋3＝0，
∵Δ＝9－12＝－3＜0，∴该方程无实根，即A＝ .
由方程x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.∴B＝{2,3}．
由题意，得 M {2,3}．
∴满足条件的集合M为{2}，{3}，{2,3}共3个，故选C.
练一练
C
2．集合{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}的真子集的个数是(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
解析：当x＝0时，y＝6；当x＝1时，y＝5；
当x＝2时，y＝2；当x＝3，y＝－3.
所以{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}＝{2,5,6}，
共3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.　
练一练
C
3.指出下列各组集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
[解]　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.
练一练
[方法技巧] 判断集合间关系的常用方法
列举
观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系
集合元素
特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系
数形
结合法 利用数轴或Venn图等直观地判断集合间的关系．不等式的解集之间的关系，适合用数轴法
归纳总结
练一练
5．判断下列各组中集合之间的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；
(3)A＝{x|－1练一练
6.(1)设集合A＝{1,2}，若B A，则集合B可能是什么？
提示： ，{1}，{2}，{1,2}．
(2)设集合A＝{x|ax＋1＝0}，B＝{x|ax2＋x＋1＝0}，C＝{x|a＋1练一练
练一练
练一练
[方法技巧]
已知集合间的关系求参数问题的解题策略
(1)若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程．　　
(2)若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.一般含“＝”用实心圆点表示，不含“＝”用空心圆圈表示.
(3)此类问题还要注意是否存在空集的情况，因为空集是任何集合的子集.
归纳总结
例1. 写出集合{a, b}的所有子集, 并指出哪些是它的真子集.
解：集合{a, b}的所有子集为 , {a}, {b}, {a, b}.
它的真子集为 , {a}, {b} .
写子集时分类要按：①0个元素；②1个元素；③2个元素；…
哪些是非空真子集呢？
4个子集
课本例题
例2. 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集, 并说明理由.
解：(1)因为3∈A, 但3 B.
(2)因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集 .
(1) A={1, 2, 3}, B={x|x是8的约数};
(2) A={x|x是长方形},
B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}.
所以集合A不是集合B的子集 .
1, 2, 4, 8
课本例题
2.用适当的符号填空：
(1) a___{a,b,c}；
(2) 0___{x|x2=0}；
(3) ___{x∈R|x2+1=0}；
(4) {0,1}___N；
(5) {0}___{x|x2=x}；
(6) {2,1}___{x|x2-3x+2=0}；
∈
∈
=
=
1.写出集合{a, b, c}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
解：集合{a, b, c}的所有子集为 , {a}, {b}, {c},
{a, b}, {a, c}, {b, c},
{a, b, c}.
除了{a, b, c}外都是真子集 .
课本练习


3.判断下列两个集合之间的关系：
（1）A={x|x<0}，B={x|x<1}；
（2）A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N}；
（3）A={x∈N+|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m，m∈N+}.
解：
(1) A B；
(2) B A；
(3) A=B.
课本练习


习题1.2
复习巩固
1.选用适当的符号填空：
（1）若集合A=（x|2x-3<3x），B={x|x≥2），则
-4 B，-3 A，{2} B，B A；
（2）若集合 A={x|x -1=0），则
1 A，{-1} A， A，{1，-1} A；
（3）{x|x 是菱形} {x|x 是平行四边形}；
{x|x 是等腰三角形} {x|x 是等边三角形）.




∈


=


2.指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示：
A={x|x是四边形}，B={x|x是平行四边形}，C={x|x 是矩形}，D={x|x 是正方形}.
复习巩固
解：D C B A,
用Venn图表示如图
3.举出下列各集合的一个子集：
（1）A={x|x 是立德中学的学生}；
（2）B={x|x 是三角形）；
（3）C={0}；
（4）D={x∈Z|3解：（1）{x|x是立德中学高一一班的学生}.
（2）{x|x 是等边三角形}.
（3） .
（4）{4}.
综合运用
综合运用
解：集合D表示直线2x-y=1与直线x+4y=5的交点（1，1）组成的集合，而（1，1）在直线 y=x 上，D C.
拓广探索
1.若集合M＝{x|2x2－5x－3＝0}，N＝{x|mx＝1，x∈R}，
且N M，求实数m的值．
易错警示　忽视空集
错因分析
错因分析
分层练习-基础
B
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
2.右图是反映的“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请在下面的空格上填入适当的内容：
A为__________，B为__________，
C为__________，D为__________．
分层练习-巩固
分层练习-拓展
{0，－1，－4}
*
一、子集:
二、集合相等:
若A B且B A,
则A=B.
三、真子集
如果集合A B，但存在元素x∈B且x A，就称集合A是集合B的真子集(proper subset) , 记作
A B (或B A)
四、空集
不含任何元素的集合叫做空集(empty set) , 记作 .
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，就称集合A为集合B的子集(subset)，记作
A B(或B A)
课堂小结