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第 3 章
3.4 函数的应用(一)
人教A版2019必修第一册
3.4 函数的应用(一)
学习目标
理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.
在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律(重难点).
初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用．
01
分段函数模型
的应用
3.4 函数的应用(一)
导入新知
我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系.下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法．
很多人对数学的刻板印象就是——枯燥无味，对以后的生活没有太大的用处.其实数学是我们生活的一部分，数学最开始也是满足生活的需要不断前进发展的.当你用手机支付完成一次付款，当你面对高楼大厦，当你看到神舟系列飞船成功发射，这些都离不开数学和数学模型.
例1 设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如果小王全年的综合所得由189600元增加到249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数
1 [0，36 000] 3 0
2 (36 000，144 000] 10 2 520
3 (144 000，300 000] 20 16 920
4 (300 000，420 000] 25 31 920
5 (420 000，660 000] 30 52 920
6 (660 000，960 000] 35 85 920
7 (960 000，+∞) 45 181 920
表3.1-5
所以小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为5 712元
分段函数模型解题时的注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
(3)分段函数的值域或最值求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
总结新知
知识点　　用函数模型解决实际问题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．
(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
可将这些步骤用框图表示如下：
02
用函数模型解决
实际问题
3.4 函数的应用(一)
例2 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：km/h）与时间t（单位：h）的关系如图3.4-1所示，
（1）求图3.4-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：km）与时间t 的函数解析式，并画出相应的图象．
你能根据图3.4-1画出汽车行驶路程关于时间变化
的图象吗？
分析：当时间t在[0, 5]内变化时，对于任意的时刻t都有唯一确定的行驶路程与之相对应．根据图3.4-1，在时间段[0, 1)，[1, 2)，[2, 3)，[3, 4)，[4, 5]内行驶的平均速率分别为50 km/h，80 km/h，90 km/h，75 km/h，65 km/h，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述．
阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km．
本题的解答过程表明，函数图象对分析和理解题意很有帮助．因此，我们要提高读图能力．另外，本题用到了分段函数，解决现实问题时经常会用到这类函数．
解决分段函数模型应用题的步骤：
首先根据题中的关系建立模型，然后再根据已知数据求解模型中的参数，利用分段函数通过相关函数类型求最值或值域的方法，最后得出结论.
03
题型强化训练
3.4 函数的应用(一)
能力提升
题型一：一次函数模型
能力提升
题型一：一次函数模型
能力提升
题型二：二次函数模型
能力提升
题型二：二次函数模型
能力提升
题型三：分段函数模型的应用
能力提升
题型三：分段函数模型的应用
能力提升
题型三：分段函数模型的应用
能力提升
题型四　幂函数模型
能力提升
题型四　幂函数模型
【感悟提升】
1.幂函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式．
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式．
(3)结合幂函数的性质求解，注意换元法的应用．
2.处理幂函数模型的步骤
①阅读理解、认真审题.
②用数学符号表示相关量，列出函数解析式.
③根据幂函数的性质推导运算，求得结果.
④转化成具体问题，给出解答.
04
小结及随堂练习
3.4 函数的应用(一)
课堂小结
1.知识清单：实际问题中四种函数模型：一次函数模型，二次函数模型，幂函数模型，分段函数模型.
2.方法归纳：
解函数应用题的基本步骤：审题，建模，求模，还原.
3.常见误区：函数的实际应用问题易忽视函数的定义域.
课堂小结3
作业
1.课本P95的练习1——3题；
2.课本P95 96，习题3.4的练习1——4题
3.4 函数的应用(一)
1．若用模型y = ax2描述汽车紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车时的速率x（单位：km/h）的关系，而某种型号的汽车在速率为60 km/h后，紧急刹车后滑行的距离为20m．在限度为100km/h的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50 m，那么这辆车是否超速行驶？
2．某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？
3．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2 500元，每件产品的售价为3 500元．若该公司所生产的产品全部销售出去，则
（1）设总成本为y1（单位：万元），单位成本为y2（单位：万元），销售总收入为y3（单位：万元），总利润为y4（单位：万元），分别求出它们关于总产量x（单位：件）的函数解析式；
（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益作出简单分析．
x
y
O
1500
1．某人开汽车以60 km/h的速率从A地到150 km远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速率返回A地．把汽车与A地的距离x（单位：km）表示为时间t（单位：h）（从A地出发时开始）的函数；再把车速v（单位：km/h）表示为时间t的函数，并分别画出这两个函数的图象．
1．某人开汽车以60 km/h的速率从A地到150 km远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速率返回A地．把汽车与A地的距离x（单位：km）表示为时间t（单位：h）（从A地出发时开始）的函数；再把车速v（单位：km/h）表示为时间t的函数，并分别画出这两个函数的图象．
2．要建造一个容积为1 200 m3，深为6 m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/m2，池底的造价为135元/m2，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7万元以内（精确到0.1 m）
3．为了保护好水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过12 m3的部分 3元/ m3
超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/ m3
超过18 m3的部分 9元/ m3
若某户居民本月缴纳的税费为48元，求此户居民本月用水量．
3．为了保护好水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过12 m3的部分 3元/ m3
超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/ m3
超过18 m3的部分 9元/ m3
若某户居民本月缴纳的税费为48元，求此户居民本月用水量．
4．图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象．
（1）试说明图（1）上点A，点B以及射线AB上的点的实际意义；
（1）根据题图（1）可得，点A的实际意义为当乘客量为0时，亏损1（单位）；点B的实际意义为当乘客量为1.5（单位）时，收支持平；射线AB上的点的实际意义为当乘客量小于1.5时公司将亏损，当乘客量大于1.5时公司将赢利．
（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出来两种扭亏为盈的建议，如图（2）（3）所示．你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？
（2）题图（2）的建议是降低成本且保持票价不变；
题图（3）的建议是提高票价且保持成本不变．
5．下表是弹簧伸长长度x（单位：cm）与拉力F（单位：N）的相关数据：
x 14.2 28.8 41.3 57.5 70.2
F 1 2 3 4 5
描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图象，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式．
由表中表格画出散点图
将已知数据代入解析式，或作出图象，可以发现，这个模型与已知数据拟合程度较好，说明它能较好地反映弹簧伸长长度与拉力的关系．
6．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：
（1）将利润P（单位：元）表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入＝总成本＋利润）
10．某地区上年度电价为0.8元/(KW·h)，年用电量为a KW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/(KW·h)至0.75元/(KW·h)，之间，而用户期望电价为0.4元/(KW·h)．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区的电力成本价为0.3元/(KW·h)．
（1）写出本年度电价下调后电力部门的收益y（单位：元）关于实际电价x（单位：元/(KW·h)）的函数解析式；（收益＝实际电量×（实际电价－成本价））
∴当电价最低定位0.6元/(KW·h)时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．
11．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）．下列供求关系，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？
厂商希望产品价格低的时候，卖出的产品少，价格高的时候，卖出的多；而客户希望价格低时多买入，价格高时少买人．故厂商希望的供应曲线是题图（1）曲线，客户希望的需求曲线是题图（2）曲线．
14．某商场经营一批进价为30元/价的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单位x（单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下表所示的关系．
x … 30 40 45 50 …
y … 60 30 15 0 …
（1）根据表中提供的数据描出实数对(x, y)的对应的，根据画出的点猜想y与x之间的函数关系，并写出一个函数解析式；
（2）设经营此商品的日销售利润为P（单位：元），根据上述关系，写出P关于x的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？

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