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1.3 集合的基本运算
第一课时 并集和交集
人教A版2019高一数学（必修一）第一章 集合与常用逻辑用语
学习目标
1.理解并、交集的含义，会求简单的并、交集；（重点）
2.借助Venn图理解、掌握并、交集的运算性质；（难点）
3.根据并、交集运算的性质求参数问题.（难点）
情景导入
某单位食堂第一天买的菜的品种构成的集合记为
A={黄瓜,冬瓜,鲫鱼,虾,茄子};
第二天买的菜的品种构成的集合记为
B={黄瓜,猪肉,毛豆,芹菜,虾,土豆}.
两天所买过的相同菜的品种构成的集合记为C,
则集合C等于什么
两天买过的所有菜的品种构成的集合记为D,
则集合D等于什么
1.并集及运算性质
新知探究
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的并集。
记作:A∪B
A∪B={x | x∈A,或x∈B}
读作:A并 B
A
B
A∪B
概念归纳
A
B
“或”字的三层含义
剖析
A
B
B
A
A
B
B
A
并集的运算性质

总结
例1.(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　)
A．{0}　 B．{0,2}
C．{－2,0}　 D．{－2,0,2}　
解析　M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，
N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，
故M∪N＝{－2,0,2}．
典例剖析
D
(2)已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}，则M∪N＝(　　)
A．{x|x＜－5或x＞－3} B．{x|－5＜x＜5}
C．{x|－3＜x＜5} D．{x|x＜－3或x＞5}
解析　在数轴上表示集合M，N，如图所示，
则M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．
典例剖析
D
求集合并集的方法
(1)两集合用列举法给出：
①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集．
(2)两集合用描述法给出：
①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集．
(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：
①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集．
提醒：若两个集合中有相同元素，在求其并集时只能算作一个．
概念归纳
(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　)
A．{x|0≤x≤2}　 B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4}　 D．{x|1≤x≤4}
A
练一练
(2)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠ ，则a的取值范围(　　)
A．a＜2　 B．a＞－2
C．a＞－1　 D．－1＜a≤2
解析　在数轴上表示出集合A，B，由图可知．若A∩B≠ ，则a＞－1.
练一练
C
(3)A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
解析　因为A∩B＝{3}，所以a＋2＝3或a2＋4＝3，且a＋2≠a2＋4.
解得a＝1或a2＝－1(舍)．所以a＝1.
练一练
1
(2)A={x|x是参加百米赛跑的同学}, B={x|x是参加跳高的同学}, C={x|x是既报名参加百米赛跑，又参加跳高的同学}
集合C中的元素既来自集合A又来自集合B
2.交集及运算性质
新知探究
一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集.
记作:A∩B
A∩B={x |x∈A,且x∈B}
读作:A交 B
A
B
A∩B
概念归纳
A
B
剖析
B
A
A
B
A
B

B
A
总结
交集的运算性质
例2.设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}．若A∩B＝B，求a的值．
典例剖析
利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点
(1)依据：A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
(2)关注点：当集合A B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝ 的情况，否则易漏解．
概念归纳
若集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋9}，A∪B＝B，求m的取值范围．
练一练
并、交集的运算性质
并集 交集
概念归纳
并、交集的运算性质




概念归纳
例3.设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
素养点睛：考查数学抽象与数学运算的核心素养．
典例剖析
解：(1)由题可知A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，因为A∩B＝{2}，所以2∈B，将2代入集合B中得4＋4(a－1)＋(a2－5)＝0，解得a＝－5或a＝1.
当a＝－5时，集合B＝{2,10}符合题意；
当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意．
综上所述，a＝－5或a＝1.
(2)若A∪B＝A，则B A，
因为A＝{1,2}，所以B＝ 或B＝{1}或{2}或{1,2}．
若B＝ ，则Δ＝4(a－1)2－4(a2－5)＝24－8a<0，解得a>3；
利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点
(1)依据：A∩B＝A A B，A∪B＝A B A．
(2)关注点：当集合A B时，若集合A不确定，
运算时要考虑A＝ 的情况，否则易漏解．
归纳总结
1.若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合A∪B等于(　　)
A.{0} B.{1,2}
C.{1,2,3,4} D.{0,1,2,3,4}
答案:D
2.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:由题意可得A∩B={2,4},故A∩B中有2个元素.
答案:B
练一练
3.若集合A={x|-1≤x<2},B={x|0解析:如图所示,

故A∪B={x|-1≤x≤3},A∩B={x|0答案:{x|-1≤x≤3}　{x|0练一练
4.设集合A={a,b},B={a+1,5},若A∩B={2},则A∪B=　　　　　.
解析:∵A={a,b},B={a+1,5},A∩B={2},
∴2∈B,∴a+1=2.∴a=1.
又2∈A,∴b=2,∴A∪B={1,2,5}.
答案:{1,2,5}
练一练
5.已知A={x|x<-2,或x>4},B={x|5-2x≤3},求A∪B,A∩B.
解:化简集合B得B={x|x≥1},用数轴表示集合A,B,如图所示,

所以A∪B={x|x<-2,或x≥1},A∩B={x|x>4}.
练一练
6．已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B＝ ，求实数a的取值范围．
解：由A∩B＝ ，
①若A＝ ，有2a＞a＋3，所以a＞3.
②若A≠ ，如图：
练一练
注：在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次.如元素5,8.
课本例题
课本例题
课本例题
1.设A={3,4,5,6}，B={3,5,7,8}，求A∪B，A∩B
【解】A∪B={3，4，5，6，7，8}，A∩B={3，5}
【解】由题意易得A={-1,5},B={-1，1}，则A∪B={-1,1,5},A∩B={-1}
课本练习
易错辨析　利用数轴求参数时忽略端点值能否取到
例　已知集合A＝{x|x≥4或x<－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若A∩B＝B，则实数a取值范围为________．
解析：∵A∩B＝B B A.
∴利用数轴法表示B A.
如右图所示．
由数轴知a＋3<－5或a＋1≥4，
解得a<－8或a≥3.
∴实数a的取值范围为{a|a<－8或a≥3}．
错因分析
易错原因 纠错心得
在求解过程中
易忽略端点值的取舍，误得a＋3≤－5或a＋1≥4，解得a≤－8或a≥3. 正确的做法就是把端点值代入原式，看是否符合题目要求.
易错警示
错因分析
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
提示：甲、乙都求解错误．甲的错误在于把集合A与集合B当成了两个点集，从而求出了两条曲线的交点，没有正确理解集合的含义．乙的错误在于没有正确理解A∩B的含义，A∩B是由同时属于A和B的所有元素组成的集合，因此，求解时，应分别求A和B两个集合的元素．
正确的解题过程如下：
A＝{y|y＝x2－2x－3，x∈R}＝{y|y＝(x－1)2－4，x∈R}＝{y|y≥－4}，
B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}＝{y|y＝－(x－1)2＋14，x∈R}＝{y|y≤14}，
因此，A∩B＝{y|－4≤y≤14}．
分层练习-拓展
我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数．例如：A＝{a，b，c}，则card(A)＝3.
结论：一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A
∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
类比两个集合，可以得到三个集合的类似公式：
card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(C∩A)＋card(A∩B∩C)．
分层练习-拓展
2．某班学生参加数学课外小组的人数是参加物理课外小组的人数的2倍，同时参加两个课外小组的有5人，至少参加一个课外小组的有25人．参加数学课外小组、物理课外小组的人数各是多少？
解：设参加物理课外小组的人数为x，则参加数学课外小组的人数为2x.
由card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)及题意，得25＝2x＋x－5，解得x＝10.所以参加数学课外小组的有20人，参加物理课外小组的有10人．
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
交集的运算性质
并集的运算性质
课堂小结
1. 求交、并集方法：定义法、数形结合法(数轴)
2. 根据交、并集的运算性质求参数的范围
①交、并性质的转换
②分类讨论
空集（易漏）
非空集
数轴
课堂小结

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