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第 4 章
4.1.1 n次方根与分数指数幂
人教A版2019必修第一册
4.1.1　n次方根与分数指数幂
学习目标
1.理解n次方根、根式的概念.
2.能正确运用根式的运算性质化简、求值．(重点)
3.会对分式和分数指数幂进行转化．(重点)
4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质化简、求值．(难点)
01
分数指数幂
4.1.1　n次方根与分数指数幂
导入新知
良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇，1936年首次发现.这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑.考古学家利用遗址中遗存物碳14的残留测定，古城存在时期为公元前3300年——前2300年.你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗？
实际上，考古学家所用的数学知识就是本章即将要学的指数函数.为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.
导入新知
为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数。初中已经学过整数指数幂．
幂
指数
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，
乘方的结果叫做幂.





任何数连续偶数次相乘后，一定会得正数或0，因此，负数没有偶次方根.

让我们认识一下这个式子:
根指数
被开方数
根式

这就是说，当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除吋，根式可以表示为分数指数幂的形式．
当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？
数学中，引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则相容．
这里，略去了规定合理性的说明.
与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定，
0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义．
根式
分数指数幂
①规定正数的正分数指数幂：
②规定正数的负分数指数幂：
③0的正分数指数幂为0;
0的负分数指数幂无意义.
三、分数指数幂
02
有理数指数幂的
运算性质
4.1.1　n次方根与分数指数幂
根式化简与求值的思路及注意点：
(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质
进行化简．
(2)注意点：
①正确区分“ ”与“ ”两式；（注意分析 是否有意义）
②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方公式、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论．
①规定正数的正分数指数幂：
②规定正数的负分数指数幂：
③0的正分数指数幂为0；0的负分数指数幂无意义.
(4)分数指数幂不可随意约分；
(5)有理数指数幂的运算性质(a>0 ; r,s∈Q)：
①ar·as=ar+s ②(ar)s=ars ③(ab)r=ar·br(b>0) ④ar÷as=ar－s
整数指数幂
分数指数幂
有理数指数幂
利用指数幂的运算性质化简求值的方法：
（1）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序；
（2）在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算；
（3）对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
(n为奇数)
(当n是偶数，且a＞0)
0的任何次方根都是0，记作 ．
根式:
式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
n次方根定义:
一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
正数的正分数指数幂：
正数的负分数指数幂：
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义．
指数运算性质：
整数指数幂的运算性质：
整数指数幂：
指数运算
03
题型强化训练
4.1.1　n次方根与分数指数幂
能力提升
题型一 根式的化简与求值
【感悟提升】根式化简与求值的注意点
(1)分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简与求值．
(2)在化简含有字母的根式时要注意字母的取值范围．
(3)运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差、完全平方、完全立方公式的运用．
(4)注意分类讨论思想的应用．
能力提升
题型二：根式与分数指数幂的互化
能力提升
题型三：有理数指数幂的运算
【感悟提升】　指数幂运算的解题通法
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
(5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一．
能力提升
题型三：有理数指数幂的运算
方法技巧：
条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程.
04
小结及随堂练习
4.1.1　n次方根与分数指数幂
1.知识清单：
(1)n次方根的概念、表示及性质.
(2)根式的性质.
(3)根式与分数指数幂的互化.
2.常见误区：
(1)根式中根指数要求n>1且n∈N*.
(2)对于 ，当n为偶数时，a≥0.
课堂小结2
(1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个.
(2)符号：根式 的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定.
①当n为偶数，且a≥0时， 为非负实数；
②当n为奇数时， 的符号与a的符号一致.
根式与分数指数幂的互化
(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.
(2)在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
整数指数幂 分数指数幂
正数
负数
0
无理数指数幂
实数指数幂ax(a>0)
实数指数幂的运算性质(a>0 ; r,s∈R)：
①ar·as=ar+s ②(ar)s=ars ③(ab)r=ar·br(b>0) ④ar÷as=ar－s
类比推广：实数指数幂
作业
1.P107 练习1.2.3题；
2.P109 练习1题&习题第1、2、4、5题
4.1.1　n次方根与分数指数幂

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