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人教A版2019高一数学（必修一）第一章 集合与常用逻辑用语
1.4.1 充分条件与必要条件
学习目标
1、了解命题的概念，会判断命题的真假；
2、理解充分条件、必要条件的意义（重难点）；
3、会判断充分条件和必要条件（重点）．
情景导入
一般地，我们把用 语言 、 符号 或 式子 ，
表达的，可以 判断真假 的 陈述句 叫做 命题 ．
判断为 真 的语句叫做 真命题 ，
判断为 假 的语句叫做 假命题 ．
本节主要讨论“ 若p，则q ”形式的命题，其中p称为命题的 条件 ，q称为命题的 结论 ．
1. 命题
新知探究
在命题（1）（4）中，由条件p通过推理可以得出结论q，所以它们是真命题．在命题（2）（3）中，由条件p不能得出结论q，所以它们是假命题．
*
A
练一练
2.下列“ 若p，则q ”形式的命题中，哪些
是真命题？哪些是假命题？
(1)若两个三角形全等， 则这两个三角形相似；
(2)若x>5，则x>10．
真命题
假命题
练一练
上述命题（1）（4）中的p是q的充分条件，q是p的必要条件．而命题（2）（3）中的p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
充分条件：有它就行
必要条件：没它不行
2. 充分条件与必要条件
新知探究
1．思考辨析
(1)已知p q，则“若p，则q”是真命题．(　　)
(2)已知p q，则q的充分条件是p，p的必要条件是q.(　　)
(3)p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立”，但即使q成立，p也未必会成立．(　　)
(4)q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
练一练
2．“x＞0”是“x≠0”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．以上答案均不正确
答案　A　
解析　当x＞0时一定有x≠0；反之，若x≠0，则不一定有x＞0，故“x＞0”是“x≠0”的充分而不必要条件．
练一练
3．“a＞0，b＞0”是“ab＞0”的________条件．(填“充分”或“必要”)
解析　若“a＞0，b＞0”则必有“ab＞0”；反之，若“ab＞0”，则不一定有“a＞0，b＞0”，故“a＞0，b＞0”是“ab＞0”的充分条件．
答案　充分
4．“若p，则q”的逆命题为真，则p是q的________条件．(填“充分”或“必要”)
答案　必要
练一练
题型一　充分条件的判断与探求　
(1)充分条件是某一个结论成立应具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论或使此结论成立．
(2)只要具备此条件就足够了，当命题不具备此条件时，结论也有可能成立，例如，x＝6 x2＝36.但是，当x≠6时，x2＝36也可以成立，“x＝－6”也是“x2＝36成立”的充分条件．
例1　下列命题中，p是否为q的充分条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0；
(4)p：m＜－1，q：x2－x－m＝0无实根；
(5)设x∈R，p：x＞3，q：|x－1|＞2.
典例剖析
典例剖析
[方法技巧]
1．定义法判断充分条件的步骤
(1)分清“条件p”与“结论q”．
(2)判断条件p能否推出结论q.
(3)下结论：若“条件p 结论q”，则p是q的充分条件；若“条件p 结论q”，则p不是q的充分条件．
2．集合法判断充分条件
已知A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}．
若A B，则p是q的充分条件．　　
归纳总结
1．(多选)使0＜x＜3成立的一个充分条件是 (　　)
A．2＜x≤3　　　　　　　 B．0≤x＜1
C．0＜x≤2 D．1＜x＜2
解析：从集合观点看，求0＜x＜3成立的一个充分条件，就是从A、B、C、D中选出集合{x|0＜x＜3}的子集．由于{x|0＜x≤2} {x|0＜x＜3}，{x|1＜x＜2} {x|0＜x＜3}，故选C、D.
答案：CD　
练一练
2．下列命题中，p是否为q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC；
(2)p：(x－1)(x－3)＝0，q：x＝3；
(3)p：a＝b，q：|a|＝|b|；
(4)p：一个四边形是等腰梯形，q：四边形的对角线相等．
解：(1)在△ABC中，根据大角对大边可得∠A＞∠B BC＞AC.∴p是q的充分条件．
(2)由(x－1)(x－3)＝0，解得x＝1或x＝3，不一定有x＝3.∴p不是q的充分条件．
(3)∵a＝b |a|＝|b|，即p q，∴p是q的充分条件．
(4)∵等腰梯形的对角线相等，∴p q，∴p是q的充分条件．
练一练
题型二　必要条件的判断与探求　
(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的；真命题的条件是结论成立的充分条件，但不一定是结论成立的必要条件；假命题的条件不是结论成立的充分条件，但有可能是结论成立的必要条件．
(2)“p是q的必要条件”的理解：若有q，则必有p；而具备了p，不一定有q.
例2.(多选)下列命题正确的是 (　　)
A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件
B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件
C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件
D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件
[解析]　∵x＞3 x＞2，∴A是真命题；∵x＝2 x2＝4，x2＝4 x＝2，∴B是假命题；∵A∩B＝B A∪B＝A，∴C是真命题；∵a＝1，b＝2，c＝－2时，ac>bc a>b，∴D是假命题．
[答案]　AC
典例剖析
[方法技巧]
1．定义法判断必要条件的步骤
(1)分清“条件p”与“结论q”．
(2)判断结论q能否推出条件p.
(3)下结论：若“结论q 条件p”，则p是q的必要条件；若“结论q 件p”，则p不是q的必要条件．
2．集合法判断必要条件
已知A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}．
若B A，则p是q的必要条件．　　
归纳总结
1．(多选)不等式0＜x＜2成立的一个必要条件是(　　)
A．0＜x＜1 B．x≥－1
C．0＜x≤3 D．1＜x＜3
解析：令A＝{x|0＜x＜2}，则由集合间的关系得A {x|x≥－1}，A {x|0＜x≤3}，所以“x≥－1”与“0＜x≤3”均是“不等式0＜x＜2成立”的一个必要条件，故选B、C.
答案：BC　
练一练
练一练
题型三　利用充分条件与必要条件求参数范围
记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要条件呢？
提示：若p是q的充分条件，则A B；若p是q的必要条件，则B A.
例3.是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x＞2，或x＜－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由．
典例剖析
[方法技巧]
利用充分条件与必要条件求参数的取值范围问题，常用集合法求解，其步骤如下：
(1)化简集合A＝{x|p(x)}和B＝{x|q(x)}．
(2)根据p与q的关系(充分条件、必要条件等)，得出集合A与B之间的包含关系．
(3)列出相关不等式(组)(也可借助数轴)．
(4)化简，求出参数的取值范围．　　
归纳总结
1．已知条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析：由1－x＜0，得x＞1，令A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞a}．若p是q的充分条件，则x＞1 x＞a，即A B，∴a≤1.若p是q的必要条件，则x＞a x＞1，即B A，∴a≥1.
答案：{a|a≤1}　{a|a≥1}
练一练
2.已知p：－2≤x≤10；q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
练一练
练一练
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些q是p的必要条件？
（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角线分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
课本例题
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些q是p的必要条件？
课本例题
思考
例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两条对角分别相等”．这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？
我们说q是p的必要条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由p只能推出结论q．一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的．
例如，下列命题都是真命题．
①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；
②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．
③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分．
这表明，“四边形的两组对边分别相等”“ 这个四边形的一组对边平行且相等”“ 四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件．
我们知道，例2中命题（1）及上述命题①②③均为平行四边形的性质定理．所以，平行四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件．
类似地，平行线的每条性质定理都给出了“两直线平行”的一个必要条件．例如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件，也就是说，如果同位角不相等，那么就不可能有“两直线平行”．
一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件
1.下列“ 若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q 的充分条件？
(1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB；
(2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；
(3)若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方．
是
不是
是
课本练习
2.下列“ 若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若直线 l 与⊙O有且仅有一个交点，则 l 为⊙O的一条切线；
(2)若x是无理数，则x2也是无理数．
是
不是
课本练习
3.如图，直线 a 与 b 被直线 l 所截，分别得到了∠1，∠2，∠3和∠4．
请根据这些信息，写出几个“a//b”的充分条件和必要条件．
a
b
l
1
2
3
4
解：充分条件：
∠1＝∠2，∠1＝∠4，
∠1＋∠3＝180o．
必要条件：
∠1＝∠2，∠1＝∠4，∠1＋∠3＝180o．
课本练习
错因分析
错因分析
易错辨析 因知识欠缺,导致对命题真假判断失误
例2.判断下列命题的真假.
(2)x=1是方程(x-1)(x-2)=0的一个根.
错解:(1)真命题.(2)假命题.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
错因分析
提示:(1)误认为“两数比较大小时,大数的倒数反而小”,而忽视a,b的条件,
当a>0,b<0时,a>b,且
(2)因为方程的根为x=1或x=2,解题时误认为x=1不全面,而没有分析清楚逻辑关系.
正解:(1)假命题.(2)真命题.
防范措施
1.平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻.
2.注意基础知识的积累,培养数学抽象能力和逻辑推理素养.
错因分析
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
1．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”．由此推断，“攻破楼兰”是“返回家乡”的
(　　)
A．必要条件　　　　　　　 B．充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．以上答案均不正确
解析：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．
答案：A　
分层练习-拓展
2．设p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0；q：实数x满足2＜x＜3.
(1)若a＝1，且p和q均为真，求实数x的取值范围；
(2)若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
充分条件与
必要条件
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
（2）集合法:A B, A是B的充分条件，B A, A是B的必要条件.
（1）判断条件之间的关系时要注意条件之间关系的方向
（2）证明充要条件时，要分清哪个是条件，哪个是结论
逻辑推理：通过充分条件、必要条件的判断与证明，培养逻辑推理的核心素养
充分条件
必要条件
充要条件
判断与证明
应用
课堂小结

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