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第 3 章
3.2 函数的基本性质
人教A版2019必修第一册
3.2.2　奇偶性的概念 （第1课时）
学习目标
1.了解函数奇偶性的定义.
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.
01
函数奇偶性的定义
奇偶性 第1课时　奇偶性的概念
导入新知
“对称美”是自古以来中国的一种审美形式，实际生活中、传统文化里、自然界中对称的例子比比皆是，体现着数学的“对称美”！
其实，这种“对称美”还体现在我们的函数图象中，反映着函数的重要性质.
导入新知
学习新知
前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质．下面继续研究函数的其他性质．
可以发现，这两个函数的图象都关于y轴对称．
总结新知1
知识点一　偶函数、奇函数的定义
(1)偶函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果_________________________________，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果__________________________________，那么函数f(x)就叫做奇函数．
[点拨]　奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说函数为奇函数(或偶函数)．
x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)
x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)
总结新知2
知识点二　偶函数、奇函数的图象特征
(1)偶函数的图象特征
如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以________________________；反之，____________________________________________________．
(2)奇函数的图象特征
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以___________________________；反之，__________________________________________________________________．
[想一想]　是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？
y轴为对称轴的轴对称图形
如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数
坐标原点为对称中心中心对称图形
提示：存在．既奇又偶的函数有且只有一类：f(x)＝0，x∈D，且D是关于坐标原点对称的集合．
如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是奇函数
总结新知
奇偶性 定义 图象特点 等价条件
前提 设f(x)的定义域为I
偶函数 x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)=f (x)
则函数f(x)叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)= - f (x)
则函数f(x)叫做奇函数 关于原点对称
备注
f(x)－f(-x)=0
f(x)＋f(-x)=0
①具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称
②不能用特殊值判断奇偶性.
如: f(2)=f(-2),但f(x)不一定是偶函数
③已知奇偶性可代特殊值求参数.
④若f(x)为奇函数且在x=0有定义，则必有f(0)=0.
证: f(0)= - f(0)
02
函数奇偶性
的几何特征
奇偶性 第1课时　奇偶性的概念
学习新知
奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，判断函数的奇偶性先明确它的定义域．
学习新知
应用新知
学习新知
函数奇偶性的判断
求函数f(x)的定义域
f(x)既不是奇函数也不是偶函数
判断f(-x)与f(x)的关系
判断定义域是否关于原点对称？
f(-x)≠ f(x)且f(-x)≠ - f(x)
是
否
f(-x)= f(x)
f(x)是偶函数
f(x)是奇函数
f(-x)= -f(x)
定义法判断函数奇偶性的步骤
f(x)既是奇函数 也是偶函数
f(-x)= f(x)= - f(x)
应用新知
解　 (1)函数的定义域为R，关于原点对称．
又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．
应用新知
应用新知
应用新知
一看定义域
二看关系式or图象
不关于原点对称
关于原点对称
非奇非偶函数
f(x)=f(﹣x)
图象关于y轴对称
﹣f(x)=f(﹣x)
图象关于原点对称
偶函数
奇函数
既奇又偶函数
03
题型强化训练
奇偶性 第1课时　奇偶性的概念
能力提升
题型一：函数奇偶性的判断
能力提升
题型一：函数奇偶性的判断
能力提升
题型二：奇、偶函数图象的应用
能力提升
题型三 利用函数的奇偶性求参数值
能力提升
题型三 利用函数的奇偶性求参数值
能力提升
题型三 利用函数的奇偶性求参数值
方法技巧： 利用函数奇偶性求参数
1．利用函数的奇偶性求参数值的思路
(1)定义域含参数：若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程求解．
(2)解析式含参数：对x取定义域内的任一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值．
(3)定义域：有时候可以根据定义域关于原点对称，求出其中的一个参数.
(4)计算f(x)与f( x)，再根据两者相等或者相反的关系，建立等式来求出其余的参数.
(5)有时候还可以利用特殊点来计算出参数，如对于奇函数f(x)而言，若f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0.
能力提升
题型四 利用函数的奇偶性求值
题后反思
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数．
(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．
2．利用函数的奇偶性求函数值的思路
已知f(a)求f(－a)的思路：判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与f(－a)的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求出f(－a)．
注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0.
04
小结及随堂练习
奇偶性 第1课时　奇偶性的概念
课堂小结1
1．偶函数与奇函数的定义:
偶函数：设函数f (x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=f(x)，那么
函数f (x)就叫做偶函数．
奇函数：设函数f (x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=－f(x)，那么
函数f (x)就叫做奇函数．
2．判断函数奇偶性的方法:
（1）图象法: 偶函数图像关于y轴对称，奇函数关于原点对称；
（2）定义法: ①先求定义域，看是否关于原点对称；
②再判断f (-x)= - f (x)或f (-x)=f (x)是否恒成立；
③根据定义下结论．
（奇函数，偶函数，既不是奇函数也不是偶函数，既是奇函数也是偶函数）
课堂小结2
课堂小结1
偶函数 奇函数
定义
图象
定义域
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),
关于y轴对称
关于原点对称
关于原点对称
用定义法判断函数的奇偶性的步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定f(-x)和f(x)的关系；
③作出相应结论。
作业
课本85页习题3.2
奇偶性 第1课时　奇偶性的概念
练习（第58页）
O
x
y
O
x
y
1．根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性．
故每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，为307050元．
6．一名心率过速患者服用某种药物后心率理科明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高．画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）．
心率关于时间的一个可能的图象如图．
双对勾函数（耐克函数）
10．如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间面积相同的熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30 m，那么宽x（单位：m）为多少时才能使所建造的每件熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？

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