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人教A版2019高一数学（必修一）第一章 集合与常用逻辑用语
1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
学习目标
1.能写出命题的否定，并会判断真假；会正确的对全称量词命题和存在量词命题进行否定（重点）
2.理解全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题（难点）
情景导入
一位农夫请来了物理学家、工程师和数学家，想用最少的篱笆围出最大的面积．工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计．物理学家将篱笆拉成一条直线，假设篱笆有无限长，认为围起半个地球总够大了．数学家一声不响地用很少的篱笆把自己围起来，说道：“我现在是在外面”．
【问题】在数学解题时，人们的思维习惯大多是正面的、顺向的. 但是，有些数学问题正面或顺向进行难以解决．从上面的故事，你能受到什么启发呢？
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.
全称量词命题和存在量词命题的否定
新知探究

否定结论
概念归纳


典例剖析

否定结论
概念归纳
典例剖析
典例剖析
常见词语的否定形式
原词语 否定词语 原词语 否定词语
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个
小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个
任意的 某个 能 不能
所有的 某些 等于 不等于
总结归纳
总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，
x的范围没有变，只是对结论进行了否定.一个命题和它的否定
不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假.
注意点：
总结归纳
【例1】 写出下列全称量词命题的否定,并判断其真假.
(1)所有矩形的对角线相等;
(2)不论m取什么实数,x2+x-m=0必有实数根;
(3)等圆的面积相等,周长相等.
解:(1)该命题的否定:有的矩形对角线不相等.是假命题.
(2)该命题的否定:存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根.当Δ=1+4m<0,
即 时,方程没有实数根,故为真命题.
(3)该命题的否定:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等.是假命题.
题型一 全称量词命题的否定与真假判断
典例剖析
若题(2)变为“不论m取什么实数,关于x的方程x2+2mx+m2+1=0都无实数根”,试写出其否定,并判断其真假.
解:该命题的否定:存在实数m,使关于x的方程x2+2mx+m2+1=0有实数根.由于Δ=(2m)2-4(m2+1)=-4<0,故方程无实数根.所以其否定为假命题.
典例剖析
全称量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)全称量词命题的形式是:“ x∈M,p(x)”,其否定形式应该是先把全称量词改为存在量词,再对命题p(x)进行否定,即“ x∈M, p(x)”.所以全称量词命题的否定是存在量词命题.
(2)若全称量词命题为真命题,则其否定命题就是假命题;若全称量词命题为假命题,则其否定命题就是真命题.
概念归纳
命题“ x∈R,|x|+x2≥0”的否定是(　　)
A. x∈R,|x|+x2<0 B. x∈R,|x|+x2≤0
C. x∈R,|x|+x2<0 D. x∈R,|x|+x2≥0
解析:根据全称量词命题的否定形式知,命题“ x∈R,|x|+x2≥0”的否定为“ x∈R,|x|+x2<0”.故选C.
练一练
C
【例2】 写出下列存在量词命题的否定并判断真假:
(1) x>1,使x2-2x-3=0;
(2)存在一个实数x,使得x2+x+1≤0;
(3)至少有一个点(x,y),满足y=2x+1.
解:(1)该命题的否定: x>1,x2-2x-3≠0.是假命题.
(2)该命题的否定:对所有实数x,都有x2+x+1>0.利用配方法可得其否定为真命题.
(3)该命题的否定:对所有的点(x,y),都不满足y=2x+1.是假命题.
典例剖析
题型二 存在量词命题的否定与真假判断
存在量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)存在量词命题的形式是:“ x∈M,p(x)”,其否定形式是先把存在量词改为全称量词,再对命题p(x)进行否定,即“ x∈M, p(x)”,所以存在量词命题的否定是全称量词命题.
(2)存在量词命题的否定的真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.
概念归纳
写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.
(1)有些被5整除的整数末位是0;
(2)存在x∈R,x>2;
(3)存在x∈R,x2<0.
解:(1)该命题的否定:所有被5整除的整数末位都不是0.是假命题.
(2)该命题的否定:任意x∈R,有x≤2,是假命题.
(3)该命题的否定:任意x∈R,x2≥0,是真命题.
练一练
随堂练
随堂练
随堂练
随堂练
随堂练
6.命题“存在x∈R,2x≤0”的否定是(　　)
A.不存在x∈R,2x>0 B.存在x∈R,2x≥0
C.对任意的x∈R,2x≤0 D.对任意的x∈R,2x>0
D
随堂练
7.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数
D
随堂练
8.存在量词命题“有些奇数是合数”的否定是　　 　　　　　,
这是　　　　　命题.(填“真”或“假”)
解析:存在量词命题“有些奇数是合数”的否定是
“任何一个奇数都不是合数”,这是假命题.
9.命题“正多边形的内角都相等”的否定是　　　 　 　　　.
解析:原命题为全称量词命题,可以改写为“所有的正多边形的内角都相等”,
故否定为“有的正多边形的内角不都相等”.
任何一个奇数都不是合数
假
有的正多边形的内角不都相等
随堂练
10.写出下列命题的否定.
(1)所有的矩形都是平行四边形;
(2) x∈R,x2-2x+1≤0;
(3)有些实数的绝对值是正数;
(4) x∈R,x2+1<0.
解:(1)否定:有的矩形不是平行四边形.
(2)否定: x∈R,x2-2x+1>0.
(3)否定:任意实数的绝对值都不是正数.
(4)否定: x∈R,x2+1≥0.
随堂练
1.写出下列命题的否定：
(1) n∈Z，n∈Q；
n∈Z，n Q.
(2)任意奇数的平方还是奇数；
存在一个奇数的平方不是奇数.
存在一个平行四边形不是中心对称图形.
课本练习
2.写出下列命题的否定
(1)有些三角形是直角三角形；
否定： 所有三角形都不是直角三角形
(2)有些梯形是等腰梯形；
否定： 每个梯形都不是等腰梯形
(3)存在一个实数，它的绝对值不是正数．
否定：所有实数的绝对值都是正数
课本练习
习题1.5
复习巩固
1.判断下列全称量词命题的真假：
（1）每一个末位是 0的整数都是5的倍数；
（2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 距离相等。
（3）对任意负数 x，x 的平方是正数；
（4）梯形的对角线相等.
解：（1）真.（2）真.（3）真.（4）假.
2.判断下列存在量词命题的真假：
（1）有些实数是无限不循环小数；
（2）存在一个三角形不是等腰三角形；
（3）有些菱形是正方形；
（4）至少有一个整数n，n +1是4的倍数.
复习巩固
解：若n=2k，k∈Z，则n +1=4k +1不是4的倍数；若n=2k-1，k∈Z，则n +1=4k -4k+2不是4 的倍数，故命题为假命题.
真.
真
真
3．写出下列命题的否定．
(1) x∈Z，|x|∈N；
p： x∈Z，|x| N
(2)所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
p：存在一个可以被5整除的整数,末位数字不是0
(3) x∈R，x＋1≥0．
p： x∈R，x＋1<0
(4)存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
p： 所有四边形的对角线都不互相垂直
复习巩固
4.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
（1）平面直角坐标系下每条直线都与x轴相交；
（2）每个二次函数的图象都是轴对称图形；
（3）存在一个三角形，它的内角和小于 180°；
（4）存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.
综合运用
解：
（1）假.平面直角坐标系下，有些直线不与x 轴相交.
（2）真.有些二次函数的图象不是轴对称图形.
（3）假.任意一个三角形的内角和都不小于180°.
（4）真.任意一个四边形的四个顶点都在同一个圆上.
综合运用
5.将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写出它们的否定：
（1）平行四边形的对角线互相平分；
（2）三个连续整数的乘积是 6 的倍数；
（3）三角形不都是中心对称图形；
（4）一元二次方程不总有实数根.
综合运用
解：
（1）所有的平行四边形的对角线互相平分.
否定：有的平行四边形的对角线不互相平分.
（2）任意三个连续整数的乘积是6的倍数.
否定：存在三个连续整数的乘积不是6的倍数.
（3）至少有一个三角形不是中心对称图形.
否定：所有的三角形都是中心对称图形.
（4）有些一元二次方程没有实数根.
否定：任意一个一元二次方程都有实数根.
综合运用
拓广探索
6.在本节，我们介绍了命题的否定的概念，知道一个命题的否定仍是一个命题，它和原先的命题只能一真一假，不能同真或同假.
在数学中，有很多“若p，则q”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题.例如：
①若x>1，则2x+1>5；（假命题）
②若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等.（真命题）
这里，命题①②都是省略了量词的全称量词命题.
（1）有人认为，①的否定是“若x>1，则2x+1≤5”，②的否定是“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线不相等”.你认为对吗？如果不对，请你正确地写出命题①②的否定.
（2）请你列举几个“若p，则q”形式的省略了量词的全程量词命题，分别写出它们的否定，并判断真假.
拓广探索
解：
（1）不对.
①的否定： x>1，2x+1≤5.（真命题）
②的否定：至少有一个等腰梯形的对角线不相等.（假命题）
（2）“若p，则q”形式的省略了量词的全称量词命题，
1°“若四边形为菱形，则它的四条边相等”为真命题，命题的否定是：“ 一个四边形是菱形，它的四条边不相等”，为假命题；
2°“若三角形是等边三角形，则它的三内角相等”为真命题，其否定为：“ 一个三角形是等边三角形，则它的三内角不相等”，为假命题。
拓广探索
易错点 忽略隐含量词致错
写出下列命题的否定.
(1)有理数是实数;
(2)能被8整除的数都能被4整除.
错解:(1)该命题的否定:有理数不是实数.
(2)该命题的否定:能被8整除的数不能被4整除.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
错因分析
提示:由于有些全称量词命题或存在量词命题隐含了量词,从而导致未变化量词而直接否定结论出现错误.
正解:(1)原命题省略了全称量词“所有的”,可以改写为“所有的有理数都是实数”,故原命题的否定为:至少存在一个有理数不是实数.
(2)原命题省略了全称量词“每一个”,可以改写为“每一个能被8整除的数都能被4整除”,故原命题的否定为:有些能被8整除的数不能被4整除.
错因分析
防范措施
1.对于隐含了量词的命题的否定,先补全量词再进行否定.要注意对其进行改写进而找出量词,同时应把握每一个命题的含义,写出否定形式后最好结合它们的真假性(一真一假)进行验证.
2.注意对全称量词命题和存在量词命题的否定形式的理解,培养数学抽象素养.
错因分析
分层练习-基础
D
分层练习-基础
C
分层练习-基础
C
分层练习-基础
A
分层练习-基础
D
分层练习-基础
C
分层练习-基础
ABD
二、填空题(每小题5分，共15分)
8．【多空题】命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为 ；此命题的否定是 (用符号表示)，是________命题(填“真”或“假”)．

分层练习-基础
x，y∈R，x＋y>1　
　 x，y∈R，x＋y≤1
假
分层练习-基础
x∈R，|x|＋x2<0
分层练习-基础
x∈R，x2＋2(a－1)x＋2a＋6≠0
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-巩固
D
分层练习-巩固
有的同位角不相等
所有的三角形都不是直角三角形
分层练习-巩固
1．写出下列命题的否定：
(1)可以被5整除的数，末位数是0.
(2)能被3整除的数，也能被4整除．
以下是小明和小红的解答过程，你能找出错误之处吗？
小明：(1)可以被5整除的数，末位数不是0.
(2)能被3整除的数，不能被4整除．
小红：(1)有些可以被5整除的数，末位数是0.
(2)存在一个能被3整除的数，能被4整除．
分层练习-巩固
提示：小明解答本题时忽略了题中隐含的量词，如(1)实际上含有量词“任意”，对隐含量词没有否定；小红解答本题时虽然注意到了隐含的量词，对这些量词也作了否定，但对结论没有否定．
正解如下：
(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为“有一些可以被5整除的数，末位数不是0”．
(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为“存在一个能被3整除的数，不能被4整除”．
分层练习-巩固
2．一位探险家被土著人抓住，土著人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸”．
请问：探险家该如何保命？
解：探险家应该说“我将被五马分尸”．
理由如下：
如果土著人首领将探险家五马分尸，那就说明探险家说的是真话，而说真话应该被烧死；如果土著人首领将探险家烧死，那就说明探险家说的是假话，而说假话应该被五马分尸．所以土著人首领怎么处置探险家都不行，只能让他活着．
分层练习-拓展
1.请举出几个生活中的全称量词命题或存在量词命题，并写出这些命题的否定．
解：(1)这个篮子里的鸡蛋都是好的．
其否定是这个篮子的鸡蛋并非都是好的．
(2)某箱产品至少有一件是次品．
其否定是某箱产品都是正品．(答案不唯一)
分层练习-拓展
总结：1.全称量词命题和存在量词命题的否定
命题 命题的否定
全称量词命题 存在量词命题
存在量词命题 全称量词命题
2.对省略了量词的命题可补上量词后进行否定.
课堂小结

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