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第 3 章
3.2 函数的基本性质
人教A版2019必修第一册
3.2.1 单调性与最大（小）值（第1课时）
函数的单调性
学习目标
了解函数的单调区间、单调性等概念.
会划分函数的单调区间，判断单调性.
会用定义证明函数的单调性.
01
函数单调性的定义及判断和证明
单调性与最大（小）值（第1课时）
导入新知
前面我们学习了函数的定义和表示法，知道函数y=f(x)，x∈A是描述了客观世界中变量之间的一种对应关系，也就是事物运动变化规律的数学模．这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中相应事物的变化规律．
因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图像有什么特征等，是认识客观规律的重要方法．
学习新知
在初中，我们利用函数的图像研究过函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调．接下来我们进一步用符号语言刻画这种性质．
观察函数y=x，y=-x，y=x2的图像，分析自变量变化时，函数值有什么变化规律？
学习新知
先研究 f (x)=x2的单调性．
图像特征：
从左往右看，y轴左侧部分是下降的，y轴右侧部分是上升的；
两变量的变化关系：
当x＜0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大；
符号语言描述：
任意取x1，x2∈(-∞，0]，得到f (x1)=x12，f (x2)=x22，当x1f (x2)．
这时我们就说函数f (x)=x2在区间(-∞，0]上是单调递减的．
任意取x1，x2∈[0，+∞)，得到f (x1)=x12，f (x2)=x22，当x1这时我们就说函数f (x)=x2在区间[0，+∞)上是单调递增的．
学习新知
y=-x2
y=|x|
函数f (x) =|x|，f (x) = -x2各有怎样的单调性？
学习新知
设函数f (x)的定义域为I，区间D I， x1， x2∈D，且x1如果都有f (x1) < f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上单调递增；
如果都有f (x1) > f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上单调递减．
x
y
0
应用新知
特别的，函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数；
函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．
我们说一个函数f(x)的增函数或减函数，一定说在定义域上某个区间上的增（减）函数．
如果函数y＝f (x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数
y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
知识总结1
f(x)在区间D上单调递增 x1，x2∈D且x1 x1，x2∈D, (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
f(x)在区间D上单调递减 x1，x2∈D且x1f (x2)
x1，x2∈D, (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0
应用新知
设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且 x1，x2 ∈A，当x1f (x1)你能举例说明吗？
【解析】不能，如图，取A={1，2，3，4}，D=[1，4]，
x1，x2 ∈A且x1但f (x)在区间[1，4]不是单调函数．
总结新知
单调递增 单调递减
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，
x1，x2∈D, 当x1则称函数f(x)在区间D上单调递增,
区间D为f(x)的单调递增区间. x1，x2∈D, 当x1都有f(x1)＞f(x2),
则称函数f(x)在区间D上单调递减,
区间D为f(x)的单调递减区间.
图示
注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数.
②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性.
常数函数不具有严格的单调性.
单调性是局部性质
单调性的定义：
总结新知1
【特别提醒】
1．单调区间D 定义域I；
2．函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间
端点不属于定义域则只能开；
3．遵循最简原则，函数单调区间应尽可能大；
4．函数在区间[a,b]上单调递增（减），在区间[c,d]上也单调递增 （减），
该函数在[a,b]∪[c,d]上不一定单调递增（减），故在作答函数的单调递增（减）区间的时候通常不能用“∪”这个符号．
02
利用函数单调性或图像求最值
单调性与最大（小）值（第1课时）
学习新知
【例1】根据定义,研究函数 f(x)=kx+b(k≠0) 的单调性．
【分析】根据函数单调性的定义，需要考察当x1f(x2).
根据实数大小关系的基本事实，只要考察f(x1)-f(x2)与0的大小关系.
证明：
学习新知
【例1】根据定义,研究函数 f(x)=kx+b(k≠0) 的单调性．
学习新知
学习新知
【例2】物理学中的玻意耳定律 ,(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明．
【分析】根据题意，只要证明函数 是减函数即可.

学习新知
总结新知
用定义证明函数单调性的步骤：
应用新知
【例3】根据定义证明函数 在区间(1,+∞)上单调递增．
假设
作差
变形
定号
定论
应用新知
(1)函数单调区间的两种求法
①图象法.即先画出图象，根据图象求单调区间.
②定义法.即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解.
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.
总结新知3
用定义证明函数的单调性的步骤:
（1）设x1，x2是某个区间上任意两个数且x1＜x2;
（2）作差： f(x1)－f(x2) ;
（3）化简变形：
①分解因式, 得出因式乘积；②配成同号的式子和；
（4）判断 f(x1)－f(x2) 的符号；
（5）作结论．
03
题型强化训练
单调性与最大（小）值（第1课时）
能力提升
题型一　证明或判断函数的单调性
定义法证明或判断函数单调性的步骤
【感悟提升】
(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若所给函数不是上述函数但函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间．
(2)定义法，即先求出定义域，再利用单调性的定义进行判断求解．
(3)图象法，即先画出图象，根据图象求单调区间．
(4)单调区间必须是函数定义域的子集，一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开．
能力提升
题型二 利用图象确定函数的单调区间
能力提升
题型三　函数单调性的应用
能力提升
题型三　函数单调性的应用
04
小结及随堂练习
单调性与最大（小）值（第1课时）
课堂小结1
课堂小结2
1、增函数与减函数的定义:
设函数f(x)的定义域为I，区间D I, x1, x2∈D,且x1如果都有f(x1)如果都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递减.
2、判断函数单调性的方法
（1）图象法：看图象从左向右是上升还是下降
（2）用定义证明函数单调性的步骤： ①取值 ②作差③变形④定号⑤结论
（3）性质：①若函数y＝f(x)和y＝g(x)都在区间D上单调递增(减),则函数y＝f(x)+g(x)在区间D上单调递减(增）.②若函数y＝f(x)在区间D上单调递增(减),则函数y＝-f(x)在区间D上单调递减(增）.
3、函数在某区间单调递增（或递减），则该区间为函数的单调递增（或递减）区间的子区间.
课堂小结3
（1）图象法:
看图象从左向右是上升还是下降；
（2）定义法；
（3）性质：
若函数y＝f(x)和y＝g(x)都在区间D上单调递增（减），则函数
y＝f(x)+g(x)在区间D上单调递增（减）．
若函数y＝f(x)在区间D上单调递增（减），则函数y＝-f(x)在
区间D上单调递减（增）．
判断函数单调性的常用方法
作业
课本第85--86页 习题3.2 第1,2,3,8题；
单调性与最大（小）值（第1课时）
练习（第79页）
1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．
由题中图象先上升后下降可知，工人数在一定范围内时，生产效率随着工人数的增加而提高，而当工人数超过某一数量后，随着工人数的增加，生产效率反而降低．
练习（第79页）
练习（第79页）
练习（第79页）
练习（第79页）
练习（第79页）

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