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第 2 章
一元二次函数、方程和不等式
人教A版2019必修第一册
2.2 基本不等式（第1课时）
目录
CATALOG
01.基本不等式的证明
03.典型例题分析
02.利用基本不等式求最值
04.小结及随堂练习
学习目标
知道基本不等式的内容，明确基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；
会利用不等式的性质证明基本不等式，能说明基本不等式的几何意义；
能结合具体实例，明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正、二定、三相等”；
能用基本不等式模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值，在解决具体问题的过程中，感受从特殊到一般、转化与化归、数形结合的数学思想方法．
基本不等式的证明
基本不等式（第1课时）
导入新知
如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开的第24届国际数学 家大会的会标。你还记得我们得出什么样的结论吗？
问题1　
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想。将代数与几何紧密的结合在了一起。
学习新知
文字语言：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数。
问题2:
认识新知
基本不等式是在重要不等式基础上转化出来的，
是否对所有的a>0，b>0都能成立？
请给出证明．
问题3
认识新知

方法一　(作差法)
方法二　(性质法)
认识新知
基本不等式的证明 方法一　(作差法)


探究新知
证明： （当且仅当a=b时，等号成立）
思考：我们是否还可以用其他方法证明基本不等式？
证明： 要证
当且仅当a=b时，不等式中的等号成立．
只要证
只要证
只要证 显然成立.
所以原不等式成立．
分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使其成立的充分条件的证明方法叫分析法；
综合法：把这种从已知出发进行推证的方法叫综合法.
该证明方法称为分析法“执果索因”
当且仅当a=b时等号成立.
证明：
综合法“由因导果”
探究新知
问题4：
初中对乘法公式中的字母赋予几何意义，对乘法公式进行几何解释，从图形 角度理解乘法公式。能否类比以上过程，尝试对基本不等式中的字母赋予几何意义，对基本不等式进行几何解释？

D
A
B
C
E
如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,
则CD= , 半径为 .


总结新知
重要不等式与基本不等式的异同：
a, b∈R a>0,b>0
不等式
适用范围
文字叙述
两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数
两数的平方和不小于他们积的两倍
“=”成立的条件
a=b
利用基本不等式求最值
基本不等式（第1课时）
应用新知
总结：基本不等式的使用特点“一正，二定，三相等”
应用新知
应用新知
应用新知
应用新知
总结：积定和最小；和定积最大
应用新知
利用基本不等式求最值时，需满足:
（1）a，b必须是正数. （正）
（2）当a+b为定值时，便可求ab的最大值；
当ab为定值时，便可求a+b的最小值. （定）
（3）当且仅当a=b时，等式成立. （取等）
应用新知
利用基本不等式求最值的注意事项
一正:各项必须都是正值.
　　若各项都是正数,则可以直接用基本不等式求最大(小)值;若各项都是负数,则可以提取负号,化为正数后用基本不等式求最大(小)值;若有些项是正数,有些项是负数,则不可以用基本不等式求最大(小)值.
应用新知
利用基本不等式求最值的注意事项二定:
各项之和或各项之积为定值.
利用基本不等式求最大(小)值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值,常见的方法技巧如下:
①拆(裂项拆项):对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定值创造条件;
②并(分组并项):目的是分组后各组可以单独应用基本不等式,或分组后先对一组应用基本不等式,再在组与组之间应用基本不等式得出最值;
③配(配式、配系数,凑出定值):有时为了挖掘出“积”或“和”为定值,常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使积式中的各项之和为定值.
总结新知
利用基本不等式求最值
典型例题分析
基本不等式（第1课时）
能力提升
题型一： 利用基本不等式求最值　配凑法
【答案】C
1.基本不等式运用的前提是正数，当遇到负数时，先通过乘以-1，实现负化正， 再通过构造法，构造倒数型，最后利用基本不等式计算最值。
2.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
小结：
当遇见负数时，先应该乘以负1，再适当配凑构造倒数型，最后在进一步利用基本不等式证明
能力提升
题型二： 利用基本不等式求最值　常数代换法
【答案】D
解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．
再用基本不等式求最值
小结及随堂练习
基本不等式（第1课时）
本课小结
2.基本不等式的使用特点
1.基本不等式的定义
3.证明不等式
积xy等于定值，和x＋y有最小值
和x＋y等于定值，积xy有最大值
基本不等式
综合法：由因导果
分析法：执果索因
“一正,二定,三相等”
算数平均数
几何平均数
两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数
积等于定值，和有最小值
和等于定值，积有最小值
本课小结
重要不等式
基本不等式
等号成立的条件
当且仅当a=b时，等号成立
已知x ,y都是正数，
(1)若xy 等于定值P，那么当x =y时，x +y取得最小值；
(2)若x +y等于定值S，那么当x =y时，xy 取得最大值 .
作业
（一）基础性作业：必做题:
1.教材P46练习第 2,5题；
2.P48-49习题2. 2,复习巩固第1,2题
（二）探究性作业：
基本不等式（第1课时）
教材P46 练习及参考答案
教材P46 练习及参考答案
本题考查基本不等式的应用于不等式的证明，在运用时注意满足基本不等式所需的条件：“一正二定三相等”，属于基础题.
【点睛】
教材P46 练习及参考答案
教材P46 练习及参考答案
教材P46 练习及参考答案
教材P48 习题2.2复习巩固
教材P48 习题2.2复习巩固 作业答案
探究性作业
探究性作业
探究性作业

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