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人教A版2019高一数学（必修一）第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算
第二课时 全集和补集
学习目标
1.了解全集的含义及其符号表示．(易混点)
2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)
3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)
情景导入
出席各种学术会议，听各类学术报告，是科研工作者实现科研目标的重要手段，也是年轻学者积累科学知识的重要途径．
一次学术报告会，在一个可容纳300人的报告厅举行.
【问题1】若让你统计参加报告会的人数，你会采用什么方法？
【问题2】若小明同学制作三张签名表(每张可供100人签名)，
让每名参会人员进入会场时签名，最后发现未到会的人数较少．
如何计算参加报告会的人数？
情景导入
一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作 .
请指出以下例子中的全集：
（1）在实数范围内解方程：
（2）在有理数范围内解方程：
一、全集的概念
新知探究


二、补集的概念
新知探究
例1.已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}， UB＝{1,4,6}．求集合B.
解　方法一：∵A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又 UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
方法二：借助Venn图，如图所示：
由图可知B＝{2,3,5,7}．
补 集运算
典例剖析
[方法总结]
求集合补集的基本方法及处理技巧
(1)基本方法：定义法．
(2)两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，直接套用定义或借助Venn图求解．
②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
概念归纳
1．思考辨析
(1)集合 RA＝ QA.(　　)
(2)一个集合的补集一定含有元素．(　　)
2．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，则 UA＝(　　)
A．{6,8}　　　 B．{5,7}
C．{1,3,5,7}　 D．{2,4,6,8}
解析　因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，所以 UA＝{2,4,6,8}．
×
×
D
练一练
3．设全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，则 UP等于(　　)
A．{x|0≤x＜1，或x＞1}　 B．{x|x＜1}
C．{x|x＜1或x＞1}　 D．{x|x＞1}
解析　因为U＝{x|x≥0}，P＝{1}，所以 UP＝{x|x≥0，且x≠1}＝{x|0≤x＜1，或x＞1}．
A
练一练
4．已知全集为R，集合A＝{x|x＜1，或x≥5}，则 RA＝________.
解析　如图所示，集合A＝{x|x＜1，或x≥5}的补集是 RA＝{x|1≤x＜5}．
{x|1≤x＜5}
练一练
5.设U＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}．
求 UA， UB.
解　方法一：在集合U中，
∵x∈Z，∴x的值为－5，－4，－3,3,4,5.
∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，
∴ UA＝{－5，－4,3,4}，
UB＝{－5，－4,5}．
方法二：借助Venn图，如图所示：
则 UA＝{－5，－4,3,4}， UB＝{－5，－4,5}．
练一练


集合三运算：交集、并集、补集.
为什么要学习补集呢？
正难则反，从反面入手——补集能帮我们更好地解决反面问题.
三. 补集的性质
新知探究
并、交集的运算性质
例2.设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求 RB， R(A∪B)，( RA)∩B.
解　把集合A，B在数轴上表示如下：
由图知 RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2＜x＜10}，
所以 R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．
因为 RA＝{x|x＜3，或x≥7}，
所以( RA)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}．
集合的交、并、补综合运算
典例剖析
[方法总结]
1．求解与不等式有关集合问题的方法
当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解，要注意求解时端点的值是否能取到．
2．求解集合混合运算问题的一般顺序
解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，然后再运算其他，如求( RA)∩B时，可先求出 RA，再求交集．
概念归纳
概念归纳
1.设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩( UN)＝{2,4}，则N＝(　　)
A．{1,2,3}　　 B．{1,3,5}
C．{1,4,5}　 D．{2,3,4}
答案　B　
解析　画出Venn图，阴影部分为M∩( UN)＝{2,4}，所以N＝{1,3,5}．
练一练
2.已知集合A＝{x|1≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，全集为实数集R.
(1)求A∪B，( RA)∩B；
(2)如果A RC，求a的取值范围．
解　(1)因为A＝{x|1≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，
所以A∪B＝{x|1≤x＜10}，( RA)∩B＝{x|x＜1，或x≥7}∩{x|2＜x＜10}＝{x|7≤x＜10}．
(2)由题意知 RC＝{x|x≥a}，又A ( RC)，故a≤1.
练一练
例3.设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且( UA)∩B＝ ，
求实数m的取值范围．
解　由已知A＝{x|x≥－m}，得 UA＝{x|x＜－m}，
因为B＝{x|－2＜x＜4}，( UA)∩B＝ ，在数轴上表示如图
所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.
交、并、补运算的应用
典例剖析
[变式]将典例中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B≠ ”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解　由已知得A＝{x|x≥－m}，所以 UA＝{x|x＜－m}，又( UA)∩B≠ ，所以－m＞－2，解得m＜2.
典例剖析
[方法总结]
由集合的补集求解参数的方法
(1)有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．
(2)无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．
概念归纳
B
解析：(1)由题意，画出Venn图可知．
∴A＝{2,3}，B＝{2,4}，则3∈A且3 B.
练一练
练一练
练一练
练一练
练一练
练一练
易错警示　忽视语言转换的等价性
错因分析
B
易错防范：容易错选A，原因是将集合M看作直线y＝x＋1上的点的集合．防范措施是在变形的过程中，不可忽视等价性．
正解：M是直线y＝x＋1上除去点(2,3)的点的集合．集合N是坐标平面内不在直线y＝x＋1上的点的集合，所以M∪N是坐标平面上除去(2,3)以外的点构成的集合，它的补集 I(M∪N)＝{(2,3)}，应选B．
错因分析
课本例题
例5 设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求 UA， UB.
解：根据题意可知，U={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以
UA={4，5，6，7，8}，
UB={1，2，7，8}.
例 6 设全集U={x|x 是三角形），A={x|x 是锐角三角形}，B={x|x 是钝角三角形），求A∩B， U（A∪B）.
解：根据三角形的分类可知
A∩B=0，
A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
U（A∪B）={x|x是直角三角形}.
课本例题
1.已知U={1，2，3，4，5，6，7），A={2，4，5），B=（1，3，5，7），求A∩（ UA），（ UB ）∩（ UB）.
解： UA ={1，3，6，7}， UB ={2，4，6}，
∴ A∩（ UA） ={2，4，5}∩{2，4，6}={2，4}，
（ UB ）∩（ UB） ={1，3，6，7}∩{2，4，6}={6}.
课本练习
2.设S={x|x是平行四边形或梯形}，A=（x|x是平行四边形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是矩形}，求B∩C， AB ， SA.
解：B∩C={x|x是菱形，且x是矩形}={x|x是正方形}，
SB={x|x是平行四边形或梯形，但x不是菱形}
={x|x是邻边不相等的平行四边形或梯形}，
SA ={x|x是平行四边形或梯形，但x不是平行四边形}={x|x 是梯形}.
课本练习
3.图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示：
（1）（ UA ）∩（ UB ）；
（2 ）（ UA ）∩（ UB ）.
课本练习
习题1.3
复习巩固
1.集合A={x|2≤x<4），B={x|3x-7≥8-2x}，求A∪B，A∩B.
解：B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3}，
∴A∪B={x|2≤x<4}∪{|x|x≥3}={x|x≥2}，
A∩B= {x|2≤x<4}∩{x|x≥3}={x|3≤x<4}.
2.设 A={x|x是小于9的正整数}，B={1，2，3}，C={3，4，5，6}.求A∩B，A∩C，A∩（B∪C），A∪（B∩C）.
解：A={1，2，3，4，5，6，7，8}，
B={1，2，3}，
C={3，4，5，6}，
∴A∩B={1，2，3}，A∩C={3，4，5，6}，
B∪C={1，2，3，4，5，6}，B∩C={3}，
∴A∩（B∪C）={1，2，3，4，5，6}，
A∪（B∩C）={1，2，3，4，5，6，7，8）.
复习巩固
3.学校开运动会，设A={x|x是参加100m跑的同学），B={x|x是参加200m跑的同学），C=（x|x是参加400m跑的同学），学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：
（1）A∪B；（2）A∩C.
解：“每个参加比赛的同学最多只能参加两项比赛”表示为A∩B∩C= .
（1）A∪B表示参加100 m或参加200 m跑
的同学组成的集合.
（2）A∩C表示既参加100 m又参加400 m
跑的同学组成的集合.
复习巩固
4.已知集合A={x|3≤x<7}，B={x|2 R （A∩B），（ R A）∩B，A∪( R B）.
解：因为A={x|3≤x<7}，B ={x|2所以A∪B={x|2 R A={x|x<3，或x≥7}，
R B={x|x≤2，或x≥10}，
所以 R （A∪B）={x|x2，或x>10}；
R （A∩B）= {x|x<3，或x≥7}；
（ R A）∩B={x|2A∪（ R B）= {x|x≤2，或3≤x<7，或x≥10}.
综合运用
5.设集合A={x|（x-3）（x-a）=0，a∈R），
B={x|（x-4）（x-1）=0}，
求 A∪B，A∩B.
解：当a=3 时，A={3}，B={1，4}，
A∪B={1，3，4}，A∩B=O；
当a=1时，A={1，3}，B={1，4}，
A∪B={1，3，4}，A∩B={1}；
当a=4时，A={3，4}，B={1，4}，
A∪B={1，3，4}，A∩B={4}；
当a≠1，且a≠3，且a≠4时，AUB={1，3，4，a}，A∩B= .
综合运用
6.已知全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤10），A∩（ U B）={1，3，5，7}，
试求集合 B.
解：U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，：A∩（C，B）={1，3，5，7}，∴{1，3，5，7} A，而集合 B 中不包含{1，3，5，7}，
∴B={0，2，4，6，8，9，10}.
拓广探索
分层练习-基础
C
A
分层练习-基础
C
分层练习-基础
C
分层练习-基础
C
分层练习-基础
AD
分层练习-基础
AB
分层练习-基础
{7,9}
分层练习-基础
{a|a≥2}
分层练习-基础
2
13
分层练习-基础
分层练习-基础
B
分层练习-巩固
{0,1,3,4,5}
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
1．设全集U＝R，集合A＝{x|－5＜x＜4}，集合B＝{x|x＜－6或x＞1}，集合C＝{x|x－m＜0}，求实数m的取值范围，使其同时满足下列两个条件．
①C (A∩B)；②C ( UA)∩( UB)．
分层练习-拓展
解：因为A＝{x|－5＜x＜4}，B＝{x|x＜－6或x＞1}，
所以A∩B＝{x|1＜x＜4}．
又 UA＝{x|x≤－5或x≥4}， UB＝{x|－6≤x≤1}，
所以( UA)∩( UB)＝{x|－6≤x≤－5}．
而C＝{x|x＜m}，因为当C (A∩B)时，m≥4；
当C ( UA)∩( UB)时，m＞－5，所以m≥4.
即实数m的取值范围为{m|m≥4}．
分层练习-拓展
2．某班共有26名同学参加了学校组织的数学、英语两科竞赛，其中两科都取得优秀的有8人，数学取得优秀但英语未取得优秀的有12人，英语取得优秀而数学未取得优秀的有4人，试求出数学取得优秀的人数、英语取得优秀的人数及两科均未取得优秀的人数．
[点拨]　将本问题转化为纯数学问题：设全集U＝{某班26名同学}，集合A＝{数学取得优秀的同学}，集合B＝{英语取得优秀的同学}，且card(A)表示A中元素个数．
分层练习-拓展
解：设全集U＝{某班26名同学}，集合A＝{数学取得优秀的同学}，集合B＝{英语取得优秀的同学}．
设任意集合X中的元素个数为card(X)，
则card(U)＝26，card(A∩B)＝8，card[A∩( UB)]＝12，card[B∩( UA)]＝4.
数学取得优秀的有
card(A)＝card(A∩B)＋card[A∩( UB)]＝8＋12＝20(人)．
英语取得优秀的有
card(B)＝card(A∩B)＋card[B∩( UA)]＝8＋4＝12(人)．
两科均未取得优秀的有
card[ U(A∪B)]＝card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)＝26－20－12＋8＝2(人)．
3．我们知道，如果集合A S，那么S的子集A的补集为 SA＝{x|x∈S，且x A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x B}叫做集合A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,6,7,8}，则有A－B＝{1,2,3}，B－A＝{6,7,8}．
据此，试回答下列问题：
(1)S是高一(1)班全体同学的集合，A是高一(1)班全体女同学的集合，求S－A及 SA；
分层练习-拓展
(2)在下列各图中用阴影表示集合A－B；
(3)如果A－B＝ ，集合A与B之间具有怎样的关系？
解：(1)S－A＝ SA＝{x|x是高一(1)班的男同学}．
(2)如图所示：
(3)A B.
分层练习-拓展
补集
全集
定义
性质
注意解题过程中出现空集的情况.
逻辑推理：在补集运算时，通过定义或数形结合法的运用，培养逻辑推理的核心素养
课堂小结

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