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第 2 章
2.3 二次函数与一元二次方程不等式(第1课时)
人教A版2019必修第一册
二次函数与一元二次方程、不等式
学习目标
会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。
从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。
借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
01
三个二次关系
二次函数与一元二次方程、不等式
导入新知
在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好的解决相关问题．对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？
二次函数与一元二次方程、不等式
学习新知
问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20 ｍ2，则这个矩形的边长为多少米？
设这个矩形的一条边长为xcm,则另一条边长为(12-x)m，
由题意,得
(12-x)x>20，其中x∈{x|0整理得
x2-12x+20<0， x∈{x|0求得上述不等式的解集，即可得到问题的答案．
学习新知
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2的不等式，称为一元二次不等式．
一元二次不等式的一般形式是：
注：若无a≠0这个条件，则该不等式不一定是一元二次不等式，需对a是否为零展开讨论.
学习新知
思考：
在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？
注：使得 成立的实数x（方程 的解）即为二次函数 的零点．
步骤：1．做出函数的图像；
2．求出图像与x轴交点的横坐标；（函数的零点）
3．观察图像位于x轴上方（或下方）所对应的x取值范围．
学习新知
二次函数y=x2－12x+20 的两个零点x1＝2，x2＝10将x轴分成三段．
当x＜2 时，y＞0，即x2－12x+20>0；
当2当x＞10时，y＞0，即x2－12x+20>0；
故一元二次不等式x2－12x＋20＜0
的解集是{x|2＜x＜10}．
观察一元二次不等式x2－12x+20<0与二次函数y=x2－12x+20间有何关系？
02
求解一元二次不等式
二次函数与一元二次方程、不等式
学习新知
【例1】求不等式x2－5x＋6＞0的解集.
【解析】对于方程x2－5x＋6＞0，因为Δ>0，
故有两个不等的实数根，解得x1＝2，x2＝3 ．
画出二次函数y＝x2－5x＋6的大致图象，
结合图象得不等式x2－5x＋6＞0
的解集为：
学习新知
【变式】解下列不等式．
详解
应用新知
【例2】求不等式9x2－6x＋1＞0的解集．
【解析】对于方程9x2－6x＋1＝0，因为Δ＝0，
画出二次函数y＝9x2－6x＋1的大致图象，
结合图象得不等式9x2－6x＋1＞0的解集为 ．
所以它有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝
应用新知
详解
应用新知
【例3】求不等式－x2+2x－3＞0的解集．
【解析】不等式可化为x2－2x+3<0，因为 <0
所以方程x2－2x+3=0无实数根
画出二次函数y=x2－2x+3的大致图象，
结合图象得不等式x2－2x+3<0的解集为:
应用新知
详解
总结新知
ax2＋bx＋c＞0；ax2＋bx＋c＜0
ax2＋bx＋c≥0；ax2＋bx＋c≤0
其中a、b、c为常数，a≠0．
1.只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式，
称为一元二次不等式。一般形式如下：
2.使一元二次不等式成立的的所有解 x 组成的集合叫做
一元二次不等式的解集(用集合的描述法表示).
3.方程ax2＋bx＋c=0的实数解x叫做二次函数y=ax2＋bx＋c的零点.
2和10
-2
[注]①零点是数，不是点；②零点是函数的专属概念.
总结新知
△>0 △=0 △<0
二次函数
y=ax2+bx+c的图像
一元二次方程
ax2+bx+c=0的根 有两个不等的实数根
x1，x2 有两个相等的实数根
x1=x2 = 没有实数根
一元二次不等式
ax2+bx+c>0的解集
一元二次不等式
ax2+bx+c<0的解集

R

{x|xx2}
{x|x103
题型强化训练
二次函数与一元二次方程、不等式
能力提升
题型一：不含参一元二次不等式的解法
能力提升
题型一：不含参一元二次不等式的解法
能力提升
题型一：不含参一元二次不等式的解法
能力提升
题型一：不含参一元二次不等式的解法
能力提升
【方法技巧】解不含参一元二次不等式的步骤：
能力提升
题型二：含参一元二次不等式的解法
能力提升
题型二：含参一元二次不等式的解法
能力提升
题型二：含参一元二次不等式的解法
能力提升
题型二：含参一元二次不等式的解法
能力提升
题型二：含参一元二次不等式的解法
能力提升
【方法技巧】解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
能力提升
题型三：三个“二次”之间对应关系的应用
能力提升
题型三：三个“二次”之间对应关系的应用
(1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标．
(2)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集．
(3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集．
能力提升
高考拓展：三个“二次”之间的关系
能力提升
【规律方法】
已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
根据解集来判断二次项系数的符号；
根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
将不等式化为具体的一元二次不等式求解．
04
小结及随堂练习
二次函数与一元二次方程、不等式
课堂小结
二次函数与一元二次方程不等式
课堂小结
解一元二次不等式的流程图
（如果能因式分解，可以省略这一步）
方程 ax2+bx+c=0
有两个不等的实数根
x1，x2（x1方程 ax2+bx+c=0
有两个相等的实数根
方程 ax2+bx+c=0
没有实数根
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P53的练习1-2题；
(3)课本P55的习题2.3的1,2,3,4题.
二次函数与一元二次方程、不等式
练习（第53页）
练习（第53页）
练习（第53页）
练习（第53页）
练习（第53页）
练习（第53页）

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