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人教A版2019高一数学（必修一）第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
学习目标
难点：1.对新概念、新符号的理解与区分；
2.集合表示方法的恰当选择。
1.了解集合的含义及元素的特征；
2.理解元素与集合的属于关系；
3.掌握常用的数集及其记法；
4.初步掌握用列举法和描述法表示集合的基本方式和一般规则，能够根据实际问题选择合适的方法来表示集合.
初中我们接触了那些集合？
数集：自然数的集合，有理数的集合...
点集：圆（同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合）
线段的垂直平分线（到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合）
情景导入
例1.看下面的例子：
（1）1～10之间的所有偶数；
（2）立德中学今年入学的全体高一学生；
（3）所有的正方形；
（4）到直线 l 的距离等于定长 d 的所有点；
（5）方程 的所有实数根；
（6）地球上的四大洋。
上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素.
组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中元素个数的多少是否有限制？
集合的概念
新知探究
一．元素与集合的相关概念
1.元素：一般地，把 统称为元素，
常用小写的拉丁字母 表示．
2.集合：一些 组成的总体，简称集，
常用大写拉丁字母 表示．
3.集合相等：指构成两个集合的元素是 的．
研究对象
a，b，c…
元素
一样
A， B，C…
概念归纳
二．元素与集合的关系
1.属于：如果a是集合A的元素，就说 ，记作 .
2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说 ，记作 .
a属于集合A
a∈A
a不属于A
a A
思考：设集合A表示“1～20以内的所有质数”，那么3，4，5，6这四个元素
哪些在集合A中？哪些不在集合A中？
“我们班高个子的同学”、“年轻人”、
“接近数0的数”能否分别组成一个集合，为什么？
确定性：集合的元素必须是确定的，不能确定的对象不能构成集合.给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.
集合中元素的特性
新知探究
问题1：
由1、2、2、3、5组成的集合的元素个数是多少？
互异性：集合的元素一定是互异的.相同的
几个对象归于同一个集合时只能算一个元素.
问题2
无序性：集合中的元素没有先后顺序.
问题3
1.确定性
2.互异性
3.无序性
集合元素必须是确定的。不能确定的对象不能组成集合。
集合中的元素可以任意排列，与次序无关。
给定一个集合，集合中的元素一定是不同的。若相同的对象归入同一个集合时，只能算集合中的一个元素。
二、集合元素的特性
概念归纳
答案：D.
典例剖析
典例剖析
典例剖析
你从哪个角度分析一些研究对象能否构成集合？
1.判断下列说法是否正确．
（1）所有好看的花可以构成一个集合．
（2）由1，3，0，5，|－3|这些数组成的集合中有5个元素．
（3）高一（1）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合发生了改变．
错误
错误
错误
从集合中的元素是否确定来分析．
练一练
2.考查下列每组对象，能构成一个集合的是（ ）
B
①某校高一年级成绩优秀的学生；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④我国新型冠状病毒疫情期间支援武汉的白衣天使．
A．③④ B．②③④ C．②③ D．②④
练一练
三.常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 _______ 有理数集 _______
符号 ___ ________ Z ___ R
整数集
实数集
N
N*或N＋
Q
N*或N＋
N
Z
Q
R
B
典例剖析
变式1：下列关系中，正确的有 （ ）
C
① ∈R； ② ； ③|－3|∈N；
④| |∈Q； ⑤0＝{0}
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
典例剖析
变式2：【多选题】 下列所给关系正确的是(　 　)
A B
典例剖析
×
×
√
　
∈　
　
　
∈　
练一练
集合的表示方法
新知探究
【注意】
（1）大括号表示的是“所有”“整体”的含义，如实数集可以写成 ｛实数｝，
但不能写成｛实数集｝｛全体实数｝｛R｝
（2）列举法表示集合时要注意：
①元素之间用逗号隔开；
②一个集合中的元素书写一般不考虑顺序
四、集合的表示方法——列举法
哪些集合适合用列举法表示呢？
（1）含有有限个元素且元素个数较少的集合
（2）元素较多，但是元素的排列呈现一定的规律，在不至于发生误解
的情况下，也可以列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如
自然数集N可以表示为｛0，1，2，…，n…｝
集合的分类
【有限集】含有有限个元素的集合
【无限集】含有无限个元素的集合
概念归纳
【解】（1）｛0，1，2，3，4，5，6，7｝
（2）｛-1，0｝
注意：
由于集合具有无序性，所以第(1)题的答案可以有多种呈现方式，
如｛0，1，2，4，5，6，7，3｝等
典例剖析
以下集合用列举法表示方便吗？如果不方便，你觉得可以怎样表示？
（1）满足x>3的所有数组成的集合A；
（2）所有有理数组成的集合Q。
想一想
四、集合的表示方法——描述法
用描述法表示集合需要注意什么问题？
（2）竖线后面写清元素满足的条件，一般是方程或者不等式.
概念归纳
例6.用适当的方法表示下列集合：
（1）方程x(x-1)=0的所有解组成的集合A；
（2）平面直角坐标系下，第一象限内所有点组成的集合B.
判断A与B是有限集还是无限集，由此思考该选用哪种表示方法。
典例剖析
练一练
列举法和描述法的转化
列举法表
示的集合
描述法表
示的集合
明确集合中元素的共同特征
找准代表元素，满足什么条件
描述法表
示的集合
列举法表
示的集合
分析集合中的元素及其特征
逐一列出集合中的元素
归纳总结
A.a∈A,且b A B.a A,且b∈A
C.a∈A,且b∈A D.a A,且b A
练一练
B
2.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合
B.正方体的全体构成一个集合
C.未来世界的高科技产品构成一个集合
D.不大于3的所有自然数构成一个集合
BD
解析 花坛上色彩艳丽的花朵是一个不确定的概念,不能构成一个集合,故A错误;正方体的全体能构成一个集合,故B正确;未来世界的高科技产品是一个不确定的概念,因此不能构成一个集合,故C错误;不大于3的所有自然数能构成一个集合,故D正确.
练一练
3.若以正实数x,y,z,w四个元素构成集合A,以A中四个元素为边长构成的四边形可能是(　　)
A.梯形 B.平行四边形
C.菱形 D.矩形
解析 由于集合中的元素具有互异性,所以正实数x,y,z,w互不相等.
因为平行四边形、菱形、矩形都有相等的边,而梯形四边不一定相等,
故以集合A中四个元素为边长构成的四边形可能是梯形,故选A.
A
练一练
4.用符号∈或 填空:(其中A表示由所有质数组成的集合)
　 ∈　 ∈　
　 ∈　 ∈
练一练
5.若方程x2-ax+2=0的解集为M,且1∈M,则a=　　　　　,集合M中的另一个元素是　　　　　.
解析 由于1∈M,因此1是方程x2-ax+2=0的一个根,将1代入可得a=3,
当a=3时,方程x2-3x+2=0的根是x=1或x=2,因此集合的另一个元素是2.
3　
2
练一练
6.已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,求实数x满足的条件.
练一练
课本例题
课本例题
课本例题
1. 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由．
(1) 与定点A，B等距离的点；
(2) 高中学生中的游泳能手．
解：(1) 能组成集合.
(2) 不能组成集合，因为不满足集合元素的确定性.
课本练习
2. 用符号“ ”或“ ”填空：






课本练习
3. 用适当的方法表示集合：
(1) 方程x2-9=0的所有实数根组成的集合；
(2) 一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合；
(3)不等式4x-5<3的解集.
解：（1）{-3, 3}；
（2）{(1, 4)}；
（3）{x|x<2}.
课本练习
习题1.1
复习巩固
1.用符号“∈”或“ ”填空：
（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，
则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A；
（2）若 A={x|x =x}，则-1 A；
（3）若B={x|x +x-6=0}，则3 B；
（4）若C={x∈N|1≤x≤10}，则8 C，9.1 C.
∈

∈




∈
2.用列举法表示下列集合：
（1）大于 1 且小于 6 的整数；
（2）A={x|（x-1）（x+2）=0}；
（3）B={x∈Z|-3<2x-1<3}.
复习巩固
解：（1）大于 1 且小于6的整数有4个：2，3，4，5，
∴集合为{2，3，4，5}.
（2）（x-1）（x+2）= 0的解为x=1或x=-2，
∴集合A={1，-2}.
（3）由-3<2x-1<3，得-1∴x∈Z，∴x=0或x=1.
∴集合 B={0，1}.
复习巩固
综合运用
3.把下列集合用另一种方法表示出来：
（1）{2，4，6，8，10}；
（2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；
（3）{x∈N|3（4）中国古代四大发明.
解: （1）{x|x=2n，n∈Z且1≤n≤5}.
（2）{1，2，3，12，21，13，31，23，
32，123，132，213，231，312，321}.
（3）{4，5，6.}
（4）{造纸术，印刷术，指南针，火药}.
综合运用
综合运用
综合运用
拓广探索
5.集合论是德国数学家康托尔于 19 世纪末创立的.当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念，关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”，请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识.
解：集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.集合论是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有领域.如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性.其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一.
拓广探索
因忽视集合中元素的互异性致错
【例1】 关于x的方程x2-(a+1)x+a=0的解集中有几个元素
错解:因为x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,
所以方程的解为1,a,
则方程的解集中有两个元素1,a.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:以上错解中没有注意到字母a的取值带有不确定性.事实上,当a=1时,不满足集合中元素的互异性.
错因分析
正解:因为x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解为1,a.
若a=1,则方程的解集中只有一个元素1;
若a≠1,则方程的解集中有两个元素1,a.
点拨：
1.先由解方程得到x的可能值,再根据元素的互异性进行检验.
2.在解方程求得x的值后,不要因忘记验证集合中元素的互异性,而造成失分.
3.注意培养数学抽象和数学运算素养.
错因分析
【变式训练】 若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,
则此三角形一定不是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
解析:△ABC的三边长两两不等,故选D.
答案:D
D
B
分层练习-基础
分层练习-基础
AC
分层练习-基础
AB
C
分层练习-基础
分层练习-基础
B
B
分层练习-基础
分层练习-巩固
A
分层练习-基础
{1,2,3}
2
分层练习-基础
{0,3,6,9,…}
分层练习-基础
1
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-巩固
D
分层练习-巩固
2
分层练习-巩固
16．已知集合A中含有3个元素1，x，x2－2x，且3∈A，求x的值．以下是小明同学给出的解题过程：
解：∵3∈A，∴x＝3或x2－2x＝3，
解得x＝－1或3.
∴x的值为－1或3.
分析以上解题过程，你能找出错误之处吗？请写出正确的解题过程．
提示：没有对求得的值进行互异性检验从而产生增根．
分层练习-巩固
正解如下：
∵A中含有3个元素且3∈A，∴x＝3或x2－2x＝3.
当x＝3时，x2－2x＝3＝x，不满足互异性，故x≠3.
当x2－2x＝3时，解得x＝－1或x＝3(舍去)．
当x＝－1时，A＝{－1,1,3}符合题意．
综上，x的值为－1.
分层练习-巩固
17．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为________．
{24,27,30}
分层练习-巩固
解析：∵甲最终的得分为27分，∴甲答对了10道题目中的9道．∵甲和乙都解答了所有的试题，∴甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．
∵甲和乙只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙可得27分或30分．
如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题两人选项相同，则乙也一定答错，此时乙可得24分．
综上，乙的所有可能的得分值组成的集合为{24,27,30}．
答案：{24,27,30}
分层练习-巩固
分层练习-拓展
集合的含义
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
集合的定义
元素的性质
集合相等的含义
判断集合时，要明确集合中元素的特征及范围
用集合中元素的性质进行求解
分类讨论思想在求参数时的应用
求集合中的元素时，
注意元素互异性的检验
数学抽象：通过自然语言到数学符号语言的转化，培养数学抽象的核心素养
确定性
无序性
互异性
课堂小结

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