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人教2019A版必修 第一册
第五章 函数的应用（二）
学习目标
1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)
2.能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)
3.了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)
4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力．(重点)
我们知道 ， 函数是描述客观世界变化规律的数学模型 ， 不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画 ． 面临一个实际问题 ， 该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
温故知新
（ １ ） 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 （ 精确到 0.0001），
用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型 ， 并检验所得模型与实
际人口数据是否相符 ；
（ ２ ） 如果按上表 的增长趋势 ， 那么大约在哪一年我国的人口数达到 13 亿？
典例解析
事实上 ， 我国 1989年的人口数为 11.27亿 ， 直到 2005年才突破13 亿 ． 对由
函数模型所得的结果与实际情况不符 ， 你有何看法 ？
因为人口基数较大 ， 人口增长过快 ， 与我国经济发展水平产生了较大矛盾 ， 所以我国从 ２０ 世纪 ７０ 年代逐步实施了计划生育政策 ． 因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件 ， 自然就出现了依模型得到的结果
与实际不符的情况 ．
例4. 2010年 ,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳 14年代学检测 ，检测出碳 14的残留量约为初始量的 55.2％ ， 能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
典例解析
归纳总结
例5.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，
这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？
①问题中涉及哪些数量关系？
②如何用函数描述这些数量关系？
投资天数、回报金额
日 回 报
累计回报
典例解析
40
40
40
40
40
10
10+10
=10×2
10+10+10
=10×3
10+10+10+10
=10×4
10+10+10+10+10
=10×5
0.4
0.4×2
0.4×2×2
=0.4×22
0.4×2×2×2
=0.4×23
0.4×2×2×2×2
=0.4×24
方案一
方案二
方案三
1
2
3
4
5
则方案一可以用函数________________进行描述；
方案二可以用函数__________________描述；
方案三可以用函数______________________描述。
设第x天的回报是y元，
y=40 (x∈N*)
y=10x (x∈N*)
y=0.4×2x-1 (x∈N*)
三种方案每天回报表
x/天 方案1 方案2 方案3
y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元
1 40 　 10 　 0.4 　
2 40 0 20 10 0.8 0.4
3 40 0 30 10 1.6 0.8
4 40 0 40 10 3.2 1.6
5 40 0 50 10 6.4 3.2
6 40 0 60 10 12.8 6.4
7 40 0 70 10 25.6 12.8
8 40 0 80 10 51.2 25.6
9 40 0 90 10 102.4 51.2
10 40 0 100 10 204.8 102.4
… … … … … … …
30 40 0 300 10 214748365 107374182.4
x
y
20
40
60
80
100
120
140
4
2
6
8
10
12
我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？
　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … 30
方案一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 … 1200
方案二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 … 4650
方案三 0 1 2.8 6 12 25 50.8 102 204 409 819 … 429496729.2
例5 累计回报表
投资1~6天，应选择方案一；
投资7天，应选择方案一或方案二；
投资8~10天，应选择方案二；
投资11天（含11天）以上，应选择方案三。
假如某公司每天给你投资1万元，共投资30天。公司要求你给他的回报是：第一天给公司1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共30天，你认为这样的交易对你有利吗？
你30天内给公司的回报为:
0.01+0.01×2+0.01×22+…+0.01×229
=10737418.23
≈1074(万元)
30万元
解答如下：公司30天内为你的总投资为:
上述例子只是一种假想情况 ， 但从中可以看到 ， 不同的函数增长模型 ， 增长变化存在很大差异
一次函数，
对数型函数，
指数函数。
①例6涉及了哪几类函数模型？
②你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗
例6. 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x,
其中哪个模型能符合公司的要求？
典例解析
分析 ： 本例提供了三个不同增长方式的奖励模型 ， 按要求选择其中一个函数作为刻画
奖金总数与销售利润的关系 ． 由于公司总的利润目标为 1000万元 ， 所以销售人员的销售
利润一般不会超过公司总的利润 ． 于是 ， 只需在区间 ［10 ，1000 ］ 上 ， 寻找并验证所选函数是否满足两条要求 ：
第一 ， 奖金总数不超过 ５ 万元 ， 即最大值不大于 ５ ；
第二 ， 奖金不超过利润的 ２５％ ， 即 Y≤0.25X ．不妨先画出函数图象 ，
通过观察函数图象 ， 得到初步的结论 ， 再通过具体计算 ， 确认结果 ．
解 ： 借助信息技术画出函数 y ＝５ ， y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x 的图象． 观察图象发现 ， 在区间 ［ 10， 1000］ 上 ， 模型 y=0.25x, y=1.002x的图象都有一部分在直线 y ＝５ 的上方 ， 只有模型 y=log7x+1的图象始终在 y＝５ 的下方 ， 这说明只有按模型 y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求 ．
对于模型 y=log7x+1， 它在区间 ［10 ，1000 ］上单调递增 ， 而且当 x＝1000 时 ，y=log71000+1≈4.55＜５ ， 所以它符合奖金总数不超过 ５ 万元的要求 ．
再计算按模型 y=log7x+1奖励时 ， 奖金是否不超过利润的25％ ，
即当 x ∈［10 ，1000 ］ 时 ， 是否有 y ≤0.25x，
即y=log7x+1 ≤0.25x成立 ．
令 f(x) ＝ y=log7x+1-0.25x， x ∈ ［10 ，1000 ］, 利用信息技术画出它的图象
由图象可知函数 f(x)在区间［10 ，1000 ］ 上单调递减 ，
因此f(x)≤ f(10)≈－0.3167＜０ ，
即y=log7x+1＜0.25x．
所以 ， 当 x ∈ ［10 ，1000 ］时 ，
y ≤0.25x， 说明按模型y=log7x+1 奖励 ，
奖金不会超过利润的 25％．
综上所述 ， 模型 y=log7x+1确实能符合公司要求 ．
归纳总结
当堂达标
实际应用问题
审 题
（设）
分析、联想、抽象、转化
构建数学模型
数学化
（列）
寻找解题思路
（解）
解答数学问题
还原
（答）
课堂小结

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