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人教版2019高一数学（必修一）第一章 集合与常用逻辑用语
1.4.2 充要条件
学习目标
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．
(重点、难点)
2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．
(重点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．
(难点)
我们初中学过的勾股定理内容是什么？
勾股定理：如果ΔABC为直角三角形，那么a2+b2=c2.
在勾股定理中：
“ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的_____________条件;
“a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的_____________条件.
充分
设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c.
必要
情景导入
我们初中学过的勾股定理的逆定理内容是什么？
勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2. ，那么ΔABC为直角三角形.
在勾股定理的逆定理中：
“ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的_____________条件;
“a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的_____________条件.
必要
设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c.
充分
情景导入
勾股定理及其逆定理有何关系？
勾股定理：如果ΔABC为直角三角形，那么a2+b2=c2.
勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2. ，那么ΔABC为直角三角形.
“若p，则q”
“若q，则p”
互为逆命题.
1.将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.
2. 原命题与逆命题都是真命题.
1.充要条件
新知探究
思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，
则这两个三角形全等；
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3) 若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac<0；
(4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集．


思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，
则这两个三角形全等；
(4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集．
(1) p:两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等
q:两个三角形全等


(4) p: A∪B是空集
q: A与B均是空集


充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p ，就记作p q .
此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.
显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
思考：判断(2)(3)中原命题与逆命题的真假.
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3) 若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac<0；
p:两个三角形全等
q:两个三角形
的周长相等

p:一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个不相等的实数根
q: ac<0

(2) 原命题真，逆命题假


(3) 原命题假，逆命题真
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
充分必要
充要
互为充要
总结归纳
下列各组命题中，哪些p是充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；
（4）p：x=1是一元二次方程ax +bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).
解（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以p q，所以p不是q的充要条件。
（2）因为“若p，则q”是三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，它们均为真命题，既p q，所以p是q的充要条件。
（3）因为x>0时，x>0,y>0不一定成立（为什么），所以p q,所以p不是q的充要条件。
（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，p q，所以p是q的充要条件。
2. 充要条件的判断
新知探究
总结：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性.
概念归纳
1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(　　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件
答案　B　
解析　|x|＝|y| x＝y或x＝－y，x＝y |x|＝|y|.
2．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的______．
解析　因为p q，q r，所以p r，所以p是r的充要条件．
答案　充要条件
练一练
3．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)．
(1)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0；
(2)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c.
练一练
已知： O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
证明：设p:d=r，q:直线l与 O相切.
（1）充分性( p q):如图，作OP⊥l于点P，则OP=d.
若d=r，则点P在 O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)，
连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除点P外直线
l上的点都在 O 的外部，即直线l与 O 仅有一个公共
点P.所以直线l与 O 相切.
（2）必要性(q p):若直线l与 O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d=OP=r.
由(1)(2)可得，d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
2. 充要条件的证明
新知探究
总结：充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性.
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，
q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
概念归纳
例1.已知ab≠0.求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
证明　先证必要性：因为a＋b＝1，
所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝a2－ab＋b2＋ab－a2－b2＝0.
所以必要性成立．
再证充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
典例剖析
典例剖析
1.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
练一练
2.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
练一练
设p：x＞1，q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，
求实数a的取值范围.
解　设A＝{x|x>1}， B＝{x|x>a}.
因为p是q的充分不必要条件，
所以A B，∴a＜1.
3. 充要条件的应用
新知探究
由p是q的充分不必要条件，可知A B，
典例剖析
典例剖析
1. 　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
练一练
*
2．　已知P＝{x|a－4
[解]　因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q P.
所以解得－1≤a≤5，
即a的取值范围是{a|－1≤a≤5}．
练一练
题型一　充要条件的判断　
条件p与结论q的关系与充分、必要条件
条件p与结论q的关系 结论
p q，但q p p是q的充分不必要条件
q p，但p q p是q的必要不充分条件
p q且q p，即p q p与q互为充要条件
p q ，且q p p是q的既不充分也不必要条件
典例剖析
[解析]　在A、D中，p q，∴p是q的充要条件，在B、C中，q p，
∴p不是q的充要条件，故选A、D.
[答案]　AD
典例剖析
[方法技巧] 判断充分、必要条件的步骤
概念归纳
1．设集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的(　　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：p＝3 A＝{－1,3,2} B A A∩B＝B，所以是充分条件；反之，A∩B＝B B A {2,3} {2，－1，p} p＝3，所以是必要条件．故选C.
答案：C　
练一练
2．下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
(2)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形；
(3)p：A∩B＝A，q： UB UA.
解：(1)∵－1≤x≤5 x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件．
(2)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形，
∴p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件．
(3)∵A∩B＝A A B UB UA，∴p是q的充要条件．
练一练
题型二　利用充分、必要条件求参数　
从集合角度看充分、必要条件
如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表．
记法 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}
关系 A B B A A＝B
图示
典例剖析
结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件
续表
[例2]　已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2.
(1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？
(2)当a为何值时，p是q的必要不充分条件？
(3)当a为何值时，p是q的充要条件？
典例剖析
典例剖析
[方法技巧]
由条件关系求参数的值(范围)的步骤
(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．
(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．　　
概念归纳
1．[变设问]若本例条件不变，当a为何值时，q是p的充分不必要条件？
解：若q是p的充分不必要条件，即q p，但p q，亦即p是q的必要不充分条件，同典例2(2)．
所以当a＞2时，q是p的充分不必要条件．
2．[变设问]若本例条件不变，当a为何值时，q是p的必要不充分条件？
解：若q是p的必要不充分条件，即p q，但q p，亦即p是q的充分不必要条件，同典例2(1)．
所以当1≤a＜2时，q是p的必要不充分条件．
练一练
题型三　充要条件的证明与探究　
[例3]　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
典例剖析
典例剖析
[方法技巧]
充要条件的证明思路
根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”：
(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.　　
概念归纳
1．关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的所有根的和为2的充要条件是________．
练一练
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
证明：假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
(1)证明p q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
练一练
(2)证明q p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0.
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
综上，方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
练一练
1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1) p:三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等；
(2) p: ⊙O内两条弦相等，q: ⊙O内两条弦所对的圆周角相等；
(3) p: A∩B是空集， q:A与B之一为空集．
p是q的充要条件
p不是q的充要条件
p不是q的充要条件
课本练习
2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.
①“两个三角形的三边相等”
③“两个三角形的两角和它们的夹边分别相等”
②“两个三角形的两边和它们的夹角分别相等”
④“两个三角形的两角和其中一角的对边相等”
两个三角形全等
①“两个三角形的三边成比例”
③“两个三角形的其中两角相等”
②“两个三角形的两边成比例且它们的夹角相等”
两个三角形相似
课本练习
3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.
分析：设p： AC=BD.
充分性: AC=BD 梯形ABCD为等腰梯形.
AB=CD
q：梯形ABCD为等腰梯形.
必要性:梯形ABCD为等腰梯形 AC=BD.
课本练习
习题1.2
复习巩固
1.举例说明：
（1）p是q的充分不必要条件；
（2） p 是q 的必要不充分条件；
（3） p 是q 的充要条件.
(1)p :0(2)p :0(3)p :x>1, q:x-1>0.
2.在下列各题中，判断p是q的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答）：
（1）p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形；
（2） p ：一元二次方程ax +bx+c=0有实数根， q :b -4ac≥0（a≠0）；
（3） p ：a∈P∩Q， q ：a∈P；
（4） p ：a∈P∪Q， q ：a∈P；
（5） p ：x>y， q ：x >y .
复习巩固
复习巩固
解:（1）p是q的必要不充分条件.
（2） p是q的充要条件.
（3） p是q的充分不必要条件.
（4） p是q的必要不充分条件.
（5） p是q的既不充分又不必要条件.
3.判断下列命题的真假：
（1）点 P 到圆心 O 的距离大于圆的半径是点 P 在⊙O 外的充要条件；
（2）两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件；
（3）A∪B=A是B A的必要不充分条件；
（4）x 或 y 为有理数是 xy 为有理数的既不充分也不必要条件.
复习巩固
解：（1）真.（2）假.（3）假.（4）真.
综合运用
4.已知A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}，
（1）如果 A B，那么p 是q的什么条件？
（2）如果B A，那么p是q的什么条件？
（3）如果A=B，那么p是q的什么条件？
解：（1）充分条件.（2）必要条件.（3）充要条件.
5.设a，b，c∈R.证明：a +b +c =ab+ac+bc 的充要条件是a=b=c.
综合运用
6.设 a，b，c 分别是△ABC 的三条边，且a≤b≤c.我们知道，如果△ABC 为直角三角形，那么 a +b =c （勾股定理）.反过来，如果 a +b =c ，那么△ABC 为直角三角形（勾股定理的逆定理）.由此可知，△ABC为直角三角形的充要条件是a +b =c .
请利用边长 a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明.
拓广探索
解：（1）若△ABC是锐角三角形，则a +b >c .
证明：必要性：当△ABC是锐角三角形时，如图①，过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，则有BD=a-x，根据勾股定理，得b -x =c -（a-x） ，整理得a +b =c +2ax，
∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a +b >c .
充分性：在△ABC 中，a +b >c ，∴∠C 不是直角.
假设∠C为钝角，如图②，过B作BD⊥AC，交 AC 的延长线于 D.
设 CD=y，则 BD =a -y ，根据勾股定理，
得c =（b+y） +（a -y ）=a +b +2by>a +b ，与 a +b >c 矛盾，
∴∠C为锐角，即△ABC为锐角三角形.
∴△ABC 为锐角三角形的一个充要条件是a +b >c .
（2）若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有 a +b 证明：必要性：当△ABC是钝角三角形时，如图②，根据勾股定理，得（b+y） +（a -y ）=c ，即a +b +2by=c ，∵b>0，y>0，∴2by>0，.a +b 充分性：在△ABC 中，a +b 假设∠C为锐角，如图①，显然c =（b -x ）+
（a-x） = a +b -2ax∴∠C为钝角，即△ABC为钝角三角形.
∴△ABC为钝角三角形的一个充要条件是a +b 分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
1．已知m∈Z，关于x的一元二次方程x2－4x＋4m＝0，x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求上述两个方程的根都是整数的充要条件．
分层练习-拓展
分层练习-拓展
2．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
已知集合A＝{x|－2≤x≤6}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．
探究：若x∈A是x∈B成立的________条件，判断实数m是否存在．
分层练习-拓展
分层练习-拓展
1．充要条件的概念
既有p q，又有q p，就记作p q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件．
2．形如“若p，则q”的命题中存在以下四种关系
(1)p是q的充分不必要条件
(2)p是q的必要不充分条件
(3)p是q的充分必要条件
(4)p是q的既不充分又不必要条件
课堂小结
3．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清证明必要性、充分性时是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A B证明了必要性，B A证明了充分性；“A是B的充要条件”的命题的证明：A B证明了充分性，B A证明了必要性．
课堂小结