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3.3幂函数题型总结
【题型1 对幂函数的概念的理解】
【例1】下列函数是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.1】在函数，，，中，幂函数的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【变式1.2】下列结论正确的是（ ）c
A．幂函数的图象一定过原点
B．时，幂函数是增函数
C．幂函数的图象会出现在第四象限
D．既是二次函数，又是幂函数
【变式1.3】下列函数是幂函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 求幂函数的函数值、解析式】
【例2】已知函数是幂函数.则（ ）
A． B．2 C． D．1
【变式2.1】已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式2.2】已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.3】已知幂函数满足，求的值（ ）
A．3 B． C．4 D．
【题型3 根据函数是幂函数求参数值 ( https: / / zujuan. / gzsx / zsd28210 / " \o "根据函数是幂函数求参数值 )】
【例3】已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．或
【变式3.1】已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．或
【变式3.2】已知点在幂函数的图象上，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3.3】已知函数的图象过点，则实数（ ）
A． B． C．或 D．或
【题型4 求幂函数的定义域、值域】
【例4】幂函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【变式4.1】已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式4.2】已知幂函数的定义域为，且，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式4.3】下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【题型5 幂函数的图象】
【例5】下列图象可能为幂函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5.1】图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则指数的值依次可以是（ ）
A．，3， B．，3，
C．，，3 D．，，3
【变式5.2】函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5.3】如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象．已知a分别取，2四个值，则与曲线相应的a依次为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 由幂函数的图象与性质求参数】
【例6】已知幂函数为奇函数，且在区间上单调递增，则等于（ ）
A．1 B．2 C．1或3 D．3
【变式6.1】若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（ ）
A． B．3 C．或3 D．2或
【变式6.2】幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6.3】已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件的不同有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型7 比较幂值的大小】
【例7】已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7.1】设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式7.2】下列比较大小中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7.3】若幂函数是上的偶函数，且在区间上单调递减，若，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【题型8 利用幂函数的性质解不等式】
【例8】已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8.1】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8.2】已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称.
(1)求的值及函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【变式8.3】已知幂函数在定义域上不单调．
(1)求函数的解析式；
(2)函数是否具有奇偶性？请说明理由；
(3)若，求实数的取值范围．
幂函数答案
【例1】下列函数是幂函数的是（ ）
【解】由幂函数的定义可知，是幂函数．故选：C.
【变式1.1】【解】函数是幂函数，函数，都是二次函数，函数是一次函数，它们都不是幂函数，所以所给函数中幂函数的个数是1，故选：B.
【变式1.2】【解】幂函数图象不一定过原点，例如，函数的图象不经过原点，故A不正确；
当时，幂函数，，在定义域内均为增函数，故B正确；
由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确；
函数是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如，故D不正确.故选：B.
【变式1.3】【解】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确，故选：D.
【题型2 求幂函数的函数值、解析式】
【例2】【解】因为函数是幂函数，所以，所以，
所以，所以，故选：C.
【变式2.1】【解】因为函数为幂函数，故可设，因为函数的图象过点，
所以，所以，所以，即.故选：A.
【变式2.2】【解】设，由的图象过点，则，解得，所以，
故选：A.
【变式2.3】【解】设幂函数的解析式为，，所以.故选：D.
【题型3 根据函数是幂函数求参数值 ( https: / / zujuan. / gzsx / zsd28210 / " \o "根据函数是幂函数求参数值 )】
【例3】【解】因为幂函数的图象不过原点，则，解得.
故选：B.
【变式3.1】【解】因为幂函数的图象不过原点，则，
解得，故选：B.
【变式3.2】【解】由题意得且，解得，则，故选：C．
【变式3.3】【解】的图象过点，则，即，解得或．
故选：D.
【题型4 求幂函数的定义域、值域】
【例4】【解】函数的定义域为，故选：B.
【变式4.1】【解】当是正偶数时，显然，即其值域为．
当时，的值域为，但不是正偶数．
故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件．故选：A.
【变式4.2】【解】因为幂函数的定义域为R，故，解得，又，所以，
检验，时，，即，满足题意．故选：C.
【变式4.3】【解】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为，
的定义域和值域均为，故A错误；
对于B，的定义域为，其值域为，
的定义域为，其值域为，故B错误；
对于C，的定义域为，其值域为，
的定义域为，其值域为，故C正确；
对于D，的定义域为，其值域为，
的定义域和值域均为，故D错误，故选：C.
【题型5 幂函数的图象】
【例5】【解】幂函数（为常数）的性质有：
若自变量有意义，则必过原点，根据这条性质，排除A、B、C，故D正确；故选：D.
【变式5.1】【解】由图可知，：在第一象限内单调递减，则指数的值满足；
：在第一象限内单调递增，且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足；
：在第一象限内单调递增，且图象呈现下凸趋势，则指数的值满足.故选：D.
【变式5.2】【解】易知满足，即函数为偶函数；
图象关于轴对称，可排除D，易知当时，函数单调递增，可排除C，
且当时，函数的增长速度越来越慢，其图象在图象下方，排除A；故选：B.
【变式5.3】【解】根据幂函数的性质可知，当时，在上递增，且在上越大，增长速度越快，当时，在上递减，从而可知，曲线对应的，
曲线对应的依次为，故选：A.
【题型6 由幂函数的图象与性质求参数】
【例6】【解】因为在区间上单调递增，所以，解得，
又因为，所以，且为奇函数，所以，故选：C.
【变式6.1】【解】函数为幂函数，且在区间上单调递增，
所以，解得，故选：A.
【变式6.2】【解】因为幂函数，在区间上是减函数，
所以，解得：，因为，得，
当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去，
当时，函数是偶函数，关于轴对称，符合题意，
当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去，所以.故选：A.
【变式6.3】【解】因为函数幂函数，
所以，解得或，因为函数在上是增函数，
所以，解得，所以（舍去），
因为函数是奇函数，当时，幂指数，不合题意；
当时，幂指数，为奇函数，符合题意；所以满足条件的为，故选：A.
【题型7 比较幂值的大小】
【例7】【解】,幂函数在上单调递增，因为,
所以,即,所以,故选：D.
【变式7.1】【解】由题意可知，，，
因为在上是增函数，且，所以．故选：C.
【变式7.2】【解】A选项：由函数在上单调递增，所以，A选项错误；
B选项：由函数在上单调递减，则，B选项错误；
C选项：，，又函数在上单调递增，所以，即，C选项正确；
D选项：，函数在上单调递增，
则，即，D选项错误；故选：C.
【变式7.3】【解】为偶函数，所以，又因为幂函数在上单调递减，
所以，即．故选：B.
【题型8 利用幂函数的性质解不等式】
【例8】【解】因为为幂函数，所以，解得或，
当时，，此时为偶函数，不符合题意；
当时，，此时为奇函数，符合题意；
所以，则的定义域为，且函数在上单调递减，
则在上单调递减，所以不等式，
即或或，解得或无解或，
所以实数的取值范围为，故选：C.
【变式8.1】【解】因为函数在上单调递减，所以，又，
所以，因为函数的图象关于轴对称，
所以为偶数，所以，
函数的定义域为，且函数在和上单调递减，
当时，，当时，，所以不等式可化为
或或，
所以或，所以的取值范围为.故选：C.
【变式8.2】【解】（1）由幂函数在上单调递增知，，解得，
又，则或或，
当或时，，此时，不符合的图象关于轴对称，故舍去.
当时，，定义域为，且，所以图像关于轴对称，符合题意.综上所述，.
（2）由（1）得，易知为偶函数，且在上单调递增，
因为，所以，两边平方，得，
化简得，解得或，故实数的取值范围为.
【变式8.3】
【解】（1）由幂函数，得，解得或，
若，则在定义域内单调递增，不合题意；
若，则在定义域内单调递减，
但在定义域内不单调，符合题意；所以函数的解析式为.
（2）函数为奇函数，理由如下：
函数的定义域关于原点对称，
且，所以函数为奇函数.
（3）由及为奇函数，得，
即，而在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，解得或，
所以实数的取值范围.

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