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第 2 章
2.1 等式与不等式性质（第1课时）
人教A版2019必修第一册
不等关系与不等式
学习目标
能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.
初步掌握用作差法比较两实数的大小．
用不等式(组)表示不等关系
不等关系与不等式
导入新知
在现实世界与日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，两者都是基本的数量关系.
导入新知
在数学中，我们用不等式来表示不等关系.
文字语言 数学符号 文字语言
大于 ＞ 大于，高于，超过
小于 ＜ 小于，低于，少于
大于或等于 ≥ 至少，不少于，不低于
小于或等于 ≤ 至多,不多于,不超过
导入新知
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．
用不等号表示不等关系的式子
文字语言 大于
高于
超过
多于 小于
低于
少于 大于等于至少
不低于 小于等于
至多
不多于
不超过
符号语言 > < ≥ ≤
学习新知
你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗
（1）某路段限速40km/h；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，
蛋白质的含量p应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．
问题1
对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，则0< v <40．
对于（2），由题意，得 ．
学习新知
你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗
（1）某路段限速40km/h；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，
蛋白质的含量p应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．
问题1
对于（3），设△ABC的三条边为a，b，c，则a+b > c，a－b < c．
对于（4），设C是直线AB外任意一点，CD垂直于AB，垂
足为D，E是直线AB上不同于D的任意一点，则CD学习新知
问题2
你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元
设提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：
学习新知
如何解上述不等式呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质．
在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？
回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实．
学习新知
从上述基本事实可知：要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小．
0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”
总结新知
等式性质与不等式性质
等式性质 不等式性质
认识新知
图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？
认识新知
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的证明。
大正方形的构成：
4个全等的直角三角形
1个小正方形
等面积法
相等关系
不等关系
第24届国际数学家大会会标是根据赵爽弦图设计的.
2.赵爽弦图的不等关系
认识新知
2.赵爽弦图的不等关系（面积关系）
大正方形面积
>4个直角三角形的面积和
a,b>0
大正方形面积
=4个等腰直角三角形的面积和
Q：对于任意的实数a,b，a2+b2≥2ab成立吗？试证明。
认识新知
作差法
2
4
2.重要不等式
探究新知
探究新知
作差法比较大小
不等关系与不等式
应用新知
分析：通过考查这两个多项式的差与0的大小关系，
可以得出它们的大小关系．
这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．
这是解决不等式问题的常用方法．
应用新知
作差法比较大小的基本步骤：
（1）作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
（2）变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；
（3）判断符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
（4）作出结论．
这种比较大小的方法通常称为作差比较法．
其思维过程：作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论，
其中变形是判断符号的前提．
应用新知
注意点：
(1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式．
(2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小．
(3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小．
应用新知
【跟踪练习】
证明：
总结新知
不等式与不等式关系
1．不等式与不等关系：
2．比较两个实数大小关系的依据：
3．作差比较法：
用不等式表示不等关系，注意文字语言与符号语言之间的转化．
作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论
典型例题分析
不等关系与不等式
能力提升
题型一： 用不等式(组)表示不等关系
能力提升
题型一： 用不等式(组)表示不等关系
方法技巧
(1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数；(2)适当设未知数表示变量；(3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式.
(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一.
利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的 两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示.
(1)
能力提升
题型二： 作差法比较大小
能力提升
题型二： 作差法比较大小
方法技巧
能力提升
题型三： 重要不等式
反思感悟　
在不等式的证明过程中，常将不等式中的字母作适当的代换，转换为重要不等式的形式，呈现其内在结构的本质．
小结及随堂练习
不等关系与不等式
课堂总结
作差法比较大小
重要不等式
关于实数大小的比较的基本事实
不等式关系与不等式
用不等式(组）表示不等关系
将不等关系表示成不等式(组)的思路
课堂总结
文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不低于 小于或等于，至多，不多于，不超过
符号语言 > < ≥ ≤
1.
2.
3.
课堂总结
用不等式表示不等关系，注意文字语言与符号语言之间的转化．
作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论
作业
课内作业：
P35的6(3)、7(1)(3)题；
p42习题2.1的3(1)(4)题.
不等关系与不等式
练习(第39页）
1．用不等式或不等式组表示下面的不等关系：
（1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度h从地面算起不能超过4m；
（2）a与b的和为非负实数；
练习(第39页）
如图，在一个面积小于350 m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库， 仓库的四周建成绿地，仓库的长L大于宽W的4倍．
（3）
练习(第39页）
练习(第39页）

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