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人教A版2019高一数学（必修一）第一章 集合与常用逻辑用语
1.5.1 全称量词与存在量词
学习目标
1.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题，提升数学抽象核心素养（重点）
2.会判断全称量词命题、存在量词命题的真假，强化逻辑推理核心素养。（难点）
情景导入
情景导入
全称量词
下列语句是命题吗 (1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系
(1)x>3
(2)2x+1是整数
(3)对所有的x R,x>3
(4)对任意一个x Z,2x+1是整数
是
是
不是
不是
(3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变量 x进行限定;
关系:
(3)(4)
全称量词命题
(4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对 变量x进行限定.
1.全称量词与全称命题
新知探究
1.全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__________,并用符号“ ”表示.
(2)含有全称量词的命题,叫做__________________.
(3)全称命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:___________,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.
(4)全称量词命题的真假判断:要判断一个全称命题量词是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个x0∈M,使得p(x0)不成立即可.
名师点拨常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”.只要含有这些量词,或者命题具有全称量词所表达的含义,就是全称量词命题.
全称量词
全称量词命题
x∈M,p(x)
概念归纳
例1.判断下列全称量词命题的真假.
(1) 所有的素数都是奇数;
(2) x R, |x|+1≥1
(3) 对每一个无理数x,x2也是无理数
解:
(1)∵2是素数,但不是奇数.
∴全称命题(1)是假命题
(2)∵ x R,|x|≥0,从而|x|+1≥1
∴全称命题(2)是真命题
(3)∵ 是无理数,但 是有理数
∴全称命题(3)是假命题
典例剖析
思考：如何判断全称量词命题的真假？
方法:
若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;
若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x)不成立即可。
典例剖析
关系:
存在量词
下列语句是命题吗 (1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系
(1)2x+1=3
(2)x能被2和3整除;
(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;
(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;
不是
不是
是
是
(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.
(3)(4)
存在量词命题
2. 存在量词与存在量词命题
新知探究
2.存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做_________,并用符号“ ”表示.
(2)含有存在量词的命题,叫做__________________.
(3)存在量词命题的表述形式:存在M中的一个x0,使p(x0)成立,可简记为_____________:,读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.
(4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x0,使得命题p(x0)成立即可;否则这一命题就是假命题.
名师点拨常用的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等.只要含有这些量词,或者命题具有存在量词所表达的含义,就是存在量词命题.
全称量词
全称量词命题
x0∈M,p(x0)
概念归纳
例2.下列命题是不是存在量词命题？
（1）有的平行四边形是菱形;
（2）有一个素数不是奇数
都是存在量词命题.
练习： 设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出存在量词命题“ x∈R,q(x)”
解:
存在实数x,使x2=x成立
至少有一个x∈R,使x2=x成立
对有些实数x,使x2=x成立
有一个x∈R,使x2=x成立
对某个x∈R,使x2=x成立
典例剖析
例3.下列语句是不是全称量词命题或存在量词命题
(1) 有一个实数a,a不能取倒数；
(2) 所有不等式的解集A,都是A R；
(3) 有的四边形不是平行四边形。
存在量词命题
全称量词命题
存在量词命题
典例剖析
例4.判断下列存在量词命题的真假
(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;
(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;
(3)有些平行四边形是菱形.
解:
(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.
所以,存在量词命题(1)是假命题.
所以,存在量词命题(2)是假命题.
(1)由于
因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.
（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。
典例剖析
要判断存在量词命题“ x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.
思考：如何判断存在量词命题的真假
方法:
如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题.
例1.判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(5)方程3x－2y＝10有整数解．
素养点睛：考查数学抽象的核心素养．
题型1　全称量词命题与存在量词命题的判断
典例剖析
解：(1)可以改为：所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．
(2)可以改为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．
(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．
(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．
(5)可改写为：存在整数x，y，使3x－2y＝10成立，故为存在量词命题．
典例剖析
全称量词命题与存在量词命题的判断思路　
[注意]　全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
概念归纳
1．给出下列命题：
①存在实数x>1，使x2>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．
其中存在量词命题的个数为 (　　)
A．1　　 B．2　　
C．3　　 D．4
【答案】C　
【解析】①③④为存在量词命题，②为全称量词命题．故选C．
练一练
例2.判断下列命题的真假．
(1) x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4) x∈N，x2>0.
素养点睛：考查数学抽象的核心素养．
题型2　 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
典例剖析
解：(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
所以“ x∈Z，x3<1”是真命题．
(2)真命题，如梯形．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题．
典例剖析
判断全称量词命题与存在量词命题真假的技巧
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可．
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
概念归纳
2．下列是存在量词命题且是真命题的是 (　　)
A． x∈R，x2>0 B． x∈Z，x2>2
C． x∈N，x2∈N D． x，y∈R，x2＋y2<0
【答案】B　
【解析】对于A， x∈R，x2>0是全称量词命题，不合题意；对于B， x∈Z，x2>2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；对于C， x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；对于D， x，y∈R，x2＋y2<0是存在量词命题，是假命题，不合题意．故选B．
练一练
例3.(1)命题“存在实数x，使x>1”的否定是 (　　)
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
题型3　全称量词命题与存在量词命题的否定
典例剖析
(2)命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)
A． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
B． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
C． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
D． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
素养点睛：考查数学抽象的核心素养．
【答案】(1)C　(2)D　
典例剖析
【解析】(1)利用存在性命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.故选C．
(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“ x∈R， n∈N*，使得n＜x2”．故选D．
典例剖析
全称量词命题与存在量词命题的否定的思路
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
概念归纳
3．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则 p是 (　　)
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形都不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
【解析】在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词，“有些”改为“所有”，否定结论，“是等腰三角形”改为“都不是等腰三角形”，故綈p为“所有三角形都不是等腰三角形”．
C
练一练
例4.已知命题“ x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．
题型四：根据命题的真假求参数范围
典例剖析
【素养养成】由命题的真或假推断参数的取值范围考查逻辑推理的核心素养，由全称量词命题和存在量词命题的真假，推断不等式成立与否，考查数学抽象的核心素养．
概念归纳
随堂练
随堂练
随堂练
4.下列语句不是全称量词命题的是(　　)
A.任何一个实数乘零都等于零
B.自然数都是正整数
C.高一(1)班绝大多数同学都是团员
D.所有二次函数的图象都开口向上
解析:“高一(1)班绝大多数同学都是团员”,即“高一(1)班有的同学不是团员”,是存在量词命题.
随堂练
C
解析:当x=0时,0∈N,但0<1.
故“ x∈N,x≥1”是假命题.
随堂练
B
6.存在量词命题“至少有一个整数,它既能被3整除又能被5整除”是　　　　　命题.(填“真”或“假”)
7.若对任意x>3,x>a恒成立,则a的取值范围是　　　　　.
解析:对任意x>3,x>a恒成立,即大于3的数恒大于a,故a≤3.
随堂练
真
a≤3
8.用全称量词表述下列命题,并判断真假:
(1)x2+2x+3≥2;
(2)负数都没有算术平方根;
(3)对角线垂直的四边形是菱形.
解:(1) x∈R,x2+2x+3≥2.
x2+2x+3=(x+1)2+2≥2.是真命题.
(2)所有的负数都没有算术平方根.是真命题.
(3)所有对角线垂直的四边形都是菱形.是假命题.
随堂练
（1）每个四边形的内角和都是360°；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3） x∈{ x｜x是无理数}，x３是无理数．
1. 判断下列全称量词命题的真假:
(1)命题真 (2)命题假 (3)命题假
课本练习
（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
（2）至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数；
（3） x∈{y｜y是无理数｝，x2是无理数．
2.判断下列存在量词命题的真假:
(1)命题真 (2)命题假 (3)命题真
课本练习
错因分析
防范措施是记准两点：一是否定量词，二是否定结论．
错因分析
对量词理解不到位致错
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)矩形有一个外接圆;
(2)非负实数有两个平方根.
错解:(1)存在量词命题.
(2)存在量词命题.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
错因分析
提示:(1)误认为含有存在量词“有一个”,(2)误认为含有存在量词“有两个”,即判断为存在量词命题.
正解:(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”,是全称量词命题.
(2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”,是全称量词命题.
错因分析
防范措施
1.全称量词命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题,存在量词命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题,是对某集合一些元素的限定,而不是对结论的限定.
2.注意对全称量词命题和存在量词命题概念的理解,培养数学抽象素养.
错因分析
【变式训练】 用全称量词或存在量词表述下列命题:
(1)有理数都能写成分数形式;
(2)n边形的内角和等于(n-2)×180°;
(3)有一个实数乘任意一个实数都等于0.
解:(1)任意一个有理数都能写成分数形式.
(2)所有n边形的内角和都等于(n-2)·180°.
(3)存在一个实数x,它乘任意一个实数都等于0.
错因分析
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
17．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”(“ ”表示“任意”)或“ ”(“ ”表示“存在”)表示下面的命题，再判断真假：
(1)实数的平方大于或等于0；
(2)存在一对实数(x，y)，使2x－y＋1＜0成立；
(3)勾股定理．
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
全称量词与存在量词
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
全称量
词命题
存在量
词命题
逻辑推理：通过具体命题真假的判断，培养逻辑推理的核心素养
（1）注意全称量词命题和存在量词命题的自然语言与符号语言的转化
（2）注意省略量词的命题的真假判断
（3）对于“至多”“至少”型的命题，多采用逆向思维的方法处理
判断全称、存在量词命题真假的方法:
（1）若全称量词命题为真，则给定集
合中每一个元素x使p(x)为真，若为假命题，则只需举一反例即可.
（2）若存在量词命题为真，则给定集
合中只要有一个元素x使p(x)为真即可，否则为假命题.
否定
否定结论
课堂小结

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